DES LOGARITHMES CONSIDÉRÉS GOMME EXPOSANTS

h une puissance quelconque p , entière ou fractionnaire, jl faudra multiplier x parp ; ce qui donnera ' ' ' ' ' ■'

t/èst-à-dire que px est le lo^rithme de y^ , ou . que le iogtt* rithme d^une puissance d'un nombre est égal au logarithnw de ce mmbre multiplié par f exposant de la puissance. ;• »

306. Enfin si Ton extrait la racine n'*"* des deux membr&s de Tégalité ft*=y , il faudra diviser x par n , ce qui donnera :

c'est-à-dire que ^ est le logarithme de \/y ^ ou que? k %a-

rithme d'une racine d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par l'indice de la racine.

307. Si plusieurs nombres y , y' , /' , y'" » etc.^ sont en progression géométrique^ leurs logarithmes x , jt' , x" ,.x'" t.ptc. sont en progression arithmétique.

En effet, on a d'abord :

b^=y , 6*'=j/' , b^=f/ , K'=/' , etc. .,

d*où Ton tire :

b^^x'—L f^'^^ — y^ bx'^^^—Ul etc.

Mais, par hypothèse,

donc aussi

fr»-^ =:6*'-«^=z=K-^"=etc.

d'où a:— itr'=:ar'— a?"i=a?"— a?'"i=etc.

ce qui démontre que les quantités a? , a?' , a?" , a:'" , etc., sont en progression arithmétique.

308. On a vu (âiO) que, dans le système dont la base est 10 , toutes les fois- qu'un nombre est multiplié ou divisé par une puissance de 10, son logarithme augmente ou diminue d'autant d'unités qu'il y en a dans l'exposant de cette puissance. Cette propriété est évidente quand on considère les logarithmes comme des exposants. Car si l'on a

il en résulte, en multipliant les deux membres par 10

ÎL=2;=2t:=etc.

284 PUISSANCES ET EACINES. — ÉQUATIONS BICARRÉE ET EXPONENTIELLES!

ce qui montre que le logarithme a augmenté de n . En divisant, au contraire, les deux membres par 10" on obtient

ce qui montre que le logarithme a diminué àen ,

Remarque. On pourrait généraliser ce théorème, et Ton ferait voir de la même manière que si, dans un système quelconque, un notnbre est multiplié ou divisé par une puissance de la base, son logarithme augmente ou diminue d'autant d'unités qu'il y en a dans l'exposant de cette puissance.

309. Quand on a le logarithme d'un nombre n dans le système \ dont la base est 10 , il est facile d'obtenir son logarithme x dans | le système dont la base est b . Car on a d'abord

et si l'on prend les logarithmes des deux membres dans le système dont la base est 10 , il vient *

X log 6=:logn d'où a?=log ».([^) c'est-à-dire qu'il faut multiplier log n par la quantité j— -^ .

Cette quantité constante par laquelle il faut multiplier les loga^ rithmes vulgaires de tous les nombres pour obtenir leurs logarithmes dans le système dont la base est b , estce.qu'on nomme le module de la nouvelle base, par rapport à la base 10.

Si l'on demandait, par exemple, le logarithme de 2 dans le système dont la base est 7 , il faudrait multiplier le logarithme

vulgaire de 2 , ou 0,3010300 par j^ ou par ^fidôm •

Ainsi en appelant x le logarithme demandé, on aurait

^=SS ^'^^ '^*8 ^=log0,3010300+L0,845O980 .

d'où a;=0,3562071....

Plus généralement , si x est le logarithme d'un nombre n dans le système dont la base est a , et que y soit le logarithme du même nombre dans le système dont la base est b , on devra avoir

by=n ;