DES LOGARITHMES CONSIDÉRÉS COMME EXPOSANTS

et en prenant les logarithmes des deux membres dans le système dont la base est a ,

y log ô=log W=a: ;

d'où y=x. (j^);

c'est-à-dire qu il faut diviser le logarithme du nombre n , pris dans le système primitif, par le logarithme de la nouvelle base pris 3ans ce môme système primitif, ou, ce qui revient au même, le multiplier par la quantité constante

leg h

que l'on nomme le modale de la nouvelle base par rapport ù Tancienne, et qui est le quotient de l'unité par le logarithme de la nouvelle base pris dans l'ancien système.

310. Si Ton demandait dans quel système de logarithmes le nombre n a pour logarithme « , en appelant x la base de ce système, on aurait

d'où « log i=log n et log a?=j^ ,

c'est-à-dire que pour avoir le logarithme de la base demandée dans un système quelconque, il faudrait diviser le logarithme du nombre n , pris dans ce même système, par le logarithme donné. Par exemple, si l'on démandait dans quel système de logarithmes le nombre 47 a pour logarithme 3,8501475 ; en appelant x la base demandée, et en prenant les logarithmes dans le système dont la base est 10 , on aurait

lug »^— 3^8501475— 3^8504475 '

Effectuant ce calcul par logarithmes, on trouvera :

log ^=0,4342945 ; d'où a:=2,71828....

• Remarque. La base dont nous venons de déterminer la valeur est en effet celle d'un système de logarithmes usité ; c'est celle des logarithmes népériens ou hyperboliques qui jouissent de propriétés remarquables, mais dont le développement ne saurait trouver place ici.

§ II. Des équations exponentielles.

31 i. On appelle équation exponentielle^ une équation dans laquelle rinconnue entre comme exposant.

La plus simple des équations exponentielles, et la seule dont on s*occape dans les éléments, est celle qui est réduite à la forme

L'emploi des logarithmes résout immédiatement cette équation; en prenant, eneflfet, les logarithmes desdeuxmembres^on obtient

a:loga=:log6

d'où ^=S-?.

îoga

Si, par exemple, on avait l'équation

2^=3 on en tirerait :

^— log 2— 0,3010300— ^'^®*^^^^*"

312. Les équations exponentielles peuvent aussi être résolues directement, sans le secours des logarithmes, par une méthode que nous ferons connaître plus loin.