CHAPITRE XIII

§ I. Résolution en nombres entiers d'une équation du premier degré à deux indéterminées.

313. Lorsqu'un problème qui comporte n inconnueB, ne fournit que n — p équations, on peut se donner arbitrairement p de ces inconnues, et en déduire les n — p autres. Le problème est donc indéterminé. L'analyse indéterminée a pour objet de résoudre en nombres entiers les équations numériques qui renferment un nombre d'inconnues supérieur à celui des équations mômes. Dans ce paragraphe, nous nous occuperons de la résoli^tion,e^ nombres entiers d*une équation du premier degré à deux inconnues, ou, suivant l'expression consacrée, à deux indéterminées.

Une équation numérique du premier degré à deux indéterminées peut toujours être mise sous la forme

ax-\-by=^c [1]

dans laquelle a , 6 et c sont des nombres entiers positifs ou négatifs, et tels qu'il n'y ait pas de facteurs communs à tous les termes.

314. II faut remarquer d'abord qu'une pareille équation ne peut admettre de solutions entières qu'autant que les coeffipients a et b des deux indéterminées sont preiniers entre eux.

En effet, s'ils avaient un facteur commun, ce facteur diviserait exactement le premier membre, puisque x et y sont supposés entiers; il devrait donc aussi diviser le second membre, ce qui est contre l'hypothèse, puisque l'on a supprimé les facteurs communs à tous les termes.

315. S'il existait un facteur commun entre a et c , ou entre A et c , l'équation pourrait être simplifiée. En effet, soient a=:a'm et c=zc'm , a' ^ c' et m étant des nombres en-

Alo. s. 49

i88 QUESTIONS DIVERSES .*

tiers. Remplaçons a et c par ces valeurs, et divisons par m ; il viendra

ax , ' m

Or, d étant entier ainsi que a'x il faut que ^ soit entier,

c'est-à-dire que m divise le produit hy ; mais il est premier avec b , puisqu'il n*y a pas de facteur commun à tous les termes; il faut donc qu'il divise exactement y . Soit y' le quotient, en sorte qu'on ait y=my' ; l'équation proposée se réduira à

a'x-{-by'=c' ,

équation dont les termes sont plus simples. Quand on l'aura résolue, il suffira de multiplier par m les valeurs de y' pour obtenir celles de y .

316. Nous supposerons donc que dans l'équation à traiter il n'y ait plus de facteur commun entre les coefficients considérés deux à deux. ,

Nous allons faire voir que si l'on avait trouvé, par un moyen quelconque, un système de valeurs entières, x=oi et y=p par exemple, propre à vérifier l'équation proposée, on pourrait obtenir sur-le-champ tous les autres systèmes analogues.

En effet, puisque « et |3 , mis pour x et y ^ vérifient par hypothèse l'équation proposée, on a

Si l'on retranche cette relation de l'équation proposée, membre à membre, on obtient

d'où ^^„%z:ê) .

Or, puisque x doit être entier, et que le premier tenue a de sa valeur est entier, il faut que le second le soit, c'est-à-dire que a divise le produit b(y — j3) ; et comme a est premier avec b , il faut qu'il divise y — (3 . Appelons t le quotient entier de cette division, nous aurons

^=t , d'où y=p+at . m

Mettant f à la place de ^^^^ dans la valeur de x , nous obtiendrons

X=:a — ht . [3]

AlVALYSE indéterminée: DU PREMIER DEGRÉ 289

11 suffira de donner à t des valeurs entières, positives on négatives pour obtenir autant de systèmes correspondants de valeurs entières pour x et pour y.

La démonstration même prouve que tous les systèmes de valeurs entières sont compris dans ces formules ; et Ton vérifierait a jt?05^^riori qu'elles satisfont à la proposée en y substituant pour x et pour tf les valeurs [3] et [2] ; les termes en t disparaissent d'euxmêmes, et il reste

relation qui est vérifiée par hypothèse.

On voit donc que lorsqu'on aura trouvé pour a? et y un système de valeurs entières a et ^, on formera leurs valeurs générales en ajoutant à a et à /S le produit d'une nouvelle indéterminée entière t par le coefficient de or, s'il s'agit de la valeur de y, et par le coefficient de y pris en signe contraire, s'il s'agit de la valeur de x .

Il est clair, d'ailleurs, que comme t peut être changé en — ^ on pourrait prendre a en signe contraire et b avec son signe.

Remarque. La suite des valeurs de x forme une progression arithmétique dont la raison est le coefficient de y ; et la suite des valeurs de y forme une progression arithmétique dont la raison est le coefficient de x. Mais ces deux progressions seront l'une croissante et l'autre décroissante, si a et 6 sont positifs; elles seront toutes deux croissantes ou toutes deux décjpissantes si a et b sont de signe conlraire.

317. Tout se réduit donc à trouver un système de valeurs entières pour X et pour y.

Remarquons d'abord que, dans quelques cas particuliers, on obtiendrait immédiatement ce système de valeurs. Par exemple, si c était nul, on satisferait à l'équation en prenant x=0 et y=0. Si c était un multiple de a, et qu'on eût c = ma, on satisferait en posant x = m et y = 0. Si c avait la forme nb =b wa, on satisferait en posant a? = ± m et y = w.

Hors ces cas, il faut une méthode particulière pour trouver un système de valeurs. Voici celles que l'on emploie.

I. Résolvons l'équation proposée par rapport à celle des deux indéterminées qui a le plus petit coefficient. Soit a<6; tirons la valeur de a?, il viendra.

c — by

Je dis que si l'on substitue pour y une suite de nombVes positifs 0, 1, 2,... jusqu'à -|- p; et une suite de nombres né-

galifs, — 1, — 2,... jusqu'à — g, en sorte que p-{-q soit égal k a — 1, il y aura dans ces substitutions une valeur dej^ qui donnera pour x un nombre entier.

En effet, soient +y' ®^ — V" ^ P^^ exemple, deux de ces substitutions; soient q' et q" les quotients positifs ou négatifs qu'on obtiendra en divisant c — by' et c +%" par a; les restes devront nécessairement différer. Car si les deux divisions donnaient le même reste r, on aurait en même temps

c — by'=aq'-\'r c+by'zzzaq'^r ,

d'où, en retranchant la première identité de la seconde

Or, a divisant le second membre devrait diviser le premier; mais a est premier avec b; il devrait donc diviser y* +y\ Mais y' ne pouvant surpasser p, et y" ne pouvant surpasser g, la somme y'+y" ne peut surpasser p + q ou a — 1 ; elle ne saurait donc être divisible par a.

Il en serait de même, a fortiori^ s'il s'agissait de deux' substitutions prises toutes deux dans la série des nombres positifs, ou toutes deux dans la série des nombres négatifs.

Donc, tous les restes résultants de ces substitutions seront différents. Mais le iiombre de ces restes, égal au nombre de substitutions, est p-^q^i ou a; et puisque ces restes ne peuvent surpasser le diviseur a, il faudra qu'un d'entre eux soit égal à zéro. Le nombre correspondant mis pour y donnera donc pour x un nombre entier; et l'on aura ainsi un système de valeurs entières de X et de y

Soit, par exemple, l'équation

On en tire x=^^4=^ .

Substituons pour y les nombres 0, -{^1, -j-2 et — 1,, — 2; nous trouverons que — 2 donne pour x un nombre entier +1. Les valeurs de a? et de y seront donc

x=l+8^ et y=— 2+5^ ,

en prenant le coefficient -|-5 avec son signe, et le coefficient — Ç en signe contraire.