II. Résolvons encore l'équation proposée par rapport à
rindëterminëe qui a le plus petit coefficient; soit a<6; tirons la valeur de a: , il vient
Effectuons, autant qu'il est possible, la division de b par a ; soient q le quotient et r le reste; nous aurons
c — ry
Le premier terme de la valeur de x étant entier, il faut que le second le ^oit : égalons-le à une indéterminée entière t , nous aurons
^=-qy+t , [2]
relation où y et ^ représentent des nombres entiers qui satisfont à Téquation
^^=t ou at-^ry=c . [3]
Cette équation est de même forme que la proposée, et il s'agit aussi de la résoudre en nombres entiers ; mais le coefficient r est moindre que le coefficient b de la proposée.
Traitons cette équation comme la proposée. Résolvons-la par rapport à l'indétermiilée y qui a maintenant le plus petit coefficient^ puisque le reste r est moindre que le diviseur a de la division qui l'a fourni; il viendra
c—at
Divisons a par r; soient q' le quotient et r' le reste; nous aurons
y=—qt-\ — — .
Le premier terme de la valeur de y étant entier, il faut que le second le soit; égalons-le à une nouvelle indéterminée entière t' ; il viendra
relation où t et t' représentent des nombres entiers qui satisfont à l'équation
^-y^=t' ou r't-\-rf=c . [S]
Cette équation est encore de même forme que la proposée et doit.
comme clle^ ôlre résolue en nombres enliers; mais le coefficient r' est moindre que le coefficient a de Téqualion précédente.
Traitons encore cette équation comme la précédente, et résolvons-la par rapport à Tindéterminée qui a le plus petit coefficient, c'est-à-dire par rapport à t; nous aurons
c—rt'
Divisons r par r' ; soient q" le quotient et r" le reste ; il viendra
Le premier terme de la valeur de t étant entier, il faut que le second le soit; égalons-le ii une nouvelle indéterminée entière f, nous aurons
relation où t' et t" représentent des nombres entiers qui satisfont à Téquation
^=p^=f ou rr+r'f=c , [7]
équation de même forme que la proposée, mais à coefficients plus simples.
En continuant ainsi, on ramène successivement la résolution de l'équation proposée à celle d'une série d'équations de môme espèce, ^dont les coefficients sont de plus en plus petits. Mais, si Ton fait attention aux opérations effectuées, on remarque qu'on a divisé d'abord a par 6, puis b par le reste r de la division précédente, puis r par le reste r' de la division qui précède, et ainsi de suite ; c'est-à-dire qu'on effectue sur a et 6 les mêmes calculs qui si Ton cherchait le plus grand commun diviseur entre ces nombres Or, ces nombres sont premiers entre eux; on devra donc parvenir à un reste égal à l'unité. Soit r" ce reste égal à 1 ; en sorte qu'on ait
On en tire . t'=c—r'f ;
et il suffira de donner à f une valeur entière quelconque pour obtenir une valeur entière correspondante de t' . Les valeurs entières de f et de t' mises dans l'équation [6] donneront pour t une valeur entière ; ces valeurs entières de t' et de t mises dans l'équation [4] donneront une valeur entière pour y ; ces valeurs entières de t et de y mises dans l'équation [2] donneront une valeur entière correspondante pour x.
ANALYSE INDÉTLKMINÉI': DU PUOIEU DEGUÉ 293
On pourra effectuer ces substitutions ^successives sans donner d'abord aucune valeur particulière à t"\ on obtiendra ainsi les valeurs de y et de a: exprimées au moyen de la seule indéterminée i' . Il suffira, dans ces expressions, de donner à t' une valeur entière, positive ou négative quelconque ; on en déduira immédiatement un système de valeurs entières pour x et y.
Prenons pour exemple l'équation
8x+l2y=im ; les calculs précédemment indiqués donneront successivement :
en posant '~ '' =t ou oy+8«=7 .
Puis, y=^t:fl=i-i^'t:^=l-t-\-t' .
en posant ^^-^=1' ou 3ï-[-5^'=2 .
Puis, i:^^=l^z^f'+^=15:^^'|^^v ^
en posant ^^=f ou 2^'+3f=2 .
Puis , t'=^^=Y^=l-f-~=l—f-r ,
en posant t"=^r .
Mettant cette valeur dans celle de t' , on trouve
imettanl les valeurs de t' et de f dans celle de ^ , il vient
^=i+3r+2rzzz— i+5r ;
mettant les valeurs de t et de t' dans celle de y , on obtient
Enfin, mettant les valeurs de y et de t dans celle de. a? , on trouve
Remarque. Cette méthode est indépendante de la propriété démontrée au n° 316 pour la formation des valeurs générales de ar et de y; mais en y ayant égard, on peut abréger notablement l'application de la méthode. Dès qu'on parvient à une fraction dont on peut annuler le numérateur par une valeur. entière de l'indéter-
^94 QUESTIONS DiVEUSKS :
minée qui y entre, on obtient, en remontant de proche en proche, un système de valeurs entières pour x et y, et par suite leurs valeurs générales.
Par exemple, dans le calcul ci-dessus, dès qu'on est parvenu à l'équation
on voit qu'on peut annuler la fraction en posant t'=l , ce qui donne t= — 1; par suite y=l+l-|-l=3; par suite encore ipr=19— 3— 1 = 15. En vertu de la propriété du n® 316 on peut donc poser immédiatement •
aî=15 + 13f et y—^—8t .
^ désignant une indéterminée entière.
319. Cette méthode comporte plusieurs simplifications qu'il importe de ne point négliger.
I. D'abord il convient d'effectuer, autant qu'il est possible, la division de c para, comme celle de b para; tout en simplifiant les coefficients des indéterminées, on simplifie aussi les termes indépendants. C'est ce que nous avons fait dans l'exemple traité au numéro précédent.
II. En second lieu, on peut toujours s'arranger de manière que chaque reste soit plus petit que la moitié du précédent ; il suffit pour cela de prendre les quotients par excès toutes les fois qu'en les prenant par défaut la condition indiquée ne serait pas remplie. Si par exemple, on a
on pourra écrire, en ajoutant -j-a et — a
Or, des deux restes r et a — r , l'un sera toujours moindre que la moitié de a , puisque leur somme est égale à a. Il n'y a d'exception que pour le cas où ces restes seraient égaux; mais alors il serait indifférent de prendre le quotient par défaut ou par excès.
III. Enfin, il peut arriver qu'au numérateur de la fraction ^u'on égale à une nouvelle indéterminée, il existe un facteur commun à tous les termes; en les mettant en évidence, il en résulte une simplication. Soit, par exemple, la fraction
c — by a
Si C et ô ont un facteur commun m et qu'on ait c=.dm
ANALYSE indéterminée: DU PREMIER DEGRÉ 295
et b=zb'm , d et b' étant des nombres entiers, on pourra écrire
Or, pour que le numérateur soit divisible par a , il faut, puisque a est nécessairement premier avec m , facteur de b ,
que le binôme entre parenthèses d — b'y soit divisible par a. On posera doirc en conséquence
^^^=^=t , d'où at-^b'y^c'
équation plus simple que l'équation at-{-by==:c , à laquelle on serait parvenu sans avoir égard au facteur m.
Il faut remarquer toutefois que cette simplification ne se présenterait qu'autant qu'on aurait négligé d'avoir égard dès le principe au facteur w commun entre '6 et c, comme nous l'avons expliqué au n** 313.
320. Le problème qu'on a en vue exige souvent, non-seulement que les valeurs de x et de y soient entières, mais encore qu'elles soient positives.
En reprenant les valeurs générales du n° 316, on devra avoir
^-\-at>0 et (A—bt>0 .
On tire de la première inégalité, en y supposant a positif, ce qui est permis ,
Si b est négatif dans l'équation proposée et qu'on ait b=— b\ la lettre b' désignant un nombre entier positif, la seconde inégalité devient
oL+b' t>0 , d'où ^>— J .
Les deux limites obtenues pour t étant toutes deux des limites inférieures, il suffira de donner à t des valeurs entières, algébriquement plus grandes que la plus grande de ces deux limites ; par conséquent, le nombre des solutions entières et positives pour x et y sera illimité.
Si b est positif dans l'équation proposée, on tire de la seconde inégalité
cA>bt , d'où t<l .
On a ainsi pour t une limite inférieure et une limite supérieure. S'il y a des nombres entiers compris entre ces deux limites, en les
296 yl'LSïlONS DIVERSES :
mcltant à la place de t on uuiv. autaut de sy^lëmes de valeurs entières et positives pour xd y ; mais le nombre en sera nécessairement limité. S'il n'y a aucun nombre entier compris entre les deux limites, ou si elles sont contradictoires, c est-à-dire si la limite supérieure est algébriquement moindre que la limite inférieure, il n'y aura aucun système de valeurs entières et positives. Dans l'exemple numérique traité plus haut (317,) on a trouvé
2/=— 2+5( et x=l+8t . '
On en déduit pour t deux limites supérieures
Il suffira de donner à t des valeurs entières supérieures à ^ :
c'est-à-dire, 1,2,3, etc., jusqu'à l'infini positif.
Si une équation à deux indéterminées avait fourni les valeurs
on en tirerait />r €t f<-^ .
On ne pourrait donc donner à t que les valeurs 1, 2 et 3 qui sont comprises entre ces limites.
Si une équation à deux indéterminées avait fourni les valeurs
y=— 2+5« et x=l—8t .
on en tirerait f>- et ï<g ,
limites contradictoires; il n'y aurait donc aucun système de solutions entières et positives.
321. Remarque. Quand le nombre des systèmes de valeurs entières et positives est limité, on peut le déterminer à une unité près avant de résoudre l'équation proposée.
En effet, ce cas se présente lorsque a et é étant de même signe, on obtient pour ï deux limites, l'une inférieure et l'autre supérieure.
t>-l et t<l .
Supposons, pour fixer les idées, que a et p soient positifs, auquel cas la première limite est négative et la seconde positive.
Soient p le nombre entier immédiatement inférieur à ^ , et j le
ANALYSE INDËTCRAllNÉE DU PREUIER DEGRÉ. 297
nombre entier immédiatement inférieur à - . On ne pourra donner à t que les valeurs , 1 , 2 ,.... jusqu'à +/? , et — 1 , — 2 , — 3^ etc...., jusqu'à — q ; ce qui fait en tout /^+î4"* valeurs.
Or on a, par hypothèse,
P<1 et q<l , d'où p+q<:-J^l
OU
OU enfin i^+î<
ab ab
puisque a et j3 forment un système de valeurs de x et de y . On aurait de même
P-\-i>l et q+l>l, d'où p+g+2>^^ .
Il résulte de là que la quantité -^ est comprise entre p+g et
P+î+2 , c'est-à-dire entre le nombre des valeurs de t diminué d'une unité et ce même nombre augmenté d'une unité. On aura
donc ce nombre de valeurs en prenant le quotient -^ ou par
excès ou par défaut.
Soit, par exemple, l'équation
Le quotient par défaut de 200 par 7 fois 12 ou 84 , est 2 ; le quotient par excès est 3 ; le nombre des valeurs entières et positives ne peut donc être que 2 ou 3 . On trouve en effet :
y=— 2-|-7f et aî=32— 12« .
anf rck
L'indéterminée t doit donc être comprise entre = et
ou ^ pour que x et y soient positifs ; on ne peut donc donner
à t quelles valeurs 1 et 2 ; ce qui ne fournit que deux systèmes de valeurs,
et y=12 , x= 8 .
322. Comme exemples de questions conduisant à une équation à deux indéterminées, nous traiterons les deux suivantes ;
298 QUESTIONS DIVERSES l
I. Problème. Trouver un nombre dont le triple divisé par 8 donne pour reste 5 .
Soient x ce nombre, et y le quotient de 2x par 8 ; on devra avoir Tégalité #
En appliquant le mode de solution indiqué au n"" 317, on Irouve que y= — 1 donne la valeur entière x= — 1 ; on a donc
y=—l-\-St et x=—l'j-8t .
On peut donner à t toutes les valeurs entières et positives depuis 1 ; ce qui donne les systèmes
etc. etc.
II. Problème. Faire une somme de 26 fr. avec deux espèces de pièces étrangères, dont les unes valent 3',75 et les autres l',10 .
Soient x le nombre des pièces de la première espèce, et y le nombre des pièces de la seconde espèce ; on devra avoir
ou, en multipliant tous les termes par^lOO ,
37Sa?+HOtf=2600 ,
Les nombres 375 , 110 et 2600 ayant le facteur commun 3 on peut d'abord le supprimer, ce qui donne
Les nombres 75 et 520 ayant encore le facteur commun 5 , on peut poser (31S) î/=%' , et supprimer le facteur 5 , ce qui donne
Les nombres 22 et 104 ayant le facteur commun 2 , on peut poser x=ix' et supprimer le facteur 2 , ce qui donne enfin l'équation
15a;'+llj/'=52 .
On en tire j^.^4^'^4(^^4^'j^4^ ,
en posant -^^=t , d'où .t'=2— 11^ ;
par suite y'=z^-\-lSt .
On voit que a?' et y' ne peuvent être positifs en même temps que pour f=0, ce qui donne aî'=2 et ^'=2; par suite x=i et y=lO ,
En effet : 4 pièces à 3',75 font 15 fr., et 10 pièces à 1^10 font 11 fr. ; la somme IS-f-H est bien égale à 26.
Ce problème offre un exemple d'une question algébriquement indéterminée qui n'est cependant susceptible que d'une seule solution arithmétique.
Remarque. On aurait pu prévoir que le problème ne pouvait admettre au plus qu'un système de valeurs entières et positives; car le produit des coefficients 15 et 11 est plus grand que le terme indépendant 52; d'où il suit que les quotients par défaut et par excès de 52 par 15 fois 11, sont et 1. Le nombre des systèmes de valeurs entières et positives ne pouvait donc pas surpasser 1.
Le lecteur pourra s'exercer sur les questions suivantes :
L Une société s'est cotisée pour une fête^ à raison de 9 fr, pour chaque dame et de 16 fr. pour chaque homme; la somme aitisi réunie a été de 330 fr, ; combien y avait-il d'hommes et de dames ?
(Réponse: Nombre des hommes : 15 , 6; Nombre des dames : 10 , 26 . )
IL Trouver un nombre qui divisé par 7 donne pour reste 5, et qui divisé par IS donne pour reste 3.
(Réponse : 75, 201 , 327 , etc., nombres en progression arithmétique.)
III. Faire une longueur d'un mètre en plaçant les unes à la suite des autres des pièces de 2 francs^ dont le diamètre est de 27 millimètres et des pièces de 1 franc , dont le diamètre est de 24 millimètres,
(Réponse : Nombre des pièces de 2 francs : 20; Nombre des pièces de 1 franc : 20.)
IV. Diviser 90 en deux parties dont l'une soit dinsible par 5 et l'autre par 11.
(Réponse : Première partie : 90 , 35 ;
