X : 5 peut s'écrire z

Le trait horizontal qui sépare le dividende du diviseur se nomme barre de division.

12. Le signe \/ indique la racine carrée de la quantité placée au-dessous, c'est-à-dire une quantité qui, multipliée par elle-même, reproduirait la quantité placée sous le signe. Par exemple \/49 exprime la racine carrée de 49, ou le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 .

Le signe \/ indique de même la racine cubique de la quantité placée au-dessous, c'est-à-dire une quantité qui, prise 3 fois comme facteur, donnerait pour produit la quantité placée sous le signe. Ainsi \/64 exprime la racine cubique de 64 , ou le nombre qui pris 3 fois comme facteur, donnerait pour produit 64 .

Les sii^'nes \/ , \/ , etc., indiqueraient de même la racine quatrième, la racine cinquième j etc., de la quantité placée au-dessous, c'est-à-dire iine quantité qui, prise 4 fois, 5 fois, etc., comme facteur, donnerait pour produit la quantité placée sous le signe.

Ce signe porte en général le nom de radical, et le nombre placé au-dessus dans son ouverture est ce qu'on nomme Vindice du radical. Ainsi, dans y^ , c'est 3 qui est l'indice du radical.

NiyriONS H^ËLlMINAlHteS. T

131 Les parenthèses () expriment le rémltat des o()ération^ indiquées sur les quantités' qu'elles enveloppetit; lesf sigfles qo'iaffçctçnt les paremhèses indiquent les opérations à effectuer suc ce résultat, Ainsi

indique que de la quantités on retranche le résultat obtenu eh retranchant 5 de a .

(^ + 5)Xa

indique qu'après avoir fait la somme des quantités ar et 5 , ou multiplie le résultat, ou la somme, par u .

indique qu'après avoir retranché 2 de a? on divise le résultat, ou la différence, par la quantité a .

indique qu'après avoir fait la somme des quantités ar et 5 et formé un produit de 3 facteurs égaux à cette somme, on divise ce produit par le produit de 2 facteurs égaux à la différence entre a et 2.

14. Le signe = s'énonce égale; placé entre deux expressions numériques ou algébriques, il indique que les deux expressions sont égales en valeur.

Le signe >> s énonce plus grand que ; placé entre deux quantités, il indique que la première est plus grande que la seconde. Ainsi a; >> 5 signifie que la quantité représentée par x est plus grande que 5 .

Le signe <C. ^' énonce plm petit que; placé entre deux quantités, il indique que la première est plus petite que la seconde. Ainsi, a?< 5 signifie que la quantité représentée para? est plus petite que 5 .

15. Lorsque, dans une question, on a représenté certaines quantités par des lettres, on représente des quantités analogues par les mêmes lettres chargées d'un ou plusieurs accents. Les lettres chargées d'un accent s'énoncent en y ajoutant le mot jpriw^; celles qui sont chargées de deux accenis s'énoncent en y ajoutant le mot seconde; pour trois accents, on ajoute le mo 1 fierez; etainsi desuite. Par exemple :

s'énonceraient a , a prime, a seconde, a tierce.

L'usage que' nous ferons des divers signes dont il vient d'être question, en fixera peu à peu le sens dans la mémoire du lectewr.

OPERATIONS POfiDAiHENTALfiS

§ III. Des diverse» espèces d'expressions algébriques. . " '

46: Lés expressions algébriques les plus simples sontlej&letti^es mêmes de l'alphabet destinées à représenter certaines quantités connues ou incontmes. On emploie ordinairement les premières lettres de l'alphabet, a, &, c, d, etc., pour représenter des quantités supposées connues, mais dont on ne particularise pas la Taleur numérique. Les quantités inconnues se désignent, au contraire, par les dernières lettres x\ y, z, etc.

17. On donne en général le non à* expression algébrique k tout ensemble de lettres, ou de lettres et de nombres, réunis par quelques-uns des signes énumérés dans le paragraphe précédent. Ainsi

est une expression algébrique.

Une expression algébrique est dite rationnelle quand elle ne contient point de signe radical. Elle e&X irrationnelle dans le cas con^ traire.

Une expression algébrique esl dite entière loi squ'aucune division n'y est indiquée. Elle est fractionnaire dans le cas contraire.

Nous nous occuperons d'abord des expressions algébriques rationnelles et entièies. Telle est l'expression :

Sa^x—ia^x^-\-^6ax^ .

18. Dans une expression algébrique rationnelle et entière où il n'entre point de parenthèses, les différentes parties séparées par les signes + ^^ — sont ce que l'on appelle les différents f^rw^5 de l'expression. Telles sont dans l'expression ci-dessus les parties 5 a^a?, ^ 4aV , et + ^Qax^ .

Une expression algébrique qui n'a qu'un terme prend le nom de monôme; telle est l'expression — 4oV .

Une expression algébrique qui a deux ternies prend le nom de binôme ; telle est 3a — 5ft .

Une expression algébrique qui a trois termes porte le nom de trinome; tel est 2aî^ — 3ax + Sab .

En général, une expression algébrique qui a plusieurs termes porte le nomdej^o/j/nom^.

19. Dans un monôme, il y a quatre éléments à distinguer : l^^Le signe dont il est précédé, et qui peut être + ou — . Tout

monopae qui n'a pas de signe est censé précédé du signe -f- . Les monômes précédés (ou supposés précédés ) du signe + sont des

NOTIONS PAÉUatmif REg. 9

monômes additifs ou positifs. Les monômes précédés du signe — sont des monouiies eovstractifs ou négatifs. , n-

2° Le facteur numérique, s'il y en a un* Ce facteur qu'on écrit le premiefvporte, ainsi que nous l'avons vu, le nom Aecoefficienf.

Z^ I^es lettres qui forment les autres facteurs,

.¥ Les exposants de ces lettres, ou les nombres écrits à droite et un peu au* dessus, qui indiquent combien de fois la quantité représentée par chaque lettre entre comme/acteur dans le produittotal.

Ainsi dans — 4 aV, le signe est *— , le coefficient est 4, les lettres sont a et x, les exposants sorft 2 et 3.

20. Remarque. Si dans un monôme on imagine que chaque lettre prenne une valeur numérique déterminée, le produit indiqué par ce monôme prendra lui-môme une certaine valeur numérique, la-* quelle devra être prhe positivement on négativement^ c'esi-h-à'wQ additivement ou' soustractivement, suivant que le monôme est affecté du signe + ou du signe — . Si, par exemple, dans le monôme — 4«V on imagine que a ait la valeur 3 et a? la valeur 5, le monôme reviendra à — 4.3.3.5.5.5 ou à — 4500.

On pourrait attribuer aux lettres des valeurs numériques fractionnaires, sans que pour cela le monôme cessât d'être entier, algébriquement parlant. Si par exemple on attribue à a la valeur -

et à a? la valeur - , le monôme — 4aV deviendra à — ^„ .

C'est toujours sous cette forme numérique qu'il faut se représenter un monôme; c'est-à-dire qu'on doit se le représenter comme composé d'une valeur absolue, entière ou fractionnaire, affectée d'un signe qui est -|- ou — , suivant qu'elle est additive ou soustractive.

2t. On nomme degré d'un monôme la somme des exposants des lettres qui y entrent. Les lettres qui n'ont point d'exposant n'entrant qu'une fois comme facteur, sont supposées avoir pour exposant 1. Ainsi le degré du monôme Sa^b^x est 3 + 2 -f- 1 ou 6.

22. On nomme termes semblables dans un polynôme ceux qui ne diffèrent que par le coefficient et par le signe. Ils contienneill par conséquent les mêmes lettres affectées des mêmes exposants. Ainsi dans le polynôme

ina'b'x — 6a*ft V + Sa'b'^x + lab^x' — ^a^b^x — . ka'^b^x ,

il y a quatre termes semblables :

ISaVa; , -\-Sa^b''x , '—^a^b^x et — ka^b^x .

On peut toujours réduire les termes semblables enun seul. Il est clair, en effet, dans l'exemple précédent, que quelle que soit la va-

lÔ OPÉRATIONS FONDAMENTALES :

fetn- ntimériqae de a*è*a?, il faut prendre 15 fois cette valeur, ajouter encore 8 fois la même valeur, puis en retrancher d'abord 9 fois ceiys iriôme valeur, et encore 4 fois cette valeur. Le résultat sera donc le même que si de 15 + 8 ou 23 fois la valeur numérique dont il s*agit, on retranchait 9+4 ou 13 fois cette même valeur, ce qui donnerait 23 — 13 ou 10 fois cette valeur. L'ensemble des quatre termes considérés revient donc a 10 a Va?.

Si Tensemble des termes sousiractifs remportait sur celui des termes additifs, le î'ésultat serait lui-même soustractif.

Si, par exemple, parmi lestlrmes d'un polynôme on trouvait les deux termes semblables

-f-17fl*6 et —25a**

on voit que, quelle que soit la valeur numérique du monôme a*6, on devrait ajouter aux termes précédents 17 fois la valeur de o*6, et en retrancher ensuite 25 fois cette même valeur. Mais comme 25 surpasse 17 de 8, cette opération reviendrait à retrancher 8 fois a*6; l'ensemble des deux termes semblables considérés se réduirait donc à

On lire de là cette règle : Pour effectuer la réduction des termes semblables^ on fait la somme de tous les coefficients qui ont le signe -|et la somme de tous les coefficients qui ont le signe — ; on retranche lapins petite somme de la plus grande^ on donne au reste le signe de lapins grande, et on écrit à là suite la partie littérale commune.

23. Un polynôme est dit homogène quand tous ses termes sont du même degré (21). Tel est le polynôme

5fl6V — 6aViP* + 8a*6a? ,

dont tous les termes sont du 6« degré.

24. Ordonner un polynôme, c'est écrire ses différents termes dans un ordre tel que les exposants d'une même lettre aillent toujours en augmentant ou toujours en diminuant d'un terme à l'autre. La lettre qu'on choisit pour guide prend le nom de lettre ordonnatrice ; si l'on écrit les termes de manière que les exposants de la lettre ordonnatrice aillent en augmentant, on dit que le polynôme est ordonné par rapport aux puissances croissantes de cette lettre ; si les exposants de la lettre ordonnatrice vont en diminuant, on dit que le polynôme est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de cette lettre.

Ainsi le polynôme, déjà considéré ci-dessus,

5a6V— 6a'6V-+8a*te

NOTÏOIVS PRÉUMIISAIRES.. lt\

est ot-donné par rapport aux piiissaoce croissantes â^. a., ou par rapport aux puissances décroissantes de x .

Dans la plupart des calculs algébriques, on a soin d'ordonner ainsi les polynômes ; cette opération facilite les calculs, en leur donnant plus de symétrie. II est clair d'ailleurs que, quel que soit Tordre dans lequel on écrit les termes, soit additifs, soit souslraclifs, d'un polynôme, sa valeur demeure la même. Cette valeur se compose évidemmenl de la somme des valeurs numériques des termes additifs ou positifs, diminuée de la somme des valeurs numériques des termes soustractifs ou négatifs.

Il peut arriver que plusieurs termes d'un polynôme contiennent la même puissance de la lettre ordonnatrice ; on"^ les ordonne alors entre eux par rapport aux puissances d'une seconde lettre. Paiexemple, le polynôme

3a V — iabx^ -f Gab'x — Ha^b^

ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x , contient deux termes affectés de x^ ; ces deux termes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une seconde lettre, a .

L'ensemble des termes qui contiennent la lettre ordonnatrice principale avec son plus haut exposant forme ce qu'on appelle /« groupe le plus élevé du polynôme . S'il y avait plusieurs termes contenant la lettre ordonnatrice avec son moindre exposant, leur en<sem|)le formerait le groupe le moins élevé.

12 OPÉRATION» WNDAMÉNTALES