DES QUATRE OPÉRATIONS FONDAMENTALES, ET DBS FRACTIONS ALGEBRIQUES
Ô8. Nott3 ne nous occuperons dansée chapitre et dans le suivant que des expressions algébriques rationnelles, en commençant par celles qui sont entières. Nous supposerons déplus, si elles sont monômes, qu'elles sont positives, ou que, si elles sont polynômes, l'ensemble des termes positifs l'emporte en valeur absolue sur l'ensemble des termes négatifs.
. Nous verrons plus tard le sens qu'il faut attribuer aux opérations algébriques et aux quantités mêmes sur lesquelles ellas s'effectuent, lorsque la condition dont nous venons de parler n'est pas remplie.
§ I. De r addition.
26. En ayant égard à la restriction exprimée dans le numéro précédent, additionner deux expressions algébriques, c'est ajouter à la valeur absolue de la première, la valeur absolue de la seconde.
1** Si les deux expressions à additionner sont deux monômes semblables (22), on additionnera les coefficients, et Ton écrira à la suite de la somme la. partie littérale commune. Par exemple, les deux expressions 5a V et la^x^ ont pour somme 12 a^x^ .
2** Si les deux expressions à additionner sont deux monômes dissemblables, il suffira d'écrire le second à la suite du premier en les séparant par le signe + ; et le résultat ne sera susceptible d'aucune simplification. Par exemple, la somme des expressions 5aV et la^x*' est
5«V + 7flV .
27. Supposons maintenant que les expressions à additionner soient polynômes , et qu'à a — b , par exemple, on se propose d'ajouter c — d .
Si à la suite de a — b on écrivait le premier terme de c — h en le faisant précéder du signe + ^ ce qui donnerait a — 6+c , on aurait ajouté à a— 6 une quantité trop grande de d; le résultat serait donc lui-même trop grand de d . Pour lui donner sa véri-
. ..DE t^ADOraOK. 13
table valeur, il faut donc le diminuer de d , ce qui se fera en . écriyanl à sa suite r-^d ; et l'on aura
On voit qu'il a suffi d'écrire à la suite de a — b chacun des termes de c — d , avec le signe qu'il avait ; car le terme c qui n'était précédé d'aucun signe, devait être regardé comme précédé du signe + (i^y-
En répétant les raisonnements qui précèdent pour des polynômes composés d'autant de termes qu'on voudra, on verrait de même que les termes positifs du second polynôme doivent s'écrire au résultat avec le signe + , et que les termes négatifs de ce môme polynôme doivent s'écrire au résultat avec le signe—-. En d'autres termes : Pour additionner deux polynômes^ on écrit le second à la mite du premiet* en conservant à chaque terme son signe.
Remarque. La règle serait évidemment la même pour ajouter un polynôme à un monôme.
28. Si la somme présente alors des termes semblables, il faut en opérer la réduction (22), ce qui simplifie le résultat.
Soient, par exemple, à additionner les polynômes
ia^x^ — 6a\x^ + lax^ — dx^ et ba^x^ + 2a V — l'iax' -f- lOa?^ ;
on trouvera 9a V — 4a V — 5ar* -j- ^ -
Soient de même, les polynômes :
a^b + 3ab'- — U' et ^H — *Sab'^ + b'
on trouvera 6a^ft — 36 \
§ II. De la soustraction.
29. D'après l'hypothèse admise dans ce chapitre, soustraire deux expressions algébriques l'une de l'autre, c'est retrancher de la valeur absolue de la première la valeur absolue de la seconde. 1® Si les deux expressions sont deux monômes semblables, on retranchera le coefficient de la seconde du coefficient de la. première, ce que nous supposerons possible, et l'on écrira à la suite de la différence la partie littérale commune. Par exemple, la différence entre 7a^bx et ia^bx est évidemment Sa'^bx.
2® Si les expressions à soustraire sont deux monômes dissemblables, ou écrira le second à la suite du premier en les séparant par le signe — ; et le résultat ne sera susceptible d'aucune simplification. Ainsi la différence des monômes Soa:* et 3a^a?^ est Saa:* -- 3a^x^*
30. Supposons maintenant que Texpression a soustraire soit polynôme, celle dont on soustrait pouvant être polynôme ou monôme.^ Par exemple, supposons que de a — é, on veuille sons- <taire c — d.
Si à la suite de a — bon écrivait le terme c avec le signe — , c'esl-à-dire si de a — b on retranchait c , ce qui donnerait a — b — c, on aurait évidemment retranché une quantité trcyp grande de d ; le résultat serait donc trop petit de d. Pour lui rendre sa vraie valeur, il faudra donc lui ajouter d^ ce qui se fera en écrivant -f- ^ * la suite, et l'on aura a — b — c-\-d.
On remarquera que le terme c qui avait, ou était censé avoir, le signe + dans le polynôme à soustraire, a le signe — au résultat; et que le terme d qui avait le signe — dans le polynôme à soustraire, a le signe + au résultat.
En répétant les mêmes raisonnements et les mêmes observations pour des polynômes, composés d'autant de termes qu'on voudra^ on verrait de môme que tout terme ayant le signe + dans le polynôme à soustraire devra être écrit au résultat avec le signe — , et que tout terme ayant le signe — dans le polynôme à soustraire, devra être écrit au résultat avec le signe + . De là cette règle : Pour soustraire un polynôme d^un autre, on récrit à la suite de cet autre en changeant le signe de chacun de ses termes.
Si la différence ainsi obtenue présente des termes semblables, il faut, pour simplifier le résultat, opérer la réduction (M) de res termes.
Exemples. I. Du polynôme 9a'.T* — 4a V — 5a.r* + x^ on veut soustraire AaV — 6a-.r^ -(- 7a.^* — 9jî^ ,
on aura d'abord pour résultat
9a^a;'- — ia^x' — 5a.r* + x' — ia'x'- + Cm'x' — lax' + %x^
ou, en réduisant,
5aV + 2oV — 12aT* + 10.r'' .
IL Si de a" + 2a6 + h^ on soustrait à" — lah + 6* ,
on trouvera pour reste
n^ + 2a/; +b^ — a^ + 2ab — b^
ou, en réduisant iab,
31. Remarque sur r usage des parenthèses :ï\ arrive souvent que l'on a intérêt à regarder un polynôme, soit comme la somme, soit OQinme la différence de deux autres polynômes. Pour cela,on réunit
obtient pour second reste zéro^ il s'ensuit que l'opération est terminée, et que le quotient total cherché est
3a la? — kah +26 1 .
47. Remarques. I. On reconnaît que la division ne peut s'effectuer exactement : 1® lorsque le diviseur contient une lettre qui n'entre pas au dividende ; 2"* lorsque la plus haute puissance d'une lettre au diviseur surpasse la plus haute puissance de la même lettre au dividende ; 3* lorsque, après avoir ordonné le dividende et lediviseur par rapport aux puissances décroissantes, par exemple, d'une même lettre , quelle qu'elle soit, le premier terme du dividende n'est pasexactementdivisible par le premier terme du diviî;etir, ou que le groupe de termes le plus élevé du dividende n'est pas exactement divisible par le groupe le plus élevé du diviseur; 4"* lorsque le dernier terme du dividende n'est pas exactement divisible par le dernier terme du diviseur, ou que le groupe de termes le moins élevé du dividende n'est pas exactement divisible par le groupe le moins élevé du diviseur; 5' enfin lorsque, dans le courant de l'opération, le premier terme d'un reste n'est pas exactement divisible par le premier terme du diviseur, ou que le premier groupe de termes de ce reste n'est pas exactement divisible par le premier groupe du diviseur.
II. Lorsqu'il se manifeste une impossibilité dans le courant de l'opération, le reste auquel on est parvenu est ce qu'on appelle le Te%te de l'opération. Si l'on ajoute ce reste au produit du diviseur par l'ensemble des termes obtenus au quotient, on doit reproduire le dividende
Soit, par exemple, à diviser
12aV+7a^2*— 8a*a:+2a^ par 4ar* + 5a*j: — 6a' .
En opérant comme précédemment :
i2a»a?5+ la^x^— 8a*aî+ 2a» | 4aa?»+5fl*a?— ea^j ~12a'jg^— 1 5a^ag*4-i 8o»a? 2ax —2a*
1" reste — 8a«a5*-hlOa*aj+ 2a«^
. + 8a»a?^+i0a^a?--i2as 2« reste -f20a*œ— 10a»
on obtient d'abord au quotient les deux termes 2ax et — 2a*;
puis l'on parvient à un second reste 20a*a? — lOa^ dont le premier
terme n'est pas divisible par le premier terme du diviseur, puisqu'il
Alg. s. 3
contient la lettre ordonnatrice à une puissance moindre. Il en ré-^ sttHe qiiie Ttypiélratîon ne peut s'effectuer éxacietiient, et que le di-' videtide est égal au produit du diviseur par ^aœ — 2a* , augmenté du reste 2fia*x — lOa^ ; ce qu'il est facile de vérifier,
48. Nous placerons ici quelques théorèmes de calcul , dont on fait assez souvent usage, et qui se rattachent à la division.
I. Soit le binôme af* — a*" , dans lequel m désigne un nombre entier quelconque. Proposons-nous de diviser ce binôme par le binôme a; — a.
+a'a— » — a»» etc.
-j-a»»— ïaî — a»»
-fa"'— a"* ou zéro.
Ces binômes étant ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x^ divisons le premier terme af^ du dividende par le premier terme x du diviseur. Le quotient partiel sera x affecté d'un exposant égal à la différence entre w et 1 , c'est-àdire ar^"~* . Multipliant le diviseur par ce terme, et soustrayant le produit du dividende, on obtient pour premier reste -f-ao?'»"* — o"* . Divisons aa?*»^* par x , le quotient sera -j- ax^-^^ , puisque rexposant de x devra être diminué d'une unité. Multipliant le diviseur par ce terme, et soustrayant le produit du dividende, on obtient pour second reste -f- a^af"^ — a"*; et ainsi de suite.
Or, si l'on examine ces restes successifs, on reconnaît que, dans leur premier terme, l'exposant de a va sans cesse en augmentant d'une unité d'un reste à l'autre, tandis que l'exposant de x va en diminuant d'une unité; de sorte que la somme des deux exposants reste toujours égale à m. Il viendra donc un moment où l'exposant de a sera devenu m, tandis que x aura disparu; en sorte qu'à cet instant on aura pour reste oT" — a"* ou zéro. D'où il résulte que : x"* — a™ est divisible par x — a.
Quant au quotient, il est facile à retenir. Tous ses termes sont positifs, et ont pour coefficient l'unité; l'exposant de x va en
diminuant d'une unité d'un terme à Tautre; celui de a va èa augmentant d'iine unité. Le premier terme est af"^ . Quant au dernier, on le trouvera en remarquant que les termes consécutifs du quotient ne sont autre chose que les premiers termes des restes successifs dans lesquels l'exposant de a: a été diminué d'une unité; or, le reste qui précède a'" — a'" , est, d'après la loi des exposants, + a**"*a: — a*"; le terme correspondant du quotient est donc + a"*-* ; et ce terme est le dernier, puisque le reste suivant est zéro.
On démontrerait d'une manière analogue que :
