Deuxième partie

V. Trouver une fraction telle quen rajoutant ternie à terme avec

la fraction - , on obtienne un résultat équivalent à ^4 •

Réponse : 07 145,39 7 ^^^'^ ^^'^^^^^^^ ^^^^ '^^ termes soot en progression arithmétique.)

VI. On a de Vargent au titre de 0,950, et de l'argent au titre de 0,820. Combien fautH prendre^ en nombres entiers^ de décagrammes de chaque espèce d'argent, pour faire un alliage qui contienne 1 kilogramme d'argent pur?

(Réponse : argent au titre de 0,950 : 88^» , ô'^s ,

argent au titre de 0,820 : 20^b , 115^5 .

§ II. Résolution en nombres entiers des équations du premier degré à plus de deux indéterminées.

323. Considérons d'abord deux équations à trois indéterminées ax-^by -\-cz^=d , [\]

fix+b'y + dz=d' , [2]

dans lesquelles on peut toujours supposer qu'on ait supprimé les facteurs communs à tous les termes.

Ces équations ne pourront admettre de solutions entières pour X, y ei z qu'autant que, dans chacune d'elles, il n'y aura aucun facteur commun aux trois coeificients des indéterminées. Car si a , 6 , c , par exemple, admettaient un facteur commun, ce facteur diviserait le premier membre, puisque x, y ^ z sont entiers; il devrait donc aussi diviser le second, ce qui est impossible, puisqu'il n'y a plus, par hypothèse, aucun facteur commun à tous les termes. Admettons donc que cette condition soit reinplie.

Éliminons l'une des trois indéterminées, z par exemple, entre les deux équations proposées; nous obtiendrons l'équation

{ac'~ca')x-\'(bc'—cb')y=dc'—cd' , [3]

qui devra également admettre des solutions entières.

Si les coefficients ac' — ca' et bc' — cb' sont premiers entre eux (314), on tirera de cette équation des valeurs de la forme

x^a'{'(bc'—cby et y=:p—(ac'—ca')t .

Ces valeurs, mises dans l'équation [1], donnent, après réductions,

cz — c{ab' — ba')t:=d — aa — fc]3 .

analyse: INDéTBRUINÉe DU PRBMien DEGRÉ. 301

Le premier membre étant divisible par c , le second doit l'être également; en désignant le quolient par y , on a

2—(ab'—ba')t=y

d'où

2=y-\-{ab'—ha')t

Gomme

a posé

d— oa— 63

d'où

aiii.-\-h^-\-Cy=d

on voit que « , P , y forment un système de valeurs entières de .T , y , ^ ; et qu'on a

x=ztf.-^{bd — cb')t , .

y=P+(ca!—ac')t ,

valeurs qui ont une symétrie remarquable.

Soient, par exemple, les équations

5a:4-8y— 11^=43 , lx—Zy-\- 22=19 .

On obtient, en éliminant z , Téquation

d'où Ion tire a:i=5+l7f et y=8-f-87^ .

Substituant ces valeurs dans la seconde équation, on trouve, après réductions,

22— 142f==:8 , ou 2-71^=4 d'où z=ii'\'l{t .

324. Si les coefficients ac' — ca! et bc'—cb' avaient un facteur commun qui ne divisât pas dc'—cd , l'équation [3] ne pourrait être satisfaite par des valeurs entières de a: et de y ; et par conséquent les équations [1] et [2] n'admettraient pas non plus de systèmes de valeurs entières.

Si les trois quantités ad — ca' , bc' — cb' et de' — cd avaient un facteur commun, que nous désignerons par k , on pourrait supprimer cfr facteur; et, en désignant par w , n , p les quotients de ces trois quantités par k , on aurait l'équation

mx^ny=^p

qui donnerait pour x ei y des Valeurs de la forme

jp=a — nt et y=p'}-mt .

Ces valeurs substituées dans Tune des équations "proposées, la première, par exemple, donneraient une équation en :; et ^ ; d'où Ton tirerait des valeurs de la forme

z=y-{-qt' et t=â-{-rf

Enfin, la valeur de t étant substituée dans les valeurs de x et de y , ces inconnues se trouveraient exprimées au moyen de t' par les relations

x={K—nif)—nrt' et y=(fi-{-mâ)-{'mrt' .

Il suffirait alors de donner des valeurs entières à t' pour en déduire les systèmes de valeurs entières de x ^ y et z . Soient, par exemple, les deux équations

6x—7y+iz=il 8x-|-5y-f6f=49 .

En éliminant z on obtient

lOjT— 26^=14 ,

ou, en supprimant le facteur 2 commun à tous les termes

5x— 13y=7 , on tire de cette équation

x=A — ldt

Si Ton substitue ces valeurs dans la première des deux équations données, on trouve, après réductions,

<iz—m=:k ,

d'où l'on lire

t=2t' et z=2+43t'

et, par suite

On peut vérifier que ces valeurs satisfont bien aux deux- équations proposées. •

325. Si la question exige que les solutions soient entières et positives, on aura à satisfaire à trois inégalités.

On vient de voir que les valeurs de x, y^ z se présentent sous la forme

x=(^-\-mt , y=p-\-nt , z=:y-\-rt .

On posera donc

a+wf>0 , |3+nï>0 , y^ri>0 ,

ce qui donnera trois limites pour t.

Si ces limites sont toutes trois inférieures ou toutes trois supérieures, on pourra donner à t toutes les valeurs au-dessus de la plus grande de ces limites, si elles sont inférieures, ou toutes les valeurs au-dessous de la plus petite, si elles sont supérieures. Il y aura donc un nombre illimité de solutions.

Si ces limites ne sont pas toutes trois de môme sens, t devra être pris entre ces limites; et par conséquent il y aura un nombre limité de solutions.

Si ces limites étaientcontradictiores, il n y aurait aucune solution positive possible.

326. Gomme exemple d'une question conduisant à deux équations du premier degré à trois indéterminées, nous traiterons la suivante :

On veut donner une gratification aux ouvriers d'une fabrique. Si l'on donne 5 francs à chaque homme^ 4 fratics à chaque femme et 2 francs à chaque enfant^ il faudra une somme de 136 francs. Si Ion donne l franc de m»ins à chacun, il ne faudra que 118 francs . On demande combien il y a d'hommes, de femmes et d'enfants.

Soient x le nombre des hommes, y celui des femmes, z celui des enfants. On aura évidemment les deux équations

Sx'^iy^2z=im ,

Éliminant z, on trouve

3x+2y=80 , d*où Ton tire x=2t et y=40 — 3^.

Ces valeurs, mises dans la seconde équation du problème, donnent

t—z=:^ , d*où • z=t—i .

Comme ar, y ei z doivent être positifs, on devra avoir

t>0 ; t<j et ï>2 .

On devra donc prendre pour t des valeurs entières et posi-

Alg. s. 20

tives depuis 2 jusqu'à 13 incliilivement, ce qui donnera Savoir

327. Soit maintenant à résoudre en nombres entiers une équation unique, du premier degré à trois indéterminées

dans laquelle o, ft, c sont des nombres entiers qui n'ont point de facteur commun.

Il y a deux cas à distinguer : ou, parmi les trois coefficients o, J, c, on en pourra trouver au moins deux qui soient premiers entre eux; ou bien ces coefficients, pris deux à deux comme on voudra, offriront toujours un facteur commun (ce qui ne veut pas dire qu'il y ait un facteur commun à la fois aux trois coefficients).

I. Examinons d'abord le premier cas ; et, pour fixer les idées, supposons que o et ft soient premiers entre eux.

Faisons passer le terme en z dans le second membre, et appliquons à l'équation

ax-]--by = d — cz

la méthode du n^ 318, en y considérant z comme connu ; nous en tirerons pour xety des valeurs de la forme

x=o(, — bt et y=p-^at ,

dans lesquelles a et p seront des polynômes entiers et du premier degré par rapport à z. On pourra dès lors prendre arbitrairement z et t; et, pourvu qu'on leur attribue des valeurs entières, il en résultera des valeurs entières pour x et y.

Si ces valeurs doivent, en outre, être positives, on donnera à z une valeur arbitraire entière et positive ; on posera alors

a— 6;>0 et i3+a^>0 .

Il en résultera pour t deux limites ; et suivant que ces limites seront de même sens ou de sens contraire, compatibles ou incompatibles, il en résultera un nombre illimité de valeurs, entières et positives pour X et y, ou un nombre limité de ces valeurs, ou bien il n'en existera aucune. On opérera de même pour chaque valeur entière et positive qu'on attribuera à z .

Soit, par exemple, Téquation unique

Comme 5 et 8 sont premiers entre eux, on peut appliquer la méthode ; on écrira donc

Sa;+8sf=414-12z ,

d'où ^^ 4i + i2z--8y ^3^g^gy^ii:2z^ ^

ou a:=8+2z— 2y+^ ,

en posant H^^+^y — ^ ou 2y— Sï=— 1— 2^ .

Puis y= -^-f^'^' =-z + ^t + ^-^=:-Z + ^^t + t' ,

en posant -^=f' ou ^=:l-}-2^ .

Cette valeur, mise dans celle de y , donne

y=— z-f-2+4«'4-^' ou 2/=— ^+2+5r' .

Et en substituant pour ^ et ^ leurs valeurs dans celle de a: , on obtient

Si Ton ne veut que des valeurs positives, on tirera de ces égalités les conditions

^>^ et r>^ .

Pour J2r=0 , on a t'>—^ et ^'<g; on ne pourra donc prendre que «'=0. ; ce qui donnera y=2 et a:=S .

Pour z=l , on a t'>—^ et ï'<| ; on pourra donc admettre les valeurs «'=0 et t'=l , qui donneront, savoir :

Pour z=i , on a t'>0 et t'<i~ ; on pourra donc admettre

les valeurs t'=0 (car la condition t'>0 n'exclut pas l'égalité)

et t'=l .

Pour ^'=0 , on aura y=^0 , x=ld .

Pour t'=l , on aura y =5 , x= 5 .

A in

Pour z=3 , on a «'>g et *'< g ; on pourra donc admettre les valeurs t'=l et «'=2 , qui donneront, savoir :

pour t'=l y=4 , x=9 ;

pour t'=2 y=9 , x=l .

En continuant ainsi, on obtiendrait autant de systèmes de valeurs entières et positives qu'on le voudrait.

328. II. Supposons maintenant que, parmi les coefficients a, 6, c, on ne puisse pas en trouver deux qui soient premiers entre eux. Désignons par m le plus grand commun diviseur entre a et ft, par exemple; soient a' et b' les quotienis respectifs de a eib par m. L'équation proposée deviendra

ma'x-{^mb'y-\-cz=:d , d'où l'on tire a'x-{-b'y=-^^^ .

Le premier membre étant supposé entier, il faut que le second le soit; en désignant ce nombre entier par ^ on aura donc

et ^=^=^ ou cz-{-mt=d . [2]

Or, a' et b' étant premiers entre eux, puisque ce sont les quotients de a et de ft par leur plus grand commun drviseur, l'équation [1] admettra des solutions entières de la forme

x=a—b't' et y=p-\-a't' , [3]

dans lesquelles a et p seront des polynômes entiers et du premier degré par rapport à t ; cela résulte du mécanisme même de la méthode exposée au n® 318.

De même c et m étant premiers entre eux, puisque le facteur m, commun à a et à 6, ne Test pas à c, l'équation [2] admettra des solutions entières de la forme

z=y—mt" et t=S-\-cf ; [4]

mettant cette valeur de t dans les expressions de x et de y, ces indéterminées se trouveront exprimées par des polynômes entiers et du premier degré en t" et f ; tandis que z ne dépendra que de f.

Si la question exige que les valeurs de x, y ei 2 soient en outre positives, on posera les conditions qui expriment que ces valeurs sont plus grandes que zéro. On cherchera ensuite en opérant sur ces inégalités des transformations permises à isoler t' et f , et à obtenir ainsi des limites pour ces indéterminées ; mais Ton ne peut se flatter a priori d y réussir.

Soit, par exemple, Téquation

Les deux premiers coefficients ayant le facteur commun 2, nous pourrons la mettre sous la forme

et poser en conséquence

3x—Sy=t et 2I=IËî=^ ou 15^+2ï=i37 .

On tire de la première : y = t — 3t' et a? = 2^ — 5t'. De la seconde on tire de même : z=l — 2f et ^=H-rl5^". Mettant cette valeur de t dans les expressions de y et de a?, on obtient

y=H + 15r— 3r' et 57=22+30^^— 5r .

Il suffira de donner k t' et k f des valeurs entières quelconques pour obtenir autant de systèmes de valeurs entières pour a:, y eiz.

Si Ton veut en outre que ces valeurs soient positives, on posera les conditions

l 2r>0; H + 15f-3t'>0 et 22 + 30^'— 5«'>0 .

Le première donne t"<,^. Les deux autres peuvent s'écrire

3t'—l^f<ll et 5^'— 30r<22 ,

ou, en multipliant les deux termes de la première de celles-ci par 2 ,

[m] 6£'— 30r<22 et 5^'— 30f<22 . [n]

Or, de 2r<l on tire 30f>15 . Ajoutant celte inégalilé membre à membre avec chacune des deux précédentes , on en tire

6t'<37 et 5f'<37 ;

conditions dont la première comprend la seconde.

On ne devra donc prendre pour t' que les valeurs +6, 4^5, etc., jusqu'à Tinfini négatif.

On tire des inégalités en t' et f

Pour les valeurs positives de t\ c'est la première de ces deux limites de f qu'il suffira déconsidérer; pour les valeurs négatives de t', ce sera la seconde; et l'on ne devra prendre pour f que les valeurs comprises entre et cette limite. On trouve ainsi :

Pour f'=6; 5; 4; qu'il n'y a point de valeur correspondante de t\ Pour :

t'=z 3 ; on trouve t"=0 ; d'où x=: 7 ; y= 2 ; z=:{ . «'= 2 ; ; 12 ; 5 ; 1 .

et ainsi de suite.

380. Gomme exemple de question qui conduit à une seule équation entre trois indéterminées, nous traiterons la suivante :

Faire une longueur d'un mètre en mettant à la suite les unes des autres des pièces de 5 fr. dont le diamètre est de 37 millimètres^ des pièces de 2 fr. dont le diamètre est de 27 millimètres^ et des pièces de 1 fr. dont le diamètre est de 23 millimètres .

Si ar , y , ^ représentent respectivement le nombre des pièces de-Sfr., de 2fr. et de 1 fr., on devra avoir

On peut appliquer ici la méthode du n** 327, et écrire

d'où Ton tire (318)

y=—^J^Sx—i3t et z=i7—llx+3t7t .

Comme ces valeurs doivent être positives, on devra avoir

a:>0 , 8^— 23^— 3>0 ; 47— Ha;+27r>0 ,

on éliminera t par réduction entre les deux dernières inégalités qui sont de même sens, et il viendra

— 37a:+1000>0 d'où a?<^ ,

condition qu'on aurait pu écrire sur-le-champ, puisqu'elle exprime que la somme des diamètres des pièces de 5 fr. ne doit pas surpasser 1000 millimètres ou 1 mètre, c'est-à-dire la longueur demandée.

L'indéterminée x aura donc pour limites et 27 inclusivement. Des deux inégalités en x et t, on tire ensuite

et t>

lia?— 47

chacune des valeurs attribuées à a:, de à 27, devra être mise dans ces inégalités ; il en résultera deux limites entre lesquelles les valeurs correspondantes de t devront être prises. Si ces limites ne comprenaient point de nombre entier, la valeur correspondante de X devrait être rejetée. On formera ainsi le tableau suivant :

Ea tout 23 solutions.

330. Ce qui précède indique suffisamment lamarcke qu'il faudrait suivre si Ton avait plus de trois indéterminées.

I. Si Ton avait, par exemple, trois équations à quatre indéterminées a: , ^ , ^ et u , on en tirerait par l'élimination de w, deux équations à trois indéterminées ar , y , r , que Ton traiterait comme il a été dit plus haut (323 et suiv.). Ayant obtenu les valeurs de x\ y t\, z au moyen d'une indéterminée ^ on porterait ces valeurs dans l'une des trois équations proposées, qui ne contiendrait plus alors que deux indéterminées X et u; on traiterait cette équation à deux indéterminées, et l'on en tirerait les valeurs de ^ et de t* au moyen d'une nouvelle indéterminée i , Portant alors la valeur de t en ^ dans les expressions de a? , y , z ^ on aurait les quatre indéterminées ar , y , z ei u exprimées au moyen d'une seule indéterminée t'.

IL Si l'on n'a que deux équations à quatre indéterminées x , y , ^ et u , on en tirera par l'élimination de u une équation à trois indéterminées, que l'on traitera comme il a été dit aux n°* 327 et suiv. Il y aura alors, comme on l'a vu, deux cas à distinguer.

Si l'on obtient les valeurs de a: et y au moyen d'une seule indéterminée t , z restant arbitraire, on portera ces valeurs dans l'une des équations proposées qui ne contiendra plus que w , ir et ^ On la traitera comme la précédente et Ton obtiendra soit M et ;2: au moyen d'une seule indéterminée t' , t restant arbitraire, auquel cas ar , y , z et w pourront être exprimés au moyen de t et de t' ; soit u ^ z ei t au moyen de deux indéterminées t' et f , auquel cas x , y , .zr et ti pourront être exprimés au moyen de ces deux mêmes indéterminées.

Si, en traitant l'équation primitive résultant de l'élimination de w , on obtient ar , y et >? au moyen de deux indéterminées t et t' , en portant ces valeurs dans l'une des équations proposées, on obtiendra une équation à trois indéterminées u , t et t' . En la traitant à son tour, on obtiendra soit u et t au moyen d'une seule indéterminée t" , t' restant arbitraire, auquel cas y , a: , z et u pourront être exprimés au moyen de t' et de f ; soit w , « et t' au moyen de deux indéterminées f et t'" , auquel cas ar , y , z et u pourront être exprimés au moyen de ces deux mêmes indéterminées.

m. Enfin, si l'on n'a qu'une seule équation à quatre indéterminées a: , y , z , w , il pourra se présenter deux cas : ou l'on pourra trouver deux coefficients premiers entre eux, ou on ne le pourra pas.

Dans le premier Câs, supposons que ce soient les coefficients de a? et de y qui soient premiers entre eux. On fera passer dans le second membre les termes en ^ et en ti ; on traitera l'équation résultante comme une équation à deux indéterminées x et y , et Ton obtiendra les valeurs de x et de y au moyen d'une indéterminée r , z élu restant arbitraires.

Dans le second cas, on isolera encore dans le premier membre les termes en a; et en y ; on divisera les deux membres par le plus grand commun diviseur des coefficients de a? et de y . Le second membre devant être entier, on le représentera par une nouvelle indéterminée t . On obtiendra ainsi deux équations , Tune entre x , y et t , où Ton regardera t comme connu ; l'autre en z , « et ^ . La première donnera a? et y au moyen de t et d'une nouvelle indéterminée t' . La seconde donnera z ^ u et t d,\x moyen de deux nouvelles indéterminées f et r' . Portant la valeur de t dans celles de x et de y , on obtiendra ces dernières au moyen de trois indéterminées t' , t" et f ; tandis que z et u seront exprimés au moyen de deux indéterminées t" et f seulement.

331. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes qui suivent:

1. Trouver un nombre qui, divisé par les nombres 5,8, 13 , donne respectivement pour restes 4 , 7 et 12 .

(Réponse : 619 , 1039 , 1559 , etc., nombres en progression arithmétique.)

IL Trouver un nombre composé de trois chiffres, dont la somme soit IQ ,et tel quen y ajoutant 99 on obtienne le nombre retourné.

(Réponse : 394 , 475 , 556 , 637 et 718 .)

m. On a trois espèces d'argent : la première au titre 0.96 ; la seconde au titre 0,88 ; la troisième au titre 0,82 . Combien faudrait'il prendre, en nombres entiers, de décagrammes de chaque espèce d'argent pour faire 1 kilogramme d'alliage au titre 0,90 ?

(Réponse : T* espèce d'argent; 2® espèce; 3* espèce.

IV. Un propriétaire a fait travailler dans quatre fermes différentes^ savoir : 12 hommes dans la première, 9 dans la seconde^ 8 dans la troisième et 6 dans la quatrième. La dépense totale a été de 1350 francs . On voudrait savoir quelle a pu être la dépense par homme dans chacune des quatre fermes (en nombres entiers de francs). On se rappelle seulement que la dépense dans la seconde et la troisième ferme valait autant que la dépense dans la première; et que chaque homme employé dans celle-ci a gagné deux fois plus que chacun de ceux qui ont été employés dans la quatrième.

(Réponse : 1'

ferme ;

2' ferme;

S" ferme;

4* ferme

id.

id.)