CHAPITRE XIV

REMARQUES SUR l' EXTRACTION DES RACINES CARRÉES ET CUBIQUES DES NOMBRES.

332. L'extraction de la racine carrée et celle de la racine cubique des nombres sont ordinairement exposées dans les traités d'Arithmétique ; c'est pourquoi nous n'avons pas cru devoir en parler dans le corps même de cet ouvrage, Mais comme la théorie de ces opérations donne lieu à plusieurs remarques qui ne peuvent être bien comprises sans le secours de l'Algèbre, il ne sera peut-être pas inutile de la reproduire, comme application des principes précédemment établis.

§ I. De Textraction de la racine carrée des nombres.

333. Le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par luimême.

Les carrés des nombres

sont

On remarquera qu'aucun de ces carrés ne se termine par un des chiffres 2 , 3 , 7 ou 8 .

Les carrés des nombres

10 100 1000 etc.

sont 100 10000 1000000 etc.

En général, le carré de 10« est lO^'» ; c'est-à-dire que le carré de l'unité suivie de n zéros est l'unité suivie de ^n zéros.

Le carré d'un nombre composé uniquement de dizaines est un nombre de centaines; car le nombre étant terminé par un zéro, le produit de ce nombre par lui-même sera terminé par deux zéros. Ainsi le carré de 80 est 6400.

Le carré d'un nombre composé de dizaines et d'unités^ se compose : du carré des dizaines^ du double produit des dizaines par les unités^ et du carré des unités.

Car en appelant n ce nombre , d ses dizaines et u ses unités , on a

n=rf+w » d'où n*=:d*+2dtt-4-w* .

On remarquera que d élant un nombre de dizaines, d^ est un nombre de centaines, du est un nombre de dizaines. Il en résulte que le chiffre des unités de n* est le chiffre des unités de tt' ; donc le carré d'un nombre entier ne peut être terminé par aucun des chiffres 2 , 3 , 7 ou 8 .

Si un nombre admet un facteur premier jo , il ne peut être un carré parfait qu'autant qu'il est divisible par p*. Car si un carré «' est divisible par p , le facteur p , devant diviser l'un des deux facteurs du produit nxn , divise nécessairement n ; ainsi n est de la forme pq , q étant un nombre entier; donc n* est de la forme p^q^ ; donc w* est divisible par /?* .

Par exemple, si un nombre est divisible par 2 et qu'il ne le soit pas par 4 , il ne saurait être un carré parfait. Si un nombre est divisible par 3 et qu'il ne le soit pas par 9 , il ne saurait être un carré parfait ; et ainsi de suite.

334. On appelle racine carrée d'un nombre un second nombre qui^ multiplié par lui-même^ reproduit le premier,

•Ainsi 2 est la racine carrée de 4 ; 3 est la racine carrée de 9 ; etc.

Lorsqu'un nombre n'est pas un carré parfait, sa racine ne peut être exprimée exactement ni par un nombre entier^ ni par un nombre fractionnaire.

D'abord elle ne peut être exprimée par un nombre entier. Supposons qu'elle puisse l'être par un nombre fractionnaire t , qu'on peut toujours regarder comme réduit à sa plus simple expression; il faudrait alors que son carré ^ fût un nombre entier. Or a et b n'ayant aucun facteur commun, il en est de même de a' et de ft* , et par conséquent ^ ne peut être égal à un nombre

entier.

La racine carréed'un nombre qui n'est pas un carré parfait est dite, pour cette raison, incommensurable. On se propose ordinairement alors de trouver cette racine avec un certain degré d'approximation.

335. Extraire la racine carrée d'un nombre a moins d'une unité PRÈS {par défaut), c'est chercher la racine du plus grand carré contenu dans ce nombre.

Supposons d'abord que le nombre proposé n'ait pas plus de deux chiffres.

REMARQUES SUR l'ëXTRAGTION DES RACINES CARRÉES ET CUBIQUES . 315

. Soit, par exemple, le nombre 72 . Ce nombre est compris entre 64 et 81 ; sa racine est donc comprise entre 8 et 9 ; c'est-àdire que 8 est sa racine carrée à moins d'une unité, par défaut.

On voit qu'il suffit, dans ce cas, de chercher entre quels carrés consécutifs le nombre proposé est compris; la racine du plus petit de ces deux carrés est la racine demandée.

Au lieu de prendre la racine carrée à moins d'une unité près, par défaut^ on pourrait la prendre par excès ; ce serait alors la racine du carré immédiatement supérieur au nombre proposé.

Ainsi 9 serait la racine carrée de 72 , à moins d'iine unité près, par excès.

Il peut arriver que la racine par excès soit plus approchée que la racine par défaut. C'est ce qui arriverait, par exemple, pour le nombre 80 , dont la racine est évidemment plus voisine de celle de 81 que de celle de 64, c'est- à-dire plus voisine de 9 que de 8. Nous reviendrons d'une manière spéciale sur cette circonstance.

336. Supposons, en second lieu, que le nombre proposé ait plus de 2 chiffres, mais pas plus de 4 . Soit, par exemple, le nombre 7209 .

Ce nombre ayant 4 chiffres, est compris entre 100 et 10000. Le plus grand carré contenu dans ce nombre étant au moins égal à 100*, qui y est contenu, est lui-même compris entre 100 et 10000 . Sa racine, qui est le nombre demandé, sera donc comprise entre 10 et 100 , et se composera par conséquent de dizaines et d'unités. Le carré de cette racine contiendra donc le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unités, et le carré des unités. Le nombre proposé contiendra en outre un reste, s'il n'est pas un carré parfait.

Le carré des dizaines de la racine demandée, étant un nombre de centaines, ne peut se trouver que dans les 72 centaines du nombre proposé. Je dis que si l'on extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans les 72 centaines du nombre? proposé, on aura précisément le chiffre des dizaines de la racine demandée. En effet, désignons par a la racine du plus grand carré contenu dans 72 ; nous aurons

ou, en multipliant par 100 , .

a^XlOO<7200<((ï + l)^XlOO ;

mais, ces trois nombres exprimant des centaines, on ne changera pas le sens des inégalités, si l'on ajoute au nombre intermédiaire un nombre, 9 , moindre que 100 ; on aura donc

aM00<7209<(a+l)M00 .

OU, en extrayant la racine,

o.lO<^72Ô9<(a+l).10 .

La racine du nombre proposé est donc comprise entre a dizaines et a+1 dizaines; il en* est donc de même de la racine du plus grand carré contenu, puisqu'elle diffère de la racine totale de moins d'une unité. Elle se compose donc de a dizaines, et d'un certain nombre d'unités moindre que 10 . Le chiffre des dizaines est donc a .

Le plus grand carré contenu dans 72 est 64 , dont la racine est 8 . Le chiffre des dizaines de la racine demandée est donc 8 .

Retranchons du nombre proposé le carré des dizaines obtenues à la racine. Le reste 809 contient encore le double produit des dizaines de la racine demandée par les unités, plub le carré des unités, plus un reste si 7209 n'est pas un carré parfait.

Le double produit des dizaines de la racine par ies unités étant un nombre de dizaines, ne peut se trouver que dans les 80 dizaines du reste 809 . Si ces 80 dizaines étaient exactement le double produit des dizaines de la racine par les unités, en le divisant par le double des dizaines obtenues on aurait les unités. Mais comme ces 80 dizaines peuvent contenir en outre quelques dizaines provenant du carré des unités et du reste, s'il y en a un, en faisant cette division il pourra arriver qu'on obtienne un quotient plus grand que le chiffre des unités; il sera nécessaire de l'essayer.

Le double des 8 dizaines obtenues est 16 dizaines. Le quotient de 80 par 16 est 5 . Pour essayer le chiffre 5 il faut former le double produit des 8 dizaines par ces 5 unités, le carré de ces 5 unité»*, et voir si la somme peut se retrancher du reste 809 . On fait ce calcul plus commodément en écrivant le chiffre à essayer, S , à la droite du double des dizaines obtenues, 16 , et en multipliant par 5 :

car on forme ainsi le produit du double des dizaines par les unités et le carré des unités.

La «somme 825 étant plus grande que 809 , on en conclut que le chiffre 5 est trop fort. On essaye de la même manière le chiffre 4 :

REMARQUES SUR l'eXTRAGTION DES RACINES CARRÉES ET CUBIQUES. 317

On voit que 4 n'est pas trop fort; et comme il ne peut être trop faible, il s'ensuit que c'est le chiffre exact des unités. La racine demandée est donc 84 .

On retranche 656 de 809 , et l'on obtient pour reste 153 , c'est le reste de l'opération.

Le nombre proposé est donc égal au carré de 84 , plus le reste 153 .

Voici le tableau de l'opération :

337. Remarque L Si le double des dizaines n'était pas contenu dans les dizaines du reste, le chiffre des unités serait ; et ce reste serait le reste de l'opération. Exemple :

5 0-3 8 I TJO 49 14

Le double des 7 dizaines , ou 14 , n'étant pas contenu dans les 13 dizaines du reste 138 , le chiffre des unités est , la racine est donc 70 , et le reste de l'opération est 138 .

Remarque IL La crainte de mettre aux unités de la racine un chiffre trop fort pourrait en faire mettre un trop petit. Voici comment on serait averti de cette erreur. Soit a la racine trouvée ; si elle était trop petite d'une unité, le nombre proposé pourrait contenir le carré de a4-l . Or, ce carré, a*+2a+ 1 ? surpasse le carré de a de 2a+l ; mais le nombre proposé surpasse le carré de a d'une quantité égale au reste de l'opération ; il faudrait donc que ce reste fût au moins égal au double de la racine obtenue, plus 1 , pour que cette racine fût trop petite d'une unité.

Remarque III. La racine obtenue est approchée à moins d'une unité par défaut; en l'augmentant d'une unité, on a la racine à moins d'une unité par excès. On peut demander quelle est celle qui est la plus approchée.

Pour répondre à cette question, désignons par N le nombre proposé, par a la racine obtenue, et par r le reste de l'opération ; nous aurons

Faisons le carré de a-\-\ , nous aurons

Si r surpasse a , il le surpassera au moins d'une unité, puisque ce sont des nombres entiers; on aura donc

par suite N>(a+7)* , d'où \J^>a+\ ,

c'est-à-dire que la racine du nombre proposé sera plus près de 0+1 que de a .

Si r est égal ou inférieur à a , on aura

par suite N<(a-t-~)* , d'où VN<a+T »

c'est-à-dire que la racine du nombre proposé sera plus près de a que de a+1 .

En résumé, il n'y a avantage à augmenter d'une unité la racine obtenue que lorsque le reste surpasse cette racine.

Si Ton a égard à cette règle, on aura toujours la racine à moins d'une demi-unité près.

338. Supposons maintenant que le nombre proposé ait pltis de 4 chiffres, mais pas plus de 6 . Soit, par exemple, le nombre 720958 .

Ce nombre étant plus grand que 100 , sa racine est plus grande que 10 ; il en est de môme de la racine du plus grand carré contenu (336) ; elle se compose donc de dizaines et d'unités ; et son carré contient le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unités et le carré des unités. Le nomb?e proposé contient en outre un reste, s'il n'est pas un carré parfait.

Le carré des dizaines de la racine demandée ne peut se trouver que dans les 7209 centaines du nombre proposé. On démontrerait comme ci-dessus (336) qu'en extrayant la racine carrée du plus grand carré contenu dans ces 7209 centaines, on aura les dizaines de la racine. On trouve ainsi que la racine demandée a 84 dizaines, et l'on obtient pour reste 15358 .

Ce nombre contient encore le double produit des 84 dizaines obtenues par les unités, le carré des unités et un reste s'il y en a un. Le double produit des 84 dizaines par les unités ne peut se trouver que dans les 1535 dizaines du reste. Si l'on divise ces 1535 dizaines par le double de 84 ou 168 , on obtiendra pour quotient le chiffre des unités ou un chiffre trop fort. Le quotient de 1535 par 168 est 9 . Pour essayer ce chiffre, on l'écrira

REMARQUES SUR l' EXTRACTION DES RACINES CARRÉES ET CUBIQUES. 319

à la droite du double des dizaines obtenues et Ton multipliera par ce chiffre ; on formera ainsi le double produit des dizaines par les unités et le carré des unités; et Ton verra si le résultat peut être soustrait du reste 15358.

On obtient ainsi 15201

Ce noxnbre pouvant être soustrait de 15358, le chiffre 9 est le chiffre des unités de la racine. La racine demandée est 849 ; et le reste de l'opération est 157.

Le nombre proposé 720958 est donc égal au carré de 849 plus le reste 157.

Voici le tableau des opérations :

On pourrait faire ici les mêmes remarques qu'au n^ 337.

339. En répétant ces raisonnements, on pourra extraire la racine d un nombre composé d'autant de chiffres qu'on le voudra; et l'on est conduit à la règle suivante :

Pour extraire, à moins d'une- unité, la racine carrée d'un nombre entier, on le divise en tranches de deux chiffres, à partir de la droite (la dernière tranche à gauche pouvant n'en avoir quun). On extrait la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche; on a ainsi le chiffre des plus hautes unités de la racine. On soustrait de cette première tranche le carré du chiffre écrit à la racine ; à la droite du reste, on écrit la tranche suivante, ce qui donne le PREMIER RESTE. On séfurc par un point le chiffre des unités de ce reste, et l'on divise la partie à gauche par le double du chiffre obtenu à la racine; on obtient pour quotient le second chiffre de la racine, ou un chiffre trop fort. Pour l'essayer, on l'écrit à la droite du double du chiffre déjà obtenu, et l'on multiplie par le chiffre qu'on essaye. Si le produit peut être soustrait du premier reste, le chiffre essayé est bon, et on l'écrit à la droite du chiffre déjà obtenu à la racine. A la droite du reste de la soustraction, on écrit la troisième tranche du nombre proposé; on obtient ainsi le second reste. On se- Alg. s. 2i

330 QUESTIONS DIVEBSES :

pane son premier chiffre à droite par un points et l'on divise la partie à gauche par le double de la partie déjà obtenue à la racine; on obtient pour quotient le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. Pour l'essayer^ on l'écrit à la droite du double de la partie déjà obtenue à la racine^ et ron multiplie par le chiffre quon essaye; si le produit peut être soustrait du second reste^ le chiffre essayé est bon^ et on l'écrit à la racine. A droite du reste de la soustraction^ on écrit la quatrième tranche^ et l'on obtient un troisième reste sur lequel on opk^e comme sur les précédents. On continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait obtenu tous les chiffres de la racine, qui sont en même nombre que les tranches du nombre proposé.

340. Lorsqu'on a obtenu plus de la moitié des chiffres de la racine, les autres peuvent s'obtenir par une simple division. -

Pour fixer les idées, soit N le nombre proposé ; supposons que la racine, à moins d'une unité, ait Sn+i chiffres, et qu'on en ait déjà obtenu n+1 . Désignons par a la valeur de cette partie obtenue, et par x ce qu'il faudrait y ajouter pour compléter la T?iC\nQ exacte. Soit enfin R le reste auquel on est parvenu.

On aura N=(a+^)*=û*+2aa?+a?* ,

d'où N— a* = R=2a,t?+^'

et, en divisant par 2a ,

—=x-{'z- , doù x=^ — - .

l^oit b la partie entière du quotient de R par 2a , et r le reste ; on pourra écrire

Or, puisqu'on a déjà obtenu n-f 1 chiffres à la racine, il en reste n à obtenir; x se compose donc d'un nombre de n chiffres, plus une quantité moindre que 1 ; a? est donc moindre que l'unité suivie de n zéros; et conséquemment x^ est moindre que l'unité suivie de . 2n zéros . D'un autre côté, a se composant de n-\-l chiffres suivis de n zéros, est plus grand que l'unité suivie de 2n zéros ; il en est de môme, à plus forte

raison, de 2a . La quantité ô~ ®st donc moindre que 1 ; d'ailleurs ^ est une fraction ; leur différence

REMARQUES SUR l'eXTRAOTION DES RACIiNES GAR*nÉES ET CUBIQUES. 3^1

est donc moindre que 1 . Par conséquent, on a à moins d'une uni lé près,

x=ib ;

c'est-à-dire que si on divise le reste R par 2a, la partie entière du quotient donnera les n chiffres qui restent à trouver à la racine. Mais on pourra avoir ainsi la racine approchée, h moins d'une unité, par excès ou par défaut, suivant que a?* sera plus grand ou plus petit que r, ce qu'on ne peut savoir ajorion.

Si, par exemple, on demande, à moins d*une unité près, la racine de 2000000000000 ; la racine devant avoir 7 chiffres, il suffira d'en calculer 4 par la règle du n® 339. On trouve que ces 4 premiers chiffres sont 1414 , et l'on obtient pour reste 604000000 . Si l'on divisece reste par le double de 1414000 , c'est-à-dire par 2828000 , ou, ce qui revient au même, 604000 par 2828 , on obtiendra les 3 derniers chiffres de la racine. On trouve ainsi, pour ces 3 derniers chiffres, 213 ; et la racine totale est parconséquent 1414213 , à moins d'une unité près, par excès bu par défaut.

Remarque. On peut déterminer, a joo^^mori, si la racine obtenue est approchée par excès ou par défaut. On a en effet

N=û*-fR et R=2«ô+r

d'où N=a*-f 2«A+r .

Sir est plus grand que 6* , N sera plus grand que(a+*)* ^ et a-^A sera approché par défaut. Si r est moindre que A* ,N sera moindre que (a+ô)* , et «-j-ô sera approché par excès.

Dans l'exemple précédent, on trouve r=: 1636000 ; et l'on a 6=213 ,d'où 6^=45369 ; par conséquent r est plus grand que 6* , et la racine obtenue est approchée par défaut.