Soit maintenant à extraire la racine du nombre n , à

moins de la fraction - près.

C'est chercher deux fractions ayant pour dénominateur p et pour numérateurs deux nombres entiers consécutifs a? et x-\-\ , tels que ces fractions comprennent entre elles la racine de n . Ainsi on doit avoir

d'où a;<\/n;)*<a?+l ^

c'est-à-dire que x est la racine du plus grand carré contenu dans np^ . Ainsi : pour extraire la racine d'un nombre n , à moins d'une fraction près ayant pour numérateur l et pour dénominateur p , // faut multiplier le nombre proposé n par le carré du

dénominateur p , extraire la racine du produit à moins d'une unités et donner à cette racine le dénominateur p . '

Si, par exemple, on demande la racine de 42 à moins de -, on

multipliera 42 par 49 , carré de 7 ; on extraira à moins d'une unité la racine du produit 2058 : ayant obtenu cette racine, qui

est 45 , on lui donnera le dénominateur 7 ; et Ton aura — ou 6f

pour la racine demandée.

342. Si la fraction qui exprime l'approximation est une unité d'un certs^in ordre décimal, l'application de la régie ci-dessus conduit à mettre à la droite du nombre proposé 2 fois autant de zéros qu'on veut obtenir de décimales à la racine; à extraire à moins d'une unité la racine du nombre ainsi obtenu, et à séparer sur la droite de cette racine le nombre de décimales demandé.

Soit, par exemple, à extraire la racine de 2 à moins de .^^^^ ;

il faut mettre 12 zéros à la droite de 2 , ce qui donnera le nombre 2000000000000 ; extraire à moins d'une unité la racine de ce nombre, ce qui donnera 1414213 ; et séparer 6 décimales sur la droite de cette racine, ce qui donnera 1 ,414213 .

Dans le cas où l'on doit avoir un grand nombre de décimales, on peut appliquer la méthode abrégée du n® 340.

. 343. Soit enfin à extraire la racine carrée d'une fraction.

I. Si les deux termes sont des carrés parfaits, il sufSra d'en extraire séparément la racine ; car, pour élever une fraction au carré, il faut, d'après la règle de la multiplication des fractions, y élever séparément ses deux termes.

Ainsi, la racine carrée de ^r est 5 .

U. Si le dénominateur seul est un carré parfait, on peut en extraire exactement la racine, puis extraire celle du numérateur à moins d'une unité; on obtient ainsi la racine demandée à moins d'une fraction dont le numérateur est 1 , et dont le dénominateur est la racine carrée du dénominateur de la fraction proposée.

Ainsi, la racine de r est ^ ou 5 à moins de r . Mais ce

degré d'approximation parait en général insuffisant ; il convient d'obtenir la racine à moins d'une fraction dont le numérateur soit 1 et le dénominateur celui de la fraction proposée. Pour cela on opère comme dans le cas suivant.

REMARQUES SUR l'eTXTR ACTION DES RACINES CARRÉES ET CUBIQUES. 323

III. Si aucun des deux termes n'est un carré parfait, on rendra le dénominateur un carré en multipliant les deux termes de la fraction proposée par son dénominateur; on extraira la racine du numérateur àmoins d'une unité, et celle du dénominateur exactement. On aura ainsi la racine demandée à moins d'une fraction ayant pour numérateur l'unité, et pour dénominateur celui de là fraction proposée.

Ainsi, •la racine de j^ sera celle de 777, c'est-à-dire -^^

ou T^ à moins de j^ .

On peut souvent rendre le dénominateur un carré parfait sans être obligé de multiplier les deux termes parcedénominateur, mais on n*obtient pas ainsi une approximation suffisante.

Ainsi, en multipliant les deux termes de la fraction — par 3 ,

on obtient Xg , dont le dénominateur est un carré parfait; et si

on en extrait la racine on obtient ~r- ou ^ , à moins de - . tandis que nous l'avions obtenue à moins de t^ tout à l'heure .

IV. On peut même obtenir la racine demandée à moins d'une fraction ayant pour numérateur l'unité, et pour dénominateur un multiple quelconque du dénominateur de la fraction proposée. Par

exemple, on peut obtenir la racine de | à moins de -^ ^ m étant

un nombre entier. Pour cela, il suffit de multiplier les deux terme s '

par m^b , ce qui donne ^^ ; et, en extrayant la racine ^^'^ .

Si l'on extrait la racine indiquée au numérateur à moins d'une

unité, on obtiendra celle de la fraction proposée à moins de ^ .

Ainsi, pour obtenir la racine àe tz h moins de ^^ , on multipliera les deux termes par 25 X 12 ou par 300 , ce qui don-

9400 JiK ^

nera ^^ ; et, .en extrayant la racine, ^ ou ^ , à moins

344. Remarque. 11 peut arriver qu'en extrayant la racine de ^ à moins de 7

j à moins de t , oh obtienne pour racine la fraction proposée

cllc-méme. Il suffit pour cela que la racine de ab , à moins d'une unité, soit a . Or, on a dans ce cas

ou, en élevant au carré,

a*<a6<a*+2a+l ; ou, en divisant par a , ♦

c'est-à-dire que b est plus grand que a , mais plus petit que

a+2+- ; il ne peut donc avoir que Tune des valeurs a+l

ou a-j-â. En d'autres termes, la circonstance dont nous parlons se présentera quand le dénominateur ne surpassera le numérateur que de 1 ou 2 unités au plus.

Par exemple, la racine de g , à moins de g , est la racine de gT , cest-a-dire g .

§ Il De Textractiou de la racine cubiqtie des nombres.

348. Le cube d'un nombre est an produit de trois facteurs égaux à ce nombre.

Les cubes des nombres

nt 1 8 27 64 125 216 343 512

Les cubes des nombres

etc.,

iOOO 1000000 1000000000

etc.

En général, le cube de 10" est 10*» .

Le cube d'un nombre composé uniquement de dizaines est un nombre de mille; car le nombre étant terminé par un zéro, un produit de trois facteurs égaux à ce nombre sera terminé par trois zéros. Ainsi le cube de 80 est 512000.

Le cube d'un nombre composé de dizaines çt d'unités contient : le cube des dizaines^ le triple produit du carré des dizaines par les

REMARQUES SUR l'eXTRAGTION DES RAGIKES CARRÉES ET CUBIQUES. 325

unités, le triple produit des dizaines par le carré des unités, et le cube des unités.

Car en appelant n ce nombre, d ses dizaines et u ses unités, on a

n=d-i-u , d'où n'=d'-i-ddhi-\'3du^+u^ .

346. On appelle racine cubique (i'«?i nombre un second nombre qui^ pris trois fois comme facteur^ reproduit le premier.

Ainsi 2 est la racine cubique de 8 : 3 est la racine cubique de 27^ etc. On démontrerait comme au n° 334, que lors^ quun nombre n'est pas un cube parfait^ sa racine cubique est incommensurable. On ne peut alors robtenir qu'avec un certain degré d'approximation.

Extraire la racine cubique d'un nombre à moins d'une unité près (par défaut)^ c'est chercher la racine du plus grand cube contenu dans ce nombre.

Supposons d'abord que le nombre proposé n'ait pas plus de 3 chiffres ; soit, par exemple, le nombre 641 .

Ce nombre est compris entre 512 et 729 ; sa racine cubique est donc comprise entre 8 et 9; c'est-à-dire que sa racine cur bique à moins d'une unité, par défaut^ est 8 . il suffit, comme on voit, dans ce cas, de.chercher entre quels cubes consécutifs le nombre proposé est compris; la racine du plus petit de ces deux cubes est la racine demandée.

La racine du plus grand serait la racine approchée àmoins d'une unité par excès. Ainsi 9 serait la racine de 641 par excès.

347. Supposons, en second lieu, que le nombre proposé ait plus de 3 chiffres, mais pas plus de 6 . Soit, par exemple, le nombre 641793.

Ce nombre ayant 6 chiffres est compris entre 1000 et 1000000. Le plus grand cube contenu dans ce nombre étant au moins égal à 1000 qui y est contenu, est lui-môme compris entre 1000 et 1000000 , Sa racine, qui est le nombre demandé, sera donc comprise entre 10 et 100 , et se composera par conséquent de dizaines et d'unités. Le cube de cette racine contiendra donc le cube des dizaines, le triple produit du carré des dizaines par les unités, etc. Le nombre proposé contiendra en outre un reste s'il n'est pas un cube parfait.

Le cube des dizaines de la racine demandée étant un nombre de mille, ne peut se trouver que dans les 641 mille du nombre proposé. Je disque, si l'on extrait la racine cubique du plus grand cube contenu dans ces 641 mille, on aura le chiffre des dizaine?

326 QUESTIONS divëhsës :

de la raciûe demandée. En effet» si a désigne la racine de ce plus grand cube, on aura

d où aMOOO<64iOOO<(a+l)MOOO ;

ou en ajoutant 793 au nombre intermédiaire, ce qui ne changera pas le sens des inégalités, puisque ces nombres expriment des mille,

aMOOO<641793<(a+l)^iOOO ;

ou, en extrayant la racine cubique,

La racine du nombre proposé est donc comprise entre a dizaines et a-j-l dizaines; il en est de même de la racine cubique du plus grand cube contenu, puisqu'elle diffère de lia racine totale de moins d'une anité. Elle se composera donc de a dizaines et d'un certain nombre d'unités moindre que 10 .

Le plus grand cube contenu dans 641 est 512 , dont la racine est 8 . Le chiffre des dizaines de la racine demandée est donc 8 .

Retranchons du nombre proposé le cube des dizaines obtenues à la racine; le reste 129793 contient encore le triple produit du carré des dizaines de la racine demandée par les unités, etc.

Ce triple produit du carré des dizaines par les unités étant un nombre de centaines, ne peut se trouver que dans les 1297 centaines du reste ; et si l'on divise ces 1297 centaines par le triple carré des dizaines de la racine, on aura le chiffre des unités ou un chiffre trop fort. Divisant 1297 par 3 fois 64 ou par 192 , on trouve pour quotient 6 . Pour essayer ce chiffre il faut former le triple produit du carré des dizaines par 6 , le triple produit des dizaines par le carré de 6 , puis le cube de 6, et voir si lasomme de ces trois parties peut être retranchée du reste 129793 .

On fait ce calcul plus commodément en remarquant que 3rf*u + 3dM«+w' peut s'écrire [3d*+(3rf-[-M)t*]tt .

On fera donc le triple des dizaines 3£{; on y ajoutera les unités, ce qui donnera dd-^u , et l'on multipliera la somme par les unités, ce qui donnera. (3rf-|-t*)t* ; on ajoutera ensuite ce produit au triple carré des dizaines qui est déjà formé; on aura ainsi 3rf* -f (3rf4-tt)tt ; et en multipliant par les unités, on aura enfin

[3a*-f-(3d-hti)t*ltt ou 3rf-e*+3rfu*+ti* .

lŒUAnQUfiS SUR L EXTRACTION DES RACINES CARREES ET CUBIQUES. 3^7

Voici le tableau de ce pelit calcul dans l'exemple dont nous nous occupons :

Triple des dizaines Unités

Somme

Produit par les unités ti Triple carré des dizaines

Somme

Produit par les unités 6

Ce nombre étant plus petit que le reste 129793 , le chiffre essayé 6 n'est pas trop fort. On l'écrira donc à la racine; et en retranchant 124056 de 129793 on aura le reste de l'opération 5737 .

Voici le tableau général des calculs :

Remarque I. Si Je triple carré des dizaines de la racine n'était pas contenu dans les centaines du reste, le chiffre des unités serait , et ce reste serait le reste de l'opération.

Remarque II. La crainte de mettre aux unités de la racine un chiffre trop fort pourrait enfairemettre un trop petit. On s'en apercevrait si le reste de l'opération contenait le triple du carré de la racine, plusle triple de cette racine, plus 1 ; carie cubede(fl+ 1)' étant a® +3a* +3a+ 1 , surpasse lecube de a de 3a* + 3a+ 1 .

348. Si le nombre proposé avait plus de 6chiffres, mais pas plus de 9 , on démontrerait comme ci-dessus qu'en extrayantlaracine du plus grand cube contenu dans ses mille on aurait les dizaines de la racine demandée, lesquelles seraient alors exprimées par un nombre de 2 chiffres. On retrancherait des mille du nombre proposé le cube des dizaines obtenues à la racine, et à côté du reste on abaisserait les trois chiffres suivants. On remarquerait comme cidessus que le triple produit du carré des dizaines obtenues par les unités ne peut se trouver que dans les centaines de ce reste; et que par conséquent en divisant ces centaines par le triple carré des

dizaines obtenues à la racine, on aurait les unités ou un chiffre trop fort. On essayerait ce chiffre comme ci-dessus; puis, s*il était re^ connu bon, on l'écrirait à la racine. Exemple :

Ayant obtenu les deux premiers chiffresde la racine, commecidessus, on a pour reste 5737 ; et en abaissant les 3 chiffres suivants, 5737845 . On forme le triple cairé de 86 , qui est 7396 , on divise 57378 par 7396 ; on trouve pour quotient 8 ; mais avec un peu d'habitude, on reconnaît facilement que ce chiffre serait trop fort. On essaye donc 7 ; on obtient 5303963 qui peut être retranché de 5737845 . Le chiffre 7 est donc bon ; la racine demandée est 867 , et te reste de l'opération 433882 .

De là cette règle :

Pour extraire, à moins d'une unité, la racine cubique d'un nombre entier, on le divise en tranches de 3 chiffres à partir de la droite (la dernière tranche à gauche pouvant en avoir moins de 3). On extrait la racine du plus grand cube contenu dans la première tranche à gauche; on a ainsi le chiffre des plus hautes unités de la racine. On soustrait de cette première tranche le cube du chiffre trouvé à la racine ; à la droite du reste on abaisse la tranche suivante, ce qui donne un premier reste. On sépafe par un point les deux premiers chiffres à droite d^ ce reste, et Von divise la partie à gauche par le triple carré du chiffre obtenu à la racine ; on obtient pour quotient le second chiffre de la nfdne , ou un chiffre trop fort. Pour Vessayer, on l'ajoute au triple de la partie déjà trouvée à la racine et Von multiplie la somme par ce chiffre ; au produit on ajoute le triple carré de la partie obtenue à la racine et Ion multiplie cette somme par le chiffre qu'on essaye. Si le produit peut être retranché du premier reste, le chiffre essayé est bon, et on I écrit à la racine ; à la droite du reste de la soustrac • tion on abaisse la tranche suivante ; on obtient ainsi uniSECONO reste. On sépare par un point les deux premiers chiffres à droite^ et Von

RKMAnQUES SUR l' EXTRACTION DES RACINES CARRÉES ET CUBIQUES. 329

(livisê la partie à gauche par Je triple carré de la partie déjà obtenue à la racine ; on essaye le quotient comme ci-dessus^ et l'on continue ainsijusquà ce qu'on ait obtenu tous les chiffres de la racine^ qui sont en même nombre que les tranches du nombre proposé.

349. Soit maintenant à extraire la racine cubique du nombre n

à moins de la fraction - près.

C'est chercher deux fractions ayant pour dénominateur p et pour numérateurs deux nombres entiers consécutifs x et a:-}-* ^ tels que ces fractions comprennent entre elles la racine cubique de n . Ainsi on doit avoir

d'où x<^\/np<x-\'l ,

c'est-à-dire que x est la racine du plus grand cube contenu dans np^ . Kinsi^ pour extraire la racine cubique d'un nombre n à moins d'une fraction ayant pour numérateur l et pour dénominateur p , il faut multiplier le nombre proposé n par le cube du dénominateur p , extraire la raciste du produit à moins d'une unités et donner à cette racine le dénominateur p.

Si, par exemple, on demande la racine cubique de 15 a moins de

- , on multipliera 15 par 729 cube de 9, on extraira à moins

d'une unité la racine cubique du produit 10935 ; ayant obtenu cette racine, qui est 22 , on lui donnera le dénominateur 9 ; et

Ton aura -^ ou 2-5- pour la racine demandée.

Si la fraction qui exprime l'approximation est une unité d'un certain ordre décimal, l'application de la règle ci-dessus conduit à mettre à la droite du nombre proposé 3 fois autant de zéros qu'on veut obtenir de décimales ; à extraire à moins d'une unité la racine cubique du nombre ainsi obtenu : et à séparer sur la droite de cette racine le nombre de décimales demandé.

Soit, par exemple, à extraire la racine cubique de 2 à moins

de T^ , il faudra mettre 6 zéros à la droite de 2 , ce qui

donnera 2000000 ; extraire à moins d'une unité la racine de ce nombre, ce qui donnera 125 ; et séparer deux décimales sur la droite de cette racine, ce qui donnera 1,25 .