CHAPITRE XV

SOMME DES PUISSANCES SEMBLABLES DES TERMES d'uNE PROGRESSION PAR DIFFÉRENCE. — APPLICATION AUX PILES DE BOULETS.

§ I. Somme des puissances semblables des termes d'une progression par différ^ace.

3S1. Considérons une progression par différence

dont la raison est <r et qui a N termes.

On a la suite d'ëgaiités

Élevons toutes ces égalités à la puissance n-|- 1 ; nous aurons

rf-^'=c'^'4-(«+i)c'-<r+y^c"-V'4- '"+');<*;-3'' c»-v...4-j"".

Noas aurons aussi l'égalité

Ajoutons toutes ces égalités membre à membre, en observant que les termes 0»+' , c"+' , rf"+' .... A-»+' , /"+• , communs'aux deux membres de l'égalité résultante peuvent être supprimés ; et en posant pour abréger

S,=a»4-*''+c»+,... +;{;»+/*' ; Sn-i^a»-» + i«-«l-c»-' 4- . . . . -f-ifc»-'-f /—« ;

332 QUESTIONS IHVRRSES I

et ainsi de suite; il viendra

Cette formule permettra de calculer S^ quand oh connaîtra toutes les sommes analogues depuis Si jusqu'à S„.i ,

Or, la somme Si est la somme des termes mêmes de la progression et peut être facilement calculée (190). Connaissant Si , on fera n=i dans la formule ci-dessus ; et on en tirera Si . Connaissant Si et S| , on fera n=3 dans la formule , et Ton en tirera Sa . Connaissant Si , S, et Sa , on fera n=4 , et Ton obtiendra S4 . En continuant ainsi, on finira par obtenir Sn , quel que soit le nombre entier n .

3tS2. Supposons, pour premier exemple, que la progression dont il s'agit soit la suite naturelle des nombres, depuis 1 jusqu'à N . Nous aurons «=1 , ^=1 , /=N .