II. Faisons maintenaut n=:2 dans la formule, elle deviendra

(2N+l)*=l-f-3.2S,+3.4S,+N.8 ou (2N-i-l)'=l+6S,+12N»4-8N ,

d'où 6S,=(2N+1)»— i2N»— 8N— I ,

=:8N»— 2N=2N(4N'— I) , =2N(2N+1)(2N— 1) ' et ' o 2N(2N+l)(2N-i)

On peut donner à celte expression une forme plus simple en appelant m le nombre impair qui termine la série considérée, c'està-dire en posant 2N—l=w,d'où2N=m+let2N+l=m+2. Il vient en effet

a__ mim+i){m+^)

III. On obtiendrait de la môme manière les sommes S3 , S4 , et ainsi de suite.

§ II. Application aux piles de boulets.

354. Les piles de boulets en usage dans les arsenaux sont dé trois espèces : l"" les piles à base carrée ; S"" les piles à base rectangulaire ; 3"" les piles à base triangulaire.

I. Dans les piles à base carrée chaque boulet d'une tranche hori- ..zontale repose sur 4 boulets delà tranche immédiatement inférieure. Chaque tranche présente la forme d'un carré, et contient autant de files de boulets qu'il y a de boulets dans chaque file ; en sorte que si n est le nombre de boulets de la première file de cette tranche, le nombre des boulets de la tranche entière sera w X n ou n* . De plus, le côté de chaque tranche contient un boulet de moins que le côté de la tranohe inférieure.

Il résultede cette disposition que la tranche supérieure est formée d'un seul boulet ; que la seconde est formée de 2 fois 2 ou 4 boulets ; que la troisième est formée de 3 fois 3 ou 9 boulets; et, en général, que la n""" tranche est formée de n* boulets . La somme totale des boulets contenu dans une pile à base carrée qui a N tranches est donc la somme des nombres

l+4+9+16+etc.+N* ,

ou là somme des carrés de la suite naturelle des nombres depuis i jusqu'à N ; c'est-à-dire, d'après ce qu'on a vu au n** 352,

Si, par exemple, il y a 10 tranches,, le nombre des boulets sera

i^4^ ou 385.

Une pile àbase carrée peut être tronquée. Elle est alors la différence entre deux piles complètes. Pour fixer les idées, supposons qu'elle ait m tranches, et qu'il y ait n boulets dans le côté de la tranche supérieure. Puisqu'il y a n boulets dans le côté de la première tranche, il y en aura n+1 dans le côté de la seconde, n+2 dans le côté de la troisième, etc.'; donc n+w — i dans le côté de la w""*. Si donc la pile était complète, le nombre des bolilets contenus serait la somme des carrés des nombres 1 ,2,3... jusqu'à n+m—l , c'est-à-dire

Maintenant, puisque le côté de la tranche supérieure a n boulets, celui de la tranche qui serait placée au-dessus en aurait n — 1 .