SOMME DES PUISSANCES SEMBLABLES
Le nombre des boulets de la pile qui manque est donc la somme des carrés des nombres 1,2,3... jusqu'à n — 1 c'està-dire
Le nombre des boulets de la pile tronquée est donc la différence entre les deux expressions que nous venons d'obtenir, c'est-à-dire
Si, par exemple, il y a 7 tranches et qu'il y ait 5 boulets dans le côté de la tranche supérieure, le nombre total des boulets sera
ou 476
355. IL Dans les piles à base rectangulaire, la tranche supérieure est une simple file de boulets. La seconde tranche se compose de 2 files, ay^nt chacune 1 boulet de plus que la file supérieure. La troisième tranche se compose de 3 files, ayant chacune 1 boulet de plus que les files de la seconde tranche, ou 2 boulets de plus que la première file; et ainsi de suite. Si donc on désigne par p+1 le nombre des boulets de la première tranche,
la première tranche aura p+i boulets .... p+i la seconde (P+2).2 ou 2i?-t-2*;
la troisième (l?+3).3 ou 3p+3*;
la N^*-' 0>+N)N ou N;?-t-N*
Si Ton fait la somme de ces valeurs on trouvera d'une part ;?-{-2;?+3;?....+N;?
ou j9(l+2+3....4-N) ,
•c'est-à-dire hJUN+i) .
de l'autre , 1 -|-2*-|-3*. . . .+N* ,
e'est-à-dire W+^m+i) .
La somme totale est donc
pN(N+l) , N(N4-1)(2N+1) / 2 "•" 6
OU
Alg. s.
Si, par exemple, il y a li boulets dans la file supérieure et qu'il y ait 7 tranches, le nombre total des boulets sera
c'est-à-dire 420 .
On évaluerait une pile tronquée à base rectangulaire de la même manière qu'on a évalué une pile tronquée à base carrée, c'est-àdire en la considérant comme la différence entre deux piles complètes. Nous ne nous y arrêterons pas.
356. Dans les piles à base triangulaire, chaque boulet repose sur 3 boulets de la tranche immédiatement inférieure. Chaque tranche a la forme triangulaire, et se compose d'une série défiles inégales dont la première contient l boulet, la seconde 2 boulets, la troisième 3 , etc. Chaque tranche a une file de plus que la tranche immédiatement supérieure.
Voyons d'abord comment on peut évaluer le nombre des boulets contenus dans une môme tranche. La première file ayant 1 boulet , la seconde 2 , la troisième 3 , etc. ; s'il y a n files, la dernière contiendra n boulets. Le nombre des boulets contenus dans la tranche sera donc la somme des nombres 1 , 2 , 3 ...n; c'est-à-dire
Cela posé, on aura le nombre de boulets de chaque tranche en faisant successivement dans cette formule
n=l , w=:2 , w:=:3 , etc. .
jusqu'à n ; ce qui donnera :
Pour la première tranche |4 -|-{1 ;
pour la deuxième tranche {4 • +7 2 ;
pour la troisième tranche }9 +^3 ; ^
pour la quatrième tranche ^16 +^4 ;
pour la n'*"" tranche ~ir +"îW .
Faisant la somme, on trouvera d'une part
1(1 + 4+9 + 16... +«'-) ou i. »("+<mn+l) .
d'autre part :
1(1+2+3+4. ..+«) ou |.-?i^ .
