III. ^'"+a'" est divisible par x + a lorsque m est impair

ly. a:"* + a"* n'est jamais divisible par x — a . Nous engageons le lecteur à développer lui-même la démonstration de chacQû de ces théorèmes.

§ V. D^ fractions algébriques.

49. Lorsqu'une division est impossible, on se contente de l'indiquer : pour cela on écrit le diviseur au-dessous du dividende en les séparant par un trait horizontal appelé hwrre de division (11). Ainsi, dans l'exemple du n"* 47, lorsque l'on est parvenu au reste 20 a^x — 10o% l'opération ne pouvant être continuée, on indiquerait le quotient de ce reste par le diviseur, sous la forme

20a*a?— iOa'»

4aaî«+5a»aî— 6a»

et cette expression serait ce qu'il faut ajouter au quotient déjà obtenu pour le compléter.

Une expression de cette forme est<^e qu'on nomme une fraction algébrique imdih le sens qu'on attache ici au mot fraction n'est point le même qu'en arithmétique. Dans une fraction ordinaire, en effets les deux termes sont nécessairement entiers ; dans une fraction algébrique, au contraire, les deux termes peuvent prendre des valeurs quelconques, entières ou fractionnaires, par suite des valeurs particulières attribuées aux lettres qui y entrent. (Ils peuvent même prendre des valeurs négatives, mais nous faisons abstraction de ce cas dans le présent chapitre.) On ne doit donc entendre par fraction algébrique qu'un quotient dans lequel le dividende prend le nom de numérateur, et le diviseur celui de dénominateur.

Le calcul des fractions algébriques a d'ailleurs la plus grande analogie avec celui des fractions ordinaires.

50. Ortne change pas la valeur d*une fration algébrique en ntuthpliant ou en divisant à la fois ses deux termes par une même quantité.

&ipposOBs, eneffet, pour fixer les idées, que, par suite des valeurs aUribuëes aux lettres qui entrent dans la fraction algébrique,

son numérateur prenne la valeur ^ et son dénominateur la va-

leur rj 1 1* valeur de la fraction sera le quotient de ces deux expressions fractionnaires, c'est-à-dire

6Xli 5X7 •

Concevons maintenant que l'on multiplie les deux termes - et

TT par une même quantité qui ail la valeur ^ ; ces deux termes

^deviendront respectivement z-rrx et jrzr^ \ ^^^"^ quotient de-

viendrait donc

6X4XiiX3 5X3X 7X4 '

ou, en supprimant les facteurs communs 4 et 3,

c'est-à-dire que le quotient n'a pas changé.

On démontrerait de la même manière que le quotient ne change pas si l'on divise les deux termes par une même quantité.

Ainsi les expressions

sont des fractions «^équivalentes; car on obtient la seconde en multipliant les deux termes de la première par 2a , et la troisième en multipliant les deux termes de la première par 2fl — h ; ou bien on obtiendrait la première en divisant les deux termes delà seconde par 2a , ou les deux termes de la troisième par 2a — h .

51. Pour simplifier une fraction, il faut supprimer les facteurs communs à ses deux termes. Ces facteurs sont faciles à apercevoir si les deux termes sont monômes.

Soit, par exemple, la fraction

48ag6^a?^ 60a*6aî6 '

on aperçoit sur-le-champ que les deux termes sont divisibles par 12a*to* ; et, en effectuant la division, il vient

Si les deux termes sont polynômes, il faut chercher les facteurs communs à tous les termes de chaque polynôme, et les mettre en évidence (44) ; on aperçoit alors facilement les facteurs monômes qui peuvent être communs aux deux termes de la fraction. Quant aux polynomesmis entre parenthèses, il arrive quelquefois qu'ilsse décomposent à vue en facteurs polynômes plus simples, et que cette décomposition met en évidence des facteurs polynômes communs aux deux termes de la fraction.

Soit, par exemple, la fraction

* 540*6^^—1 08a36*4.54a«6» • Le numérateur peut se mettre sous la forme

ou, en vertu de ce qu'on a vu n® 36.

3Qa'6\a-\-b)(a—b) .

Le dénominateur peut s'écrire

ou, en vertu de ce qu'on a vu au lieu cité

Ua^\a—bXa—b) .

La fraction proposée peut donc se mettre sous la forme

^QaH*{a+b){a—b)

On reconnaît alors que ses deux termes sont divisibles par 18a*6* et par (a — b) ; supprimant ces facteurs communs, il reste

L'habitude de ces transformations est d'un grand secours dans les calculs algébriques.

82. Si l'on a une fraction algébrique jointe à une quantité entière, on peut réduire le tout en une seule expression fractionnaire d'après les mêmes règles qu'en arithmétique. En effet, il est clair qu'on ne change pas la valeur de la quantité entière en la multi-

filiant et en la divisant en même temps par le dënominatear i^ la raction; on obtient ainsi deux quantités fractionnaires de mipie dénominateur ; et Ion peut les réunir en une seule, en faisant lu somme des numérateurs et donnant à cette somme le dénominateur commun ; car diviser une somme revient à diviser ses parties et à faire la somme des quotients. > «

Soit, par exemple, l'expression

4Ô+— ^ ou ibA f=^ ,

on aura successivement

OU enfin (36) ^ ^'

Réciproquement : lorsqu'on a une expression fractionnaire dans laquelle, le numérateur et le dénominateur étant ordonnés par rapport aux puissances d'une même lettre, le premier terme du numérateur est exactement divisible par le premier terme du dénominateur, on peut opérer une ou plusieurs divisions partielles, qui fourniront un quotient partiel entier (algébriquement parlant), et Ton complétera ce quotient par une fraction ayantpour numérateur le reste et pour dénominateur le diviseur, c'est-à-dire le dénominateur de l'expression proposée.

Soit, par exemple, la fraction

On a vu au n° 47 que si l'on divise le numérateur par le dénominateur on obtient pour quotient 3ax — 2a* et pour reste 20a*a: — 10a* . On pourra donc mettre la fraction proposée sous la forme

Soit de même la fraction

(a—b)^ a*—1lab+b^

Effectuant la division, on obtient pour quotient a et pour reste 6' ; on peut donc écrire la fraction proposée sous la forme

DE^ FRACtIONS ALGÉBRIQUES. S7

elles' diverses transform allons sont au nombre de celles dont KAlgèbre fait un plus fréquent uçage, soit dans la solution des problèmes, soit dans la démonstration des théorèmes de calcul.

53. Pour additionner deux fractions algébriques de même déhôminateur, il suffit évidemment d'additionner les numéràtehrb et de donner à la somme le dénominateur commun ; puisque, comme nous l'avons rappelé déjà, diviser une somme est la môme chose que de diviser séparément les parties et de faire la somme des quotients.

Si les fractions à additionner n'ont pas le môme dénominateur, on les réduira au môme dénominateur en multipliant les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres, ce qui ne changera pas leur valeur (50).

Soit, par exemple, à additionner les fractions

a» — ab a*^ab a* — 6* aJ^b \ a—b ' a '

Multipliant les deux termes de la première para — b et para, les deux termes de la seconde par a -}- 6 et par a, et les deux termes de la troisième par a -{' b et par a — A, elles deviendront :

a«— a6« ' a*—ab* ' a^—ab* '

ajoutant les numérateurs et donnant à la somme le dénominateur commun, il viendra, après réductions,

a^'-ab'^ •

Si les dénominateurs des fractions proposées ont des facteurs communs, on peut obtenir un dénominateur commun plus simple que le produit des dénominateurs. Pour cela, on suivra la môme marche qu'en arithmétique ; ayant décomposé les dénominateurs en facteurs aussi simples qu'on le pourra, on fera le produit de tous ces facteurs simples en affectant chacun de son plus haut exposant; on aura ainsi le dénominateur commun. On le divisera par le dénominateur de chaque fraction, et l'on multipliera son numérateur par le quotient obtenu. On aura ainsi les nouveaux numérateurs, sous lesquels on écrira le dénominateur commun. Les fractions étant ainsi réduites au môme dénominateur, on les additionnera comme ci-dessus.

38 OPÉRATIONS P0NDAMBNTALB8 :

Soient, par exemple, les fractions :

MNP

12a»a;— 12o«6aj ' 18a*6jî+i8a»6»aj ' 24o«aî«— 24a«6«a;« '

dans lesquelles M, N, P représentent des numérateurs quel* conques.

Les dénominateurs peuvent se mettre sous la forme :

V.d.a\x,(a—b), 2.3«.a».ô.^.(a+ô) , 2*.3.aVa^.(a+*)(a— ô); on devra donc prendre pour dénominateur commua

ou 72a«to*— 72a*éV.

Le quotient de ce dénominateur commun par le dénominateur de la première fraction est 2.3. b. x. {a +b) ou 6ate-f-6A*a;; c'est par ce quotient qu'il faudra multiplier le numérateur M.

Le quotient du dénominateur commun par le dénominateur de la seconde fraction est 2*. a. x. (a — b) ou 4a*x — iabx; c'est par ce quotient qu'il faudra multiplier le numérateur N.

Le quotient du dénominateur commun par le dénominateur de la troisième fraction est 3.a*6 ; c'est par ce quotient qu'il faudra multiplier le numérateur P.

Les fractions proposées pourront donc s'écrire :

M(6o6a?+66»a?) N(4fl»j?-4a63P) 3o*6P .

na%x*—na'*b^x* ' 72a<^6x«— 72a*6»a;« ' 72a«(ja;«— 72a*6'aî« '

et maintenant qu'elles ont le même dénominateur, il ne resterait qu'à faire la somme des numérateurs et à donner à cette somme le dénominateur commun.

M. Pour soustraire Tune de l'autre deux fractions algébriques, on commence par les réduire au même dénominateur, on soustrait le numérateur de l'une du numérateur de l'autre, et l'on donne à la différence le dénominateur commun.

Soit , par exemple , à soustraire de ^^ la fraction ^^ ;

ces fractions réduites au même dénominateur deviennent respecti-

Si du premier numérateur on retranche le second , on trouve pour reste iab ; donnant à cette différence le dénominateur commun, il vient

D£S FAM:TI0NS ALGÉSaïQUËS. 39^

55. Pour multiplier Tune par l'autre une fraction algébrique et une quantité entière , il suffit de multiplier le numérateur de la fraction par la quantité entière et de donner au produit le dénominateur de la fraction.

Concevons, en effet, que, par suite des yaieurs attribuées mx

lettres, le numérateur de la fraction prenne la valeur r et son

dénominateur la valeur t ; concevons de même que la quantité

algébrique entière prenne la valeur numérique fractionnaire ^ .

La fraction algébrique aura pour valeur le quotient de ^ par t ou

r-~-;r ; et le produit de cette quantité par ^ sera ^ ^ ^ . Multiplions maintenant le numérateur r de la fraction algé-

brique par la quantité g ; le produit sera r— ^ ; si nous lui

donnons pour dénominateur t , le résultat sera le quotient de

J^ P^r 1 -> o« ^'^^^ Ixl^i ' ^^^^^^^^ 9"* ^^ diffère de celui que nous avons obtenu d'abord, que par Tordre des facteurs, lequel ordre est, comme on sait^ indifférent.

Soit, par exemple, à multiplier -JCTi ps^r « — *> '^ produit

ab(a — b) nb(a — b) c ab

sera , ' ou \ , ... — ^ , ou ennn — rr .

On aurait pu, au lieu de multiplier le numérateur de la ffaction par la quantité entière, diviser son dénominateur : le résultat eût été 1^ môme;'. c'est ce qu'on démontrerait facilement comme cidessus.

Remarque. Pour multiplier une fraction algébrique par son dénominateur, il suffit de le supprimer. Soit, en effet, pour plus de

simplicité, la fraction ^ ; si on la multiplie par A, on aura, d'après

la règle précédente ^, ou, en effectuant la division indiquée,

a simplement, résultat auquel on fût parvenu en supprimant le ^ dénominateur.

56. Pour multiplier deux fractions algébriques Tune par l'autre, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

AD OPÉRATIONS FONDAMENTALKS .'

Supposons, en effet, que le numérateur de la première, (ra^tjion ait la valeur r et son dénominateur la valeur t ; que le nu-

mérateur de la seconde ait pour valeur t et son dénominateur ^ . La premiers fraction aura pour valeur le quotient

de r par T OU j-^ . La seconde fraction aura pour valeur le quotient de - par ou ^ . Le produit des deux fraclions a donc pour valeur o^!^»^,, .

Multiplions maintenant entre eux les numérateurs 3 <^t ^ des

fractions algébriques proposées, le produit sera r^-r ; multiplions

de même leurs dénominateurs i et ^ , le produit sera ^ ^ .

La fraction algébrique qui aura pour numérateur le produit des* numérateurs des fractions proposées, et pour dénominateur le pro-

5X2 duit de leurs dénominateurs, sera donc le quotient de jzr^ P^r

Txi^ ou bien 3x9x7xi? ^' ^^^^^^^ ^°' ^^ ^^^^^^ ^^ ^^'"' que nous avions obtenu d'abord que par Tordre des facteurs.

Soit, par exemple, à multiplier i£:gi par ^^ ; le produit

sera ^^^^^+^) ou ^^^^^+^^ ou enfin -^ ^^^^ 2a(a«-6«) ^^ 2a(a+6)(a-6) ' ^° ®^'^" o-ô '

La même régie s'étendrait sans peine à un nombre quelconque de fractions.

S7. On démontrerait comme ci-dessus : i^ Que pour diviser une fraction algébrique par une quantité entière, il faut multiplier son dénominateur par celle quantité entière (ou diviser son numérateur si cela est possible).

Exemple. Le quotient de ^7" par a — b est ^^,^^> ou

i2±È)i^=i!Û ou enfin S+k "^ '

2® Que pour diviser une quantité entière par une fraction, il faut multiplier la quantité entière par le dénominateur de la fraction, et diviser le produit par le numérateur.

DES FRACVIONB AliGÉBRlQUBS. '41

ExeïAple. Le t[aôtîent de a*— i* par ^^ est ^^^ ,^« ou

3^ Que pour diviser une fraction algébrique par une autre, il fs^ut laultiplier la fraction dividende par la fraclion divLsejir ren» versée.

Exemple. Le quotient de ■ ^ . — - par ^^ est

Ces règles sont faciles à reteni^r, puisque, comme on a pu 1q remarquer, elles sont exactement les mêmes qu'en aTilhmètique.

88, 6i l'on avait à multiplier ou à diviser des expressions algébriques formées d'une partie entière et d'une fraction, oacom*. mencerait par réduire la partie entière et la fraction en une seule expression fractionnaire (S2) ; on opérerait ensuite comme poui* des fractions.

Soit, par exemple^ à diviser 3a par r— o. Ces deux.

expressions reviennent à 221^ et ^ . Leur quotient ,,,A,^,^^:zmL^ ou bien W'^^^^) , ou enfin ^^^: