CHAPITRE XVI

§ I. Propriétés principales des fractions continues.

387. On appelle fraction continue une expression qui se compose d'une partie entière suivie d'une fraction dont le numérateur est 1 , et dont le dénominateur se compose d'une partie entière suivie d'une fraction dont le numérateur est 1 , et dont le dénominateur se compose d'une partie entière suivie d'une fraction, et ainsi de suite. Telle est l'expression

e-f etc

Les nombres entiers a , 6 , c ^ d ^ etc., se nomment quotients incomplets; ils sont au moins égaux à 1 , sauf le premier a

qui peut être nul. Les fractions ^^ " , 5^ etc., se nomment

fractions intégrantes. Enfin les valeurs successives

qu'on obtient en s* arrêtant aux quotients incomplets successifs, sont ce que l'on appelle les réduites successives.

358. Formation des réduites. Les réduites peuvent s'obtenir sous forme de fractions ordinaires, d'après une loi très-simple.

En effet, la première réduite est a on j ; la seconde est ^+Â ^^ " J" . Pour former la troisième, il suffit évîdem-

ment de changer dans la seconde b en *+- ,. ce qui donne

On* voit que le numérateur de cette troisième réduite peut s'obtenir en multipliant le numérateur ab-^-l de la réduite précédente par le quotient incomplet c qui répond à la réduite que Ton forme, et en ajoutant à ce produit le numérateur a de la réduite qui précède de deux rangs. De même, le dénominateur de la troisième réduite peut s'obtenir en multipliant le dénominateur b de la réduite précédente par le quotient incomplet c qui répond à la réduite que l'on forme, et en ajoutant à ce produit le dénominateur 1 de la réduite qui précède de deux rangs.

Nous allons montrer que cette loi est générale. Pour cela, soient

quatre réduites consécutives, r le quotient incomplet qui répond

à g; , et 5 celui qui répond à 07 . Admettons que la loi que

nous voulons démontrer soit vraie pour les trois réduites p ,^, 0; 1

et faisons voir qu'elle subsistera pour la réduite suivante ^, .

P R Si la loi est vraie pour les trois réduites p7 , ^, , —, ^

R* Qr+P on a R'— Q'r+F •

Pour former la réduite suivante, il suffit de remplacer r par r4— , ce qui donne

S Qv+s)+'^ Q(rs+1) + Ps (Qr+P)s+Q

ou l-â±tQ ^" S'~R's+Q' •

Par conséquent, si la loi est vraie pour trois réduites consécutives, elle est encore vraie pour la réduite suivante. Or, nous l'avons vérifiée pour la troisième réduite, donc elle est vraie pour laqua-

trième, étant vraie pour la quatrième , elle est vraie pour la cinquième ; et ainsi de suite; donc elle est générale. Ainsi^pour former une réduite quelconque^ il faut multiplier chaque terme de la réduite précédente par le quotient incomplet qui répond à la réduite quon veut former^ et ajouter au produit le terme correspondant de la réduite qui précède de deux rangs.

Si Ton a, par exemple, la fraction

etc.

' 1+etc.

on trouvera pour les réduites successives

Remarque I. D'après la loi de formation, les termes des réduites i successives vont toujours en augmentant.

Remarque II. Si le nombre des fractions intégrantes est limité, la dernière réduite ne sera autre chose que la valeur de la fraction continue.

359. La valeur de la fraction continue est comprise entre deux \ réduites consécutives quelconques.

P R Soient 57 , ^ , ^, , trois réduites consécutives, et r le 1

quotient incomplet qui répond à ^, ; ^ous aurons en vertu de la \

loi de formation,

R Qr+P

R'~Q'r+P' • Si dans cette expression on remplace r , quotient incomplet, | par le quotient complet

^*^r+etc.

c'esl-à-dire par r augmenté de tout ce qui le suit dans la fraction continue, on aura évidenmient la valeur de cette fraction continue. En représentant donc ce quotient complet par y , et en appelant X la valeur de la fraction continue, on aura

/ • ^ Qy+P

Faisons la différence entre cette valeur et chacune des deux ré-

duites consécutives p; et q;

, nous aurons

p 'y(QP'-PQ')

, Q Qv + P

Q PQ'— QP'

■Q'~Q'2/+p' Q'~"Q'(QV+p') •

Or, ces différences sont de signes contraires, puisque y est positif ainsi que les dénominateurs, et que les quantités QP' — PQ' et PQ' — QP' sont égales et désignes contraires. Donc x est com-

pris entre les deux réduites consécutives quelconques p et ^ .

360. Chaque rédtfite approche plus de la valeur de la fraction continue que la réduite précédente*

Car si Ton considère les deux différences ci-dessus en valeur absolue seulement, on voit qu'elles ont le facteur commun

PQ'-QP'

t/ Pi

multiplié par p dans la valeur de x—^ , et par ^ , dans

la valeur de ^— M . Or, y est plus grand que 1 , puisqu'il

renferme le quotient incomplet r qui est au moins égal à 1 (387); et P' est moindre que Q' d'après la loi de formation (358). Par cette double raison ^ est plus grand que ^ ;

donc X — p7 est plus grand que x — ^, , c'est-à-dire que x

approche plus de ^, que de p7 ; ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. Comme a est moindre que x ^ a-f ^ sera plus

grand que x ; la troisième réduite sera moindre que x ; la quatrième sera plus grande que x , et ainsi de suite. Ainsi, toutes les réduites de rang impair sont moindres que la valeur de la fraction continue ; toutes les réduites de rang pair sont plus grandes que cette même valeur.

D'ailleurs les réduites vont eji s'approchant de la valeur de la fraction continue ; donc, les réduites de rang impair vont en augmentanty et les réduites de rang pair en diminuant.

361. Le numérateur de la différence entre deux réduites consécutives est égal à V unité (en valeur absolue).

Faisons voir d'abord que ce numérateur est constant. En effet, on a

Q P ^ QF— PQ^ . R O^ Qr + P Q PQ'— QP^ Q' P'~ P'Q' ' R' Q'~Q'r+P' Q'"" Q'R'

donc ce numérateur est le même en valeur absolue.

Or, la différence entre les deux premières réduites a et a^-^

est T , et a pour numérateur 1 . Donc ce numérateur constant est égal à l'unité.

Remarque. Les deux termes d'une réduite sont toujours premiers entre eux. Gslt, puisqu'on a.PQ'— QP'=±1 , si P et P' , par exemple, avaient un diviseur commun, ce nombre, divisant le premier membre, devrait diviser le second, ce qui est impossible.

362. L'erreur commise en prenant une réduite pour la valeur de la fraction continue est moindre que l'unité divisée par le produit du dénominateur de cette réduite et du dénominateur de la réduite suivante.

Si l'on prend, par exemple, ^, pour la valeur de la fraction

continue, comme cette valeur est comprise entre ^, et g> , on commet une erreur moindre que la différence entre ces deux réduites. Or, cette différence est ^, ; donc l'erreur commise est

moindre que l'unité divisée par le produit du dénominateur Q' de la réduite à laquelle on s'arrête et du dénominateur R' de la réduite suivante,

GoROLLAmE. Il suit de là qu'^ prenant une réduite suffisamment éloignée^ on peut approcher d'ausbi loin qu'on le voudra de la valeur de la fraction continue. Car le produit Q'R' peut devenir aussi grand qu'on le voudra, puisque, d'après la loi de formation des réduites, les dénominateurs vont sans cesse en augmentant.

Cette propriété a fait donner aux réduites le nom de fractions convergentes.

Remarque I. Si le dénominateur R' de la réduite qui suit celle à laquelle on s'arrête n'est pas connu, on peut substituer une autre limite à celle que l'on vient d'indiquer. On a, en effet, R'=z:Q'r-f-P' . On ne connaît pas r ; mais sa plus petite valeur

est 1 ; ainsi R' est au moins égal à Q'+P' . On peut donc dire, à fortiori que l'erreur commise en s* arrêtant à la réduite M

est moindre que QffQitnn l c'est-à-dire moindre que l'unité divisée par le produit qu'on obtient en multipliant le dénominateur de la réduite à laquelle on s'arrête, par la somme de ce dénominateur et de celui de la réduite précédente.

Remarque IL Si Tonne voulait pas se servir du dénominateur de la réduite précédente, on pourrait supprimer P' au dénominateur de l'expression ci-dessus, ce qui la rendrait plus grande; on peut donc dire que l'erreur commise est, à fortiori, moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite à laquelle on s'arrête»

Si, par exemple, on se reporte à la fraction

2+etc.

du n® 388, et qu'on s'arrête à la réduite — ; l'erreur commise

sera moindre que j^ztôq ou que -^ . En adoptant la règle indiquée dans la remarque I , on aurait simplement pour li- ^^^ 13(134-4) ^^ Ûâ ' ®*' ®^ adoptant la règle indiquée dans la remarque II on aurait seulement pour limite -jt? ^^ 169 •