Une réduite quelconque approche plus de la valeur de la
fraction continue que toute autre fraction dont les termes seraient
aussi simples ou plus simples.
A En d'autres termes : pour qu'une fraction -^ approche plus de
la valeur x de la fraction continue qu'une réduite ^ , il faut
que B soit plus grand que Q' , et que A soit plus grand que Q .
En effet, si g- approche plus de x que M , il en appro-
chera à plus forte raison plus que la réduite précédente 5-, ; et,
comme x est compris entre ces deux réduites, il faudra que j,
tombe elle-même entre ces deux réduites. Par conséquent on aura, en valeur absolue,
A P ^Q P AP'— BP^ 4 ,«^.v
B-F<Q~P' ^^, BP' <FQ' (^^*^-
Or, AP'— BP est un nombre entier, et ne saurait se réduire à zéro ;
car on aurait alors g=p7 , et la fraction g ne serait pas plus
approchée de x que ^ (360)^ Il faut donc que AP' — BP
soit au moins égal à 1 ; mais alors, pour que l'inégalité ci-dessus ait lieu, il faut que B soit plus grand que Q' .
En considérant les fractions p , T ^* ' ^^^ ^^^^ ^^^^^
rangées par ordre de grandeur, on démontrerait de môme que A doit être plus grand que Q .
364. Toute fraction continue périodique (c'est-à-dire dans laquelle un certain nombre de quotients incomplets se reproduisent périodiquement dans le môme ordre) est une des racines d'une équation du second degré à coefficients commensurables.
Pour fixer les idées, considérons une fraction continue périodique mixte ^ c'est-à-dire dans laquelle un certain nombre de quotients incomplets, à partir du premier, ne se reproduisent pas. Par exemple :
Représentons par y l'ensemble du quotient incomplet 1 et de tout ce qui suit; nous pourrons écrire
^-2+i— i et î,^l+i— ^ 3+r,
En appliquant la loi de formation des réduites, on trouvera
^— 3y+l ®' y—ny+H •
En éliminant y entre ces deux équations, on trouverait, pour déterminer x , une équation du second degré.
Mais il est plus simple d'opérer comme il suit : La seconde équation revient à
et n'a qu'une valeur positive qui est — ^^^^ — ; en la portant dans la valeur de x , on obtient
li2+7\/326 (li2+7\/226)(5i — 3\/226) ' SI + 3^226" 567
9664-^i\/226 __ 46+Vâ26 ~ 567 27
Généralement, si après une suite de quotients incomplets a , ft , c ,..../, qui ne se reproduisent pas, il vient une sérié de quotients incomplets m ^ n , j9 , — w qui «e reproduir sent périodiquement dans le même ordre, on pourra poser
x=a+^ — 7 et y=m+- — ^ \ c ' p
Xz
P Q Appliquons la loi de formation des réduites; soient p? et q,
les deux avant-dernières réduites de la valeur de x ; "la dernière, qui ne sera autre que x (388, Remarque II), aura pour valeur :
Soient îw et g? les deux avant-dernières réduites de la valeur de y ; la dernière, qui ne sera autre que y , aura pour
valeur
En éliminant y entre ces deux équations, on aurait pour déterminer X une équation du second degré.
Mais on peut mettre d'.abord la seconde équation sous la forme
Cette équation, dont le dernier terme est négatif, n'aura qu'une racine positive ; si on nomme p cette racine, on aura
Qp+P
Ce que nous venons de dire comprend le cas où la fraction continue serait périodique simple^ c'est-à-dire où tous les quotients incomplets, à partir du premier, se reproduiraient ; car ce cas est précisément celui de la valeur de y écrite ci-dessus.
. § II. AppUcations.
368. Quand on a une fraction dont les termes sont considérables, on peut souvent lui substituer avec avantage une fraction approchée dont les termes soient plus simples, et n'aient, par exemple; pas plus de 1 ^u 2 chiffres. Il faut alors, parmi les fractions de cette espèce, choisir celle qui approche le plus de la fraction proposée. Pour cela, on réduit celle-ci en une fraction continue; on choisit, parmi les réduites qui remplissent laconditk)n demandée, celle qui est du rang le plus élevé ; et, en vertu des principes établis aux n""^ 360 et 363 on a la fraction demandée.
ZK70
Soit, par exemple, la fraction ^tôk , qu'on se propose de remplacer par une fraction approchée qui n'ait pas plus de deux chiffres à son dénominateur. On commencera par réduire la fraction proposée en fraction continue.
Pour cela, on divisera le numérateur 4573 par le dénominateur 2195 ; le quotient 2 sera le premier quotient incomplet ; et l'on aura
On divisera 2195 par le reste 183 de la division précédente; le quotient 11 sera le second quotient incomplet ; et l'on aura
Km)
On divisera 183 par 182 ; le quotient 1 sera le troisième quotient incomplet : et Ton aura
Â?3, , JL 182~ ^183 •
Bn rapprochant les égalités précédentes, on en déduit facilement
on voit que, pour réduire une fraction ordinaire en fraction continue^ il faut appliquer à ses*deux termes le procédé du plus grand commun diviseur ; les quotients successifs sont les quotients incomplets que r on cherche.
Ce procédé est même Torigine de la dénomination de quotients incomplets.
Si l'on forme les réduites successives, on obtient
La fraction tt est donc celle qui remplit les conditions demandées. Elle approche de la proposée à moins de |2X2195 ^^
366. Une fraction décimale pouvant toujours être mise sous forme de fraction ordinaire, on peut lui appliquer le même procédé.
Si la fraction décimale n'était qu'approchée par défaut, il faudrait augmenter d'une unité son dernier chiffre décimal, et développer comme il vient d'être dit, lafraction proposée et la fraction modifiée. La véritable valeur de celte fraction étant comprise entre les deux développements, les quotients incomplets communs appartiendraient au développement de cette véritable valeur.
Si, par exemple, on développe ainsi les fractions
3,1415926 et 3,1415927
qui sont des valeurs approchées du rapport tt de la circonférence au diamètre,-on trouve que la série des quotients
3 , 7 , 15 et, 1
est commune aux deux développements. On peutdonc prendreces quotients comme faisant partie du développement du nombre ^ .
348 QUESTIONS diverses:
On obtient ainsi les quatre réduites
parmi lesquelles on reconnaît le rapport y donné par Archi-
inède^ et le rapport tj^ attribué k Adrien Métius.
367. On peut développer sous forme de fractions continues les quantités irrationnelles, ce qui fournit un moyen d'approcher de leur véritable valeur.
Soit, par exemple, à développer ^11 en fraction continue. Cette racine étant comprise entre 3 et 4 on peut poser
en désignaot par x une quantité plas grande que 1 . On tire delà .
fi 7
Cette valeur est comprise entre « ^t r , par conséquent entre 3 et 4 ; on peut donc poser
^=Vh+3 3 , 1
en désignant par y une quantité plus grande que 1 . On tire de Ik
Cette valeur est comprise entre 6 et 7 ; on peut donc poser
y^s/îï+3-6+^,
en désignant par z une quantité plus grande que 1 . On tire de cette équation
Par conséquent, z est égal à a: ; ce qui indique qu'à partir de la seconde égalité les calculs se reproduiront indéfiniment dans le
même ordre, et que la valeur de ^11 est une fraction continue périodique. En rapprochant les égalités qui précèdent, on trouve.
' 6+ etc.
On obtient ensuite les réduites successives :
La seconde est
approché!
Bà
moins de
la troisième
etc.
1 l OU
19X60 ^ 1140 ' la quatrième ^^^ ou ^ , etc,
368. Le développement en fraction continue peut servir à résoudre les équations exponentielles.
Soit, par exemple, à résoudre Téquation
Si Ton donne à x les valeurs 1 , 2 , 3 , on obtient pour 10^ les valeurs 10 , 100 , 1000 . Le nombre 200 étant compris entre ces deux derniers nombres, il s'ensuit que l'exposant X est compris entre 2 et 3 ; et que par conséquent on peut poser
en désignant par y une quantité plus grande que l'unité. Mettant pour X cette valeur dans l'équation [1], on obtient
iO+»=200, ou 10M0ï=200 , ou 10»=?^=2 ,
lUU
et, en élevant les deux membres à la puissance y ,
Donnons à y les valeurs 1,2,3,4; nous trouverons pour 2y les valeurs 2 , 4 , 8 , 16 . Le nombre 10 étant compris entre ces deux derniers nombres, il en résulte que y est compris entre 3 et 4 , et que l'on peut poser en conséquence
350 QCIBSTtONS DIVERSES :
en désignant par z nne quantité plus grande que rnotté. Mettons cette valeur à la place de y dans Téquation [3], elle deviendra
10=2^'=2'.2^=8.2' ^ d'où f=2^ ^
ou, en élevant l^s deux membres à la puissance z ,
Donnons à z les valeurs 1 , 2 , 3 , 4 ; nous trouverons pour (-^Y les valeurs correspondantes ^ , -^ , -rrj ,
iOOOO
-rrrr- . Lc uombrc 2 étant compris entre ces deux derniers
nombres, on en conclut que z est compris entre 3 et 4 ; et Ton peut par conséquent poser
en désignant par t une quantité plus grande que Tunité. Cette valeur^ mise pour a dans Téquation [5], donne
(!|)-î=2..u («)!(V»)'=^.~ ©•=«fô)=IS et en élevant les deux membres à la puissance t ,
8"~"\ioooy • ^'J
En donnant à t les valeurs 1 ,2,3, 4,5, 6,7, 8 , 9 et 10 , on trouve, par un calcul assez laborieux, que
y est compris entre les résultats correspondants à ces deux derniers nombres : en sorte que t est compris entre 9 et 10 , et que Ton peut poser
en désignant par u une quantité plus grande que l'unité.
Si Ton rapproche les relations [2], [4], [6], [8], on verra que la valeur de x se développe sous la forme
bEà l^RACtlONS CONTINUES. ^81
c*est'à-dire SOUS forme d'une fraction continue, que Ton pourra pojasser aussi loin qu'on le voudra. Le seul obstacle sera la longueur des calculs, qui croît à mesure qu'on avance, et rend cette méthode impraticable lorsqu'on veut obtenir une grande approximation.
Les quatre premières réduites de la valeur que nous venons d'obtenir sont
cette dernière est approchée à moins de
ou
369. Enfin le développement en fraction continue peut servir à trouver un premier système de valeurs propres à satisfaire à une équation du premier degré à deux indéterminées.
Soit l'équation à deux indéterminées.
aX'\-by=c .
On développe le rapport ~ en fraction continue (368). Lader-
