IV. x m -\-a m n'est jamais divisible par x — a

Nous engageons le lecteur à développer lui-môme la démonstration de chacun de ces théorèmes. (Voy. le n° 502.)

§ V. Des fractions algébriques.

■40. Lorsqu'une division est impossible, on se contente de l'indiquer : pour cela on écrit le diviseur au-dessous du dividende en les séparant par un trait horizontal appelé barre de division (il).

DES FBAC1

tQUBS.

Ainsi , dans l'exemple du n° Ki , lorsque l'on est parvenu au reste 1Ôa l x — 10a* , l'opération ne pouvant être continuée, on indiquerait le quotient de ce reste par le diviseur, sous la forme

200^—100° Aax l -\-5a , x — 6o'

et eetle expression serait ce qu'il faut ajouter au quotient déjà obtenu pour lo compléter.

Une expression de cette forme est ce qu'on nomme une fraction, algébrique; mais le sens qu'on attache ici au mot traction n'est point le même qu'en arithmétique. Dans une fraction ordinaire, en effet, les deux termes sont nécessairement entiers ; dans une fraction algébrique, au contraire, les deux termes peuvent prendre des valeurs quelconques , entières ou fractionnaires , par suite des valeurs particulières attribuées aux lettres qui y entrent. (Ils peuvent même prendre des valeurs négatives , mais nous faisons abstraction de ce cas dans le présent chapitre.) On ne doit donc entendre par fraction algébrique qu'un quotient dans lequel le dividende prend le nom de numérateur, et le diviseur celui de dénominateur.

Le calcul des fractions algébriques a d'ailleurs la plus grande analogie avec celui des fractions ordinaires.

30. On ne change pas la valeur d'une fraction algébrique en multipliant ou en divisant à la fors ses deux termes par une même quantité.

Supposons, en effet, pour fixer les idées, que, par suite des valeurs attribuées aux lettres qui entrent dans la fraction algébrique,

son numérateur prenne la valeur | et son dénominateur la valeur , la valeur de la fraction sera le quotient .de ces deux expressions fractionnaires , c'est-à-dire

Concevons maintenant que l'on multiplie les deux termes g et ~ par une même quantité qui ait la valeur | ; ces deux termes

deviendront respectivement f ^ et ~~Àr I leur quotient

deviendra donc

rRUIlkRtt PARTIE. — CHAPITRE II.

ou, én supprimant les facteurs communs 4 et 3 , 6X11 • 5X7 '

c'est-à-dire que le quotient n'n pas changé.

On démontrerait de lu môme manière que le quotient ne change pas si l'on divise les deux termes par une même quantité.

Ainsi les expressions

2o 4a* 4a*— iab

3b ' Ôôï ' 6ab— 36= ' sont des fractions équivalentes; car on obtient la seconde en multipliant les deux termes de la première par 2a , et la troisième en multipliant les deux termes de la première par 2a — b ; ou bien on obtiendrait la première en divisant les deux termes de la seconde par 2a , ou les deux termes de la troisième par 2a — b .

SI . Pour simplifier une fraction , il faut supprimer les facteurs communs à ses deux termes. Ces facteurs sont faciles à apercevoir si les deux termes sont monômes.

Soit, par exemple, la fraction

on aperçoit sur-le-champ que les deux termes sont divisibles par 12a*bx i ; et, en effectuant la division, il vient 4oè

Si les deux ternies sont polynômes, il faut chercher les facteurs communs à tous les termes do chaque polynôme, et les mettre en évidence (44); on aperçoit alors facilement les facteurs monômes qui peuvent être communs aux deux termes de la fraction. Quant aux polynômes mis entre parenthèses, il arrive quelquefois qu'ils se décomposent à vue en facteurs polynômes plus simples, et que cette décomposition met en évidence des facteurs polynômes communs aux deux termes de la fraction.

Soit, par exemple, la fraction

36 aW— 36^6' 54a'6 s — 108a s 6'+54a , 6' ' Le numérateur peut se mettre sous la forme

^a^'ia*— b*) ou , en vertu de ce qu'on a vu au n s 36,

3Ga*b , (a+b)(a— b) .

DES MACHONS ALGËBBIQCÏS. 35 .

Le dénominateur peut s'écrire

54a 1 6 ! (a , — 2^+0*) ou , en vertu de ce qu'on a vu au lieu cité ,

54fl'4»(fl— ô)£« — Ô) .

La fraction proposée peut donc se mettre sous la forme 36a 3 ft'(n+é)(o— b) :-At: , tf',a — b,Ui—t>) " On reconnaît alors que ses deux termes sont divisibles par 18fl ! 6 5 et par (a — 6) ; supprimant ces facteurs communs , il reste 2fl(o + 6) 2a?+2ab . 3ô(o— b) ° U 3ab+3b> ' L'habitude de ces transformations est d'un grand secours dans les calculs algébriques. -

32. Si l'on a une fraction algébrique jointe à une quantité entière, on peut réduire le tout en une seule expression fractionnaire d'après les mêmes règles qu'en arithmétique. En effet, il est clair qu'on ne change pas la valeur de la quantité entière en la multipliant et en la divisant en même temps par le dénominateur de la fraction; on obtient ainsi deux quantités fractionnaires de même dénominateur; et l'on peut les réunir en une seule, en faisant la somme des numérateurs et donnant à cette somme le dénominateur commun ; car diviser une somme revient a diviser ses parties et à faire la somme des quotients.

Soit, par exemple, l'expression

on aura successivement

4aft + a'— 206-r-y tf+Zab + b'

a a ou enfin (56) ffl±^ .

Réciproquement : lorsqu'on a une expression fractionnaire dans laquelle, le numérateur et le dénominateur étant ordonnés par rapport aux puissances d'une même lettre , le premier terme du numérateur est exactement divisible par le premier terme du dénominateur, on peut opérer une ou plusieurs divisions partielles, qui fourniront un quotient partiel entier, et l'on complétera ce quotient par une fraction ayant pour numérateur le reste et pour dénomina-

leur le diviseur, c'est-à-dire le dénominateur de l'expression proposée.

Soit , par exemple , la fraction

12^+7^— 8 a 1 Aajt+btfx— 6u»

On a vu au n° 47 que si l'on divise le numérateur par le dénominateur on obtient pour quotient Zax — 2a' et pour reste 2dà'x — 10a* . On pourra donc mettre la fraction proposée sous

20a^— 10a* r 'iax'+ba'x— Sa' ' Soit de même la fraction

Effectuant la division, on obtient pour quotient a et pour reste IP ; on peut donc écrire la fraction proposée sous la forme

Ces diverses transformations sont au nombre de celles dont l'A.1- . gèbre fait un plus fréquent usage , soit dans la solution des problèmes, soit dans la démonstration des théorèmes de calcul.

83. Pour additionner deux fractions algébriques de même dénominateur, i! suftiE évidemment d'additionner les numérateurs et de donner h la somme le dénominateur commun; puisque, comme nous l'avons rappelé déjà, diviser une somme est la même chose que de diviser séparément les parties et de faire la somme des quotients.

Si les fractions à additionner n'ont pas le même dénominateur, on les réduira au même dénominateur en multipliant les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres, ce qui ne changera pas leurvaleur (80).

Soit, par exemple, à additionner les fractions V— ab a'-faft a 1 — b 1 a+6 ' a— b ' a Multipliant les deux termes de la première par a — b et par a , les deux termes de la seconde par n-j-6 et par a , et les deux termes de la troisième par a-f- 6 et par a — b , elles deviendront :

a 1 — Mb + a'P a>-\-2a 1 b+à ! P iï—Za'b'+b - . (C — fl'ft ' «J— a'b ' a»— a*à

des menons algébriques.

ajoutant les numérateurs, et donnant à la somme le dénominateur commun, il viendra, après réductions,

Si les dénominateurs des fractions proposées ont des facteurs communs, on peut obtenir un dénominateur commun plus simple que le produit des dénominateurs. Pour cela, ensuivra la même marche qu'en arithmétique ; ayant décomposé les dénominateurs en facteurs aussi simples qu'on te pourra , on fera le produit de tous ces facteurs simples, en affectant chacun de son plus haut exposant; on aura ainsi le dénominateur commun. On le divisera par le dénominateur de chaque fraction , et l'on multipliera son numérateur par le quotient obtenu. On aura ainsi les nouveaux numérateurs, sous lesquels on écrira le dénominateur commun. Les fractions étant ainsi réduites au même dénominateur , on les additionnera comme ci-dessus.

Soient, par exemple , les fractions :

na'x—lïa'bx ' ISaHw+lStf&X ' Mtfa*— S4«W ' dans lesquelles M, N, P représentent des numérateurs quelconques.

tes dénominateurs peuvent se mettre sous la forme : 2*. 3.0*. a:. (a— b) , 2.3\a\b.x.(a+b) , 2». 3. a". a;*. («+6) (o— b); on devra donc prendre pour dénominateur commun

2'. 3*. a 1 , b. 3?. (a+ b) (« — b) ou 7S<«**— 72aMW

Le quotient de ce dénominateur commun par le dénominateur de la première fraction est 2.$.b.x.(a-{-b) ou 6abx-\-Gb*se ; c'est par ce quotient qu'il faudra multiplier le numérateur M .

Le quotient du dénominateur commun par le dénominateur de la seconde fraction est 2*. a.x.(a- — 6) ou 4a*x — Aabx ; c'est par ce quotient qu'il faudra multiplier le numérateur N .

Le quotient du dénominateur commun par le dénominateur de la troisième fraction est S.a\ b ; c'est par ce quotient qu'il faudra multiplier le numérateur P .

Les fractions proposées pourront donc s'écrire :

lS{6abx+Gb , x) î\(4a*x—iabx) Sa'bP ri<Pbx l —7îa i b t x' ' 72 a* bj'— 72 «W ' 72tfÛa*— 72«*«t» ' et maintenant qu'elles ont le même dénominateur, il ne resterait qu'à faire la somme des numérateurs et à donner à cette somme le dénominateur commun.

M. Pour soustraire l'une de l'autre deux fractions algébriques , on commence par les réduire au même dénominateur, on soustrait le numérateur de l'une du numérateur de l'autre , et l'on donne à la différence le dénominateur commun.

Soit, par exemple, à soustraire de g la fraction °|% ;

ces fractions réduites au même dénominateur deviennent respect i-

rfj-aafl-r-fi* , a'—Sab+P vement et fl . 6 T •

Si du premier numérateur on retranche le second, on trouve pourreste iab ; donnant è cette différence le dénominateur commun, il vient

Aab

srr? •

tiit. Pour multiplier l'une par l'autre une fraction algébrique et une quantité entière , il suffît de multiplier le numérateur de la fraction par la quantité entière et de donner au produit le dénominateur de la fraction.

Concevons, en effet, que par suite des valeurs attribuées aux lettres , le n umérateur de la fraction prenne la valeur . g et son

dénominateur la valeur ~ ; concevons de même que la quantité algébrique entière prenne la valeur numérique fractionnaire | . La fraction algébrique aura pour valeur le quotient de | j>ar ^ ou Jg^ ; et le produit de celle quantité par ± sera |gfgf .

Multiplions maintenant le numérateur ^ de la fraction algébrique parla quantité | , le produit sera ; si nous lui donnons pour dénominateur ^ , le résultat sera le quotient de

|g| par | ou bien ***** i résultat qui no diffère de

celui que nous avons obtenu d'abord, que par l'ordre des facteurs, lequel ordre est , comme on sait , indifférent.

Soit, par exemple, à multiplier tf—b* ^ ar a — * ' ' e

produit»» «?£=*.' ™ ■

DES FRACTIONS ALGÊHIliQUES. 39

On aurait pu, au lieu de multiplier le numérateur de la fraction par la quantité entière, diviser son dénominateur, le résultat eût été le même ; e'est ce qu'on démontrerai! facilement comme ci-dessus.

Remarque. Pour multiplier une fraction algébrique par son dénominateur, il suffit de le supprimer. Soit, en effet, pour plus de

simplicité, la fraction ^ ; si on la multiplie par 6, -on aura, d'après

la règle précédente ^ ,ou,en effectuant la division indiquée, a simplement, résultat auquel on fût parvenu en supprimant le dénominateur.

86. Pour multiplier deux fractions algébriques l'une par l'autre, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Supposons , en effet , que le numérateur de la première fraction ait la valeur \ et son dénominateur la valeur \ ; que le nu-

teur y . La première fraction aura pour valeur le quotient de | par ^ ou . La seconde fraction aura pour va-

leur le quotient de g par ^ ou - Le produit des

5X^X2X8 deux fractions a donc pour valeur ■ - - .

OX/AyA"

Hultiplîonsmaintenantentreeuxlesnumérafeurs | et g des fractions algébriques proposées, leproduitsera ; multiplions

de même leurs dénominateurs 7 et ~ ; le produit sera

La fraction algébrique qui aura pour numérateur le produit des numérateurs des fractions proposées , et pour dénominateur le produit de leurs dénominateurs sera donc le quotient de par

celui que nous avions obtenu d'abord que par l'ordre des facteurs Soit, par exemple, à multiplier par ; le pro-

40 PIlEMItHE PABTIH. — CHAPITRE II.

duitsera ou — — ^-j — '-^ , ou enfin — r . -

La même règle s'étendrait sans peine à un nombre quelconque de fractions.

57. On démontrerait comme ci-dessus : 1° Que pour diviser une fraction algébrique par une quantité entière, il faut multiplier son dénominateur par cette quantité entière ( ou diviser son numérateur ai cela est possible).

Exemple. Le quotient de ■ par a — à est 2a(a~b)

2° Que pour diviser une quantité entière par une fraction , il faut multiplier la quantité entière par le dénominateur de la fraction , et diviser le produit par le numérateur.

Exemple. Le quotient de «' — 6" par est

{a+b)(a— 6)2n (a— 6)2a fi 2a»— lab

011 ■■ —, r. i m/ — - ou — r — , ou enfin r .

3° Que pour diviser une fraction algébrique par une autre , il faut multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.

Exemple. Le quotient de ^ par — — est

(2 d'x— 2 b*x) .1 5 ax . 2 . 3 . 5 . a . <è . {a + b) (a — b)

bab{Aab*-4V) 0U 2' . 5 . a . ô>(«- b) ' 0U

enfin ^XJ .

Ces règles sont faciles à retenir, puisque, comme on a pu le remarquer, elles sont exactement les mêmes qu'en arithmétique.

58. Si l'on avait à multiplier ou à diviser des expressions algébriques formées d'une partie entière et d'une fraction , on commencerait par réduire la partie entière et la fraction en une seule expression fractionnaire ((52) ; on opérerait ensuite comme pour des fractions.

Soit, par exemple, à diviser 3 o— par j — a .Ces deux 3a*— 36' a*— a

Zb{a+b)

. Leur quotient