PREMIÈRE PARTIE

CHAÇITRE IÏI.

S 1. Notions générales sur les égalités.

89. On a vu au n° i£ que pour exprimer que deux quantités sont égales , on les écrit à la suite l'une de l'autre en les séparant par le signe = . Deux expressionsalgébriquesséparéesparcesigneforment ce qu'on appelle, en général, une égalité; et les quantités placées de part et d'autre du signe sont les deux membres de l'égalité. Par exemple :

sont des égalités. La quantité a + b est le premier membre de la première; c — d en est le second membre; et ainsi des autres.

Mais ces égalités sont, comme on va le voir, d'espèces très-différentes.

I. 11 peut arriver que, dans un problème où figurent des quantités données a , b , e , d auxquellesonn'attribuepasdevaleursparticulières, ces quantités soient néanmoins assujetties, par la nature même de ta question, à satisfaire à la condition

cette condition serait plus particulièrement une égalité, ou une simple relation.

" II. L'égalité {x— a)(x + a) = a 1 — a*

se dislingue de la précédente en ce que , si l'on effectue les calculs indiqués, le premier membre devient identiquement égal au second

Elle jouit, en conséquence, de la propriété caractéristique d'être satisfaite quelles que soient les valeurs qu'on attribue aux lettres qui y entrent. Si, par exemple, on remplace x par 2 et a par 1, elle donne :

(2— 1)(2 + 1) = 2'— 1' ou 1X3 = 4 — 1 ou 3 = 3.

Si l'on remplace x par 5 et a par 2 , elle donne ;

(5 — 2)0+2)=5 , — 2' ou 3X7 = 25— 4 ou 21=21; si l'on remplace x par ^ ot a par 1 , elle donne :

(H(H=©'-°» Hrf-' - K-

et ainsi de suite.

Les égalités de celte espèce portentie nom d'identités.

ht. L'égaiité ^r^ =4

est satisraite lorsqu'on y remplace ai par 11 ; car 3 fois 11 font 33; 33 — 1 font 32 ; 32 divisé par S donna bien 4 . Hais cette égalité cesserait d'être vérifiée si l'on y mettait à la place de x toute autre valeur que le nombre II .

On donne le nom d'équation à toute égalité de cette espèce, exprimant une relation entre une quantité inconnue et des quantités données, et qui ne peut cire satisfaite que par certaines valeurs déterminées de l'inconnue.

(Nous considérerons plus tard le cas où il y a plusieurs inconnues.)

Remarque. On peut remarquer que les simples relations d'égalité deviennent des équations lorsqu'on y regarde comme inconnue l'une des lettres qui y entrent. Si, par exemple, dans la relation a+b=c—d

trois seulement des quantités a , b , c , d étant supposées données b , o', d , par exemple, on se proposait d'en déduire la quatrième, a , cette simple relation d'égalité deviendrait une équation où a serait l'inconnue.

60. On peut faire subir aux égalités toutes transformations qui n'empêchent pas les deux membres de rester égaux ; ainsi, on peut ajouter une même quantité aux deux membres, soustraire une même quantité des deux membres, multiplier les deux membres par une mémo quantité, diviser les deux membres par une même quantité.

I. Les deux premières propriétés servent à faire passer un terme d'un membre dans un autre , transformation qui est très-fréquemment employée. Pour ['effectuer, il suffit d'effacer du membre où il était le terme que l'on veut changer de membre, et de l'écrire dans l'autre avec un signe contraire à celui qu'il avait i

Prenons pour exemple l'égalité

et supposons qu'on veuille faire passer le terme b dans le second