reste ' Ô

Concevons que le quotient inconnu soit ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la même lettre. Comme le divideniiu . est le produit du diviseur par le quotient, le produit partiel du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient doit donner le premier terme du dividende; car on a vu (38, II) que ce produit partiel n'a pu se réduire avec aucun autre. On obtiendra donc le premier terme du quotient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

Mais ici il sera nécessaire d' avoir égard aux signes , car en ordonnant les deux polynômes il peut également arriver que le premier terme ait le signe + ou le signe — . Or, la règle des signes donnée pour la multiplication (34) nous apprend que si le produit de deux termes est positif, ces deux termes sont de même signe; et que si le produit est négatif, les deux termes sont de signe contraire. On peut donc former le tableau suivant :

-j- divisé par + donne au quotient -f- + - -

ce qui montre que le quotient de deux termes de même signe a le signe -f- • , et que le quotient de deux termes de signe contraire a le signe — ; règle qui est la même que pour la multiplication.

Dans l'exemple actuel, le premier terme du dividende et le premier terme du diviseur étant positifs , le premier terme du quotient sera positif. On divisera donc 30aV par 5ax' , ce qui donne %ax' t , et l'on écrira ce premier terme du quotient au-dessous du diviseur.

Le dividende étant le produit du diviseur par le quotient, contient tous les produits partiels du diviseur par les ditférents termes du quotient. Le premier terme du quotient étant trouvé , on peut donc multiplier le diviseur par ce terme, et retrancher le produit ainsi obtenu du dividende ; le reste ne contiendra plus que les produits du diviseur par les termes suivants du quotient, et sera par conséquent un nouveau dividende plus simple sur lequel on pourra opérer comme sur le premier, (le calcul se fait de la manière suivante t -f-5aar multiplié par ■j-Gax' donne -{-SQa'x* , et, pour soustraire, — 30a*x* , qu'on écrit au-dessous du premier terme du dividende; — Sa'x* par +60»' donne — iStrV , et, pour soustraire,- -\-l8a , x i , qu'on écrit au-dessous du dividende, à la suite du terme précédent; — 4a'x par -\-6ax 1 donne — 24û\z> , et, pour soustraire , +24»'^ , qu'on écrit au-dessous du dividende à la suite des deux termes précédents; enfin -f-i* 1 par -\-%a3? donne -{-Qa'x 1 , et, pour soustraire , — 6a s x' , qu'on écrit encore au-dessous du dividende à la suite des trois termes précédents. On tire un trait horizontal au-dessous du polynôme soustrait; on opère ia réduction des termes semblables, et l'on obtient pour premier reste - ,'

— lOa'Jî'-f-afaW— (Px 1 — Ua'x + Sa' .

Ce premier reste étant le produit du diviseur par l'ensemble des termes inconnus du quotient, et se trouvant ordonné comme le di-

viseur et le quotient, par rapport aux puissances décroissantes de la lettre x , son premier terme est le produit exact du premier terme du diviseur par le premier des termes inconnus du quotient, puisque ce produit partiel n'a pu se réduire avec aucun autre. On aura donc le second terme du quotient en divisant le premier terme du premier reste, ou second dividende, par le premier terme du diviseur. Or, — \0rPx 1 divisé par -\-5ax' donne — ia'x ; on écrit ce quotient partiel à la suite du premier terme du quotient total.

Connaissant le second terme du quotient , on peut faire le produit du diviseur par ce second terme , et retrancher ce produit du premier reste; le second reste qu'on obtiendra ne contiendra plus que les produits partiels du diviseur par les termes suivants du quotient. En effectuant ces calculs de la même manière que ci-dessus, on obtient pour second reste

-f lfla'a?— 9a'a;«— na'x + Sa 7 .

Ce second reste étant le produit du diviseur par l'ensemble des termes inconnus du quotient, et se trouvant ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la lettre x , son premier terme est le produit exact du premier terme du diviseur par le premier des termes inconnus du quotient, puisque ce produit partiel n'a pu se réduire avec aucun autre. On obtiendra donc le troisième terme du quotient en divisant le premier terme du second reste par le premier terme du diviseur. Or, -j-lâa'a; 1 divisé par +5 aie 1 donne + 30* ; on écrit ce quotient partiel à la suite des deux premiers termes du quotient total.

Connaissant le troisième terme du quotient, on peut multiplier le diviseur par ce terme, et soustraire le produit du second reste ; le troisième reste qu'on obtiendra ne contiendra plus que les produits partiels du diviseur par les termes suivants du quotient, s'il y en a. Eu elléctuarit ces calculs , on trouve zéro pour troisième reste; il en résulte que l'opération est terminée, et que le quotient total est

Gax-— 2û , a;-|-3û , .

En multipliant, en effet, le diviseur par ce quotient, on reproduirait le dividende (54).

De tout ce qui précède , on tire la règle suivante : Pour diviser deux polynômes l'un par l'autre , on écrit le diviseur à la droite du dividende en les ordonnant par rapport aux puissances d'une même lettre; onles sépareparun trait vertical, et l'oniireun trait horizontal au-dessous du diviseur pour le séparer du quotient. On divise te premier terme du dividende par le premier terme du diviseur ; on obtient ainsi le premier terme du quotient, qu'on écrit au-dessous

du diviseur. On multiplie le diviseur par ce terme; on soustrait le produit du dividende, et l'on obtient uupremier reste. On divise le premier terme de ce premier rente par le premier terme du diviseur ; on obtient ainsi le second terme du quotient; on l'écrit à la suite dupremier; on multiplie le diviseur par ce second terme; on soustrait le produit du premier reste, et l'on obtient un second reste. On opère sur ce second reste et sur les suivants, comme sur- le premier ; on obtient ainsi les termes successifs du quotient. Si le dividende est le produit exact du diviseur par un polynôme entier, on obtient zéro pour dernier reste, et l'opération est terminée.

( Dans chaque division partielle de monômes, il faut observer la règle des signos, qui consiste en ce que deux termes de même signe donnent un quotient punitif, et deux termes de signe contraire un quotient négatif.)

46. Il peut arriver que le dividende et le diviseur contiennent plusieurs termes affectés de la plus haute puissance de la lettre ordonnatrice ; dans ce cas , la même circonstance peut se présenter au quotient. Or, on a vu (30) que*le groupe le plus élevé du multiplicande, multiplié par le groupe le plus élevé du multiplicateur, donne le groupe le plus élevé du produit, sans réduction avec les autres groupes. Si donc on divise le groupe le plus élevé du dividende par le groupe le plus élevé du diviseur, on obtiendra le groupe le plus élevé du quotient, lequel groupe pourra n'avoir qu'un seul terme , mais en renfermera ordinairement plusieurs. On . multipliera lo diviseur par le groupe de termes obtenus , on retranchera le produit du dividende, et l'on obtiendra un premier reste, sur lequel on opérera comme sur le dividende; et ainsi de suite.

Le lablcau ci-dessous offre un. exemple du cas qui nous occupe :

vrdende, Diviseur.

9a 3 Ix 3 — 12«'ô Le 1 — 12a'6* U .+16o , 6 1 1 3a ! lx' -{-Gab'x— da'ô 1 — iao*\ -f-26a ! fi ! l ~32a ! &'l — 2ab\

-r-iaaù» i | ;

Quotient. m

+40jrj — iSapj -\-8a'lr>\ +ïb\

, res te, . . —\1a'b \a? — 2-i a'Px +16a s 6* + 8«w|

+12a I ô ixi+îWPx — lGa'È 5

PflfcMlÈBE PARTIE. — CHAPITRE II.

Après avoir disposé le dividende et le diviseur comme ce tableau l'indique, on divise le groupe le plus élevé du dividende, c'est-à-dire (Oa" — 4ab , )x* , par le groupe le plus élevé du diviseur, savoir (3o*— 2ab)x* .Lefacleur Vc? — lab 1 diviséparlefacleur 3a'— 2aô , ôa 5 — 4ab' \ 3a'— 2ai — 9V+6»'ft 3a+2û

—6a>b+4aP

donne pour quotient 3a-(- 26 . Et comme le facteur divisé par le facteur x' donne pour quotient & , le quotient des deux groupes considérés sera (3a -f 2 6) x . On écrit ce groupe de termes au quotient total , on multiplie le diviseur par ce groupe, on soustrait le produit du dividende , et l'on obtient le premier reste.

Legroupeleplusélevédeccpremicrresteest (—l%a 1 b-\-8a'b , )a;'. Pour le diviser par le groupe le plus élevé du quotient, ou par (3o'~2o&)i' s , il suffit de diviser — 12a»6-f 8o*6 r par Sa'— 2ab , puisque x' divisé par x* donne l'unité. Effectuant cette division partielle

~12a?b+Sa t b' 1 | 3a'— 806 + 12ff»p— 8a'6' — Aab

on trouve — 4ab , qu'on écrit a la droite du premier groupe de termes du quotient. On multiplie le diviseur par le nouveau terme obtenu, on soustrait le produit du premier reste; et comme on obtient pour second rcsle zéro, il s'ensuit que l'opération est terminée, et que le quotient total cherché est . 3a 1 x — iab ' .

47. Remarques. I. On reconnaît que la division no peut s'effectuer exactement ; 1° lorsque le diviseur contient une lettre qui n'entre pas au dividende; 2° lorsque la plus haute puissance d'une lettre au diviseur surpasse la plus haute puissance dé la même lettre au dividende ; 3° lorsque, après avoir ordonné le dividende et le diviseur par rapport aux puissances , décroissantes par exemple , d'une môme lettre, quelle qu'elle soit, le premier terme du dividende n'est pas exactement divisible par le premier terme du diviseur, ou que le groupe de termes le plus élevé du dividende n'est pas exactement divisible par le groupe le plus élevé du diviseur; 4° lorsque le dernier terme du dividende n'est pas exactement divisible par le dernier terme du diviseur, ou que le groupe de termes le moins élevé du dividende n'est pas exactement divisible par le groupe le-

moins élevé du diviseur ; 5' enfin lorsque , dans le courant de l'opération, le premier terme d'un reste n'est pas exactement divisible par le premier terme du diviseur, ou que le premier groupe do termes de ce reste n'est pas exactement divisible par le premier groupe du diviseur.

II. Lorsqu'il se manifeste une impossibilité dans le courant de l'opération, le reste auquel on est parvenu est ce qu'on appelle le renie de l'opération. Si l'on ajoute ce reste au produit du diviseur par l'ensemble des termes obtenus au quotient, on doit reproduire le dividende.

Soit, par exemple, à diviser

1 2 a V -f- 7<rV — 8 d'x -f 2 o> par ; 4a.r'-{- Sa'x —6a 1 .

En opérant comme précédemment,

na?a?-\- 7t?J? — 8a*.c-f- 2a* | 4a&+ôa'x— 6c 1 — 12aV— 15a 1 j'-|-18a t .r 3ax — 2a'

1" reste — 8<rV+10a t a--f 2n 6

■ + ^a'^'+lO^x-- -12a*

2* reste -f 20^— lOrf

on obtient d'abord au quotient !es deux termes 3ax et —2a' ; puis l'on parvient à un second reste 20a 4 x — 10a l dont le premier terme n'est pas divisible par le premier terme du diviseur, puisqu'il contient la lettre ordonnatrice à une puissance moindre. H en résulte que l'opération ne peut s'effectuer exactement , et que le dividende est égal au produit du diviseur par 3az— 2 a 1 , augmenté du reste 20a*a:— 10a* ; ce qu'il est facile de vérifier.

48. Nous placerons ici quelques théorèmes de calcul , dont ou fait assez souvent usage, et qui se rattachent à la division.

I. Soit le binôme x" — a™ , dans lequel m désigne un nombre entier quelconque. Proposons-nous de diviser ce binôme parle binôme x — a .

— £H-££^5"'-' + ax»-' + 55F 3 + etc. . .+0*-' -{-ax'—'— a m

-f^a^- 1 — a" etc.

—a—'x -fa"

-|-a m — a*" ou zéro.

32 rpEMltBE PARTIE. — CllAPiTHE II.

Ces binomos étant ordonnés par .rapport aux puissances décroissantes de m. , divisons le premier terme x" du dividende par le premier terme x du diviseur. Le .quotient partiel sera oc affecté d'un exposant égal à la différence entre m et 1 , c'est-àdire x"— 1 . Multipliant le diviseur par ce terme , et soustrayant le produit du dividende, on obtient pour premier reste -\-ax™~'— a". Divisons ax" 1 -' par x , le quotient sera +fla;*'- , , puisque l'exposant de x devra être diminué d'une unité. Multipliant le diviseur par ce terme, et soustrayant le produit du dividende, on obtient pour second reste a'x"-*— a" ; et ainsi de suite. . Or, si l'on examine ces restes successifs, on reconnaît que, dans leur premier terme, l'exposant de a va sans cesse en augmentant d'une unité d'un reste à l'autre, tandis que l'exposant de x va en diminuant d'une unité ; de sorte que lu somme des deux exposants reste toujours égale à m . Il viendra donc un momentoù l'exposant de a sera devenu m , tandis que x aura disparu; on aorte qu'à cet instant on aura pour reste a" — a" ou zéro. D'où il résulte que : x nl — a m est divible par x — a.

Quant au quotient , il est facile à retenir. Tous ses termes sont positifs , et ont pour coefficient l'unité ; l'exposant de x va en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre; celui de a va en augmentant d'une unité. Le premier terme est x"" 1 . Quant au dernier, on le trouvera en remarquant que les termes consécutifs du quolient ne sont autre chose que les premiers termes des restes successifs dans lesquels l'exposant de x a été diminué d'une unité ; or, le reste qui précède a m — a" , est, d'après la loi des exposants 4-tf— 'as— a™ ; le terme correspondant du quotient est donc -j-a" -1 ; et ce terme est le dernier, puisque le reste suivant est zéro.

On démontrerait d'une manière analogue que :