I. Résoudre l'équation ax + ln/x-J-c

Au lieu de taire disparaître le radical comme ci-dessus, on peut poser tjx = s , d'où x = z i et as* + os + e = 0 ■ Ayant résolu cette équation , on élèvera ses racines au carré , et l'on aura les racines de l'équation proposée.

U. Résoudre l'équation Aa" +Ba* -f G = 0 .

Onpose of=y. , d'où a" = y* . Il vient alors ' hy'+'Bu + C = 0 ,

Soient y" et y" les racines de cette équation , il reste a résoudre les équations exponentielles (301) :

a' = y' et a' = f .

tHH.l.Résmdrelesdeux équations x-f-y=a et %x+toyy=b. La seconde revient à \ogxy=b (S80) , d'où jry=10* ,

si les logarithmes sont supposés pris dans le système dont la base est 10 . Le problème se trouve donc ramené à chercher deux nombres, connaissant leur somme et leur produit; question qui a été traitée (i&O).

il. Résoudre les deux équations x*+y , =a* et /offx-f %y=!i . On lire de la seconde a-y—lOf .

La question est donc ramenée à trouver deux nombres, connaissant leur produit et la somme de leurs carrés; question qui a été traitée (194).

III. Résoudre les deux équations x'-fy^a* et logx-\-logy = b . On tire encore de la secoude œy — W ; d'où ^Y = IO»* . Posous x 2 =u et y l =v , nous aurons à résoudre les deux équations- *' . , ■

«'-j-î^a' et up=ltf' , ce qui rentre encore dans la question traitée au n° 194.

Ayant obtenu u. et v , on-en extraira la racine carrée et l'on aura les valeurs de x et de y .

392. Étant donné un polynôme entier par rapport à x , tel que Mx™ -f-Nx"-j-Px' , + etc. , trouver le reste de la division de ce polynôme par x— a .

Le diviseur étant du premier degré , le quotient sera un polynôme entier par rapport à x , et le rostc sera indépendant de x . On aura donc, en désignant ce quotient par Sfce™~'+ etc. , et le reste par B ,

Mas"+ N*" -f Yx* -f etc. = (x — a)(Ma^' + etc.) + R . Dans cette identité, si l'on remplace x par a les deux membres resteront égaux; or, le facteur x — « deviendra nul» et le facteur iSx"-'-\- etc. , prendra une valeur finie, puisque x n'entrant pas en dénominateur, il ne peut devenir infini pour aucune valeur finie de x ; d'ailleurs le reste R ne changera pas, puisqu'il est indépendant de x . On aura donc

M<r + Na»-f-Pa'+etc. = R ; c'est-à-dire que lé reste de Indivision du polynôme en x proposé, par x — a , est le résultat qu'on obi 'tint en remplaçant x par a dans ce polynôme.

. Si l'on divisait par 3:4-01 , qui Tevient à x— (— a) , on aurait pour reste

M{-ar+N(-a)- + P<-fl)»-t-etc. , ou le résultat qu'on obtient en remplaçant x par — a dans le polynôme proposé.

Remarque. Ce théorème démontre immédiatement bis caractères de divisibilité de x"àzaf par x±a (48),

Soit x~+-a'» àdiviserpar x-+- a ; («reste sera {—àf -j-a" . Il sera nul quand m sera impair.

CHOIX DE PBOBLÈÏ1ËS. 379

Soit x~ -fa- àdiviserpar x— a ; le restesera (+a)~+a" • Il ne pourra jamais être nul.

Soit a:" 1 — a" àdiviserpar x-\-a ; lu resto sera ( — «)•" — a". Il sera nul quand m sera pair.

Soit enfin x m —a" àdiviserpar x— a ; le reste sera a™— a" . Il sera nul quel que soit m .

S 11. Problèmes île Génmûtrie-.

305. Trouver un triangle rrrt/tnglr dont tes trois côtés soient représentés par trois nombres entiers consécutifs. Soient x — 1 , x et -x-\-l ces Irois nombres, on devra

{x + if=a'+ (x — 1)' ou a*4x = 0 , d'où a:==0 , et x = 4 .

La seconde valeur seule satisfait ; les trois ri) tés sont donc représentés par les trois nombres 3 , 4 et 5 .

594. Diviser nn cercle en moyenne et extrême raison par vrw circonférence concentrique. - ■

Soient R le rayon du cercle donné, x celui du cercle cherché; la surface de ce cercle sera icx' , et celle de la couronne comprise entre les deux circonférences concentriques sera ^(R* — x 1 ) . On devradonc avoir

*R' : ike* : : : it(R*— «*) ou R* : x" : : V : R'— *" , d'où jt'+R*^ — R'=0 ,

La seule solution admissible est

Si l'on veut que ce soit la couronne qui soit moyenne proportionnelle entre le grand cercle et le petit cercle , on devra poser

W:ÏV— a^ufe'— , d'où R" — x'—Rx et ar = a( ~^ t/ ^ ) ■

* Voy. , pour les principes sur lesquels repose la solution de ces problèmes, notre tiiomdtie théorique et pratique, 3* Êdilion.

Remarque. Cette valeur est celle du plus grand segment du rayon divisé lui-môme en moyenne et extrême raison.

39S. Trouver la hauteur d'un segme.nt sphérique, connaissant la surface totale et le rayon de la sphère.

Soient B le rayon de la sphère, x la hauteur du segment, et ita 1 un cercle équivalent à la surface totale donnée. La surface de la calotte est 2nRa: ; celle du cercle de base est nf* , en appelant r son rayon. Mais r est moyen proportionnel entre les deux segments x et 2R — x du diamètre ; on a donc r , =x(2R — x). L'équation du problème est par conséquent :

27tRa!-f-7ra;(2R — x)=na x ou 4Rx — x'—a' .

d'où tt = 2R± v / 4R 1 — a 1 .

Il est évident que la seconde valeur peut seule convenir. Pour qu'elle soit réelle, il faut qu'on ait a-<2R , ou que le rayon du cercle équivalent à la surface totale du segment soit moindre que le diamètre de la sphère. En d'autres termes, il faut que la surface donnée soit tout au plus égale à la surface de la sphère, condition qu'on aurait pu prévoir.

396. 1. Diviser un trapèze an deux parties équivalentes, par une parallèle aux taies.

Tout se réduit à trouver la longueur de cette parallèle. Désignons-la par x . Soient « et & la grande et la petite base du trapèze. Si l'on prolonge les deux côtés non parallèles, on formera trois triangles semblables, dans lesquels b , x et a seront des côtés homologues. Chacun de ces triangles pourra être représenté par le carré de l'un de ces trois côtés. La partie supérieure du trapèze sera donc représentée par x 1 — 6* , et la partie inférieure par a' — x* . Ainsi on devra avoir

tf-fi^tf-jr- , d'où i = yŒ .

On voit que la solution ne dépend pas de la hauteur du trapèze.

II. Diviser la surface convexe d'un tronc de cône en deux parties équivalentes par un plan parallèle avx bases.

Ce plan coupera la surface du tronc de cône suivant une circonférence. Tout se réduit à trouver son rayon. Désignons-le par x ; soient R et r les rayons des deux bases. En raisonnant comme ci-dessus, on trouvera de même

CHOIS DE PHOBLËMES. 381

III. Diviser le volume d'un tronc de cône en deux parties équivalentes par un plan parallèle aux botes.

En conservant les mêmes notations on trouvera, à l'aide de raisonnements analogues ,

597. I. Trouver l'expression de la surface convexe d'un tronc de cône, en la considérant comme la différence entre deux cônes.

Soient B et r les rayons des bases , A. le côté du grand cône, a celui du petit, a le coté du tronc de cône, lequel équivaut à A — a .La surtàce du grand cône aura pour valeur îcBA , celle du petit wo . La surface S du tronc de cône aura donc pour expression

S = *(AR— or) .

Mais on a A:«::R:r, d'où ^- — -^ ■ Substituant, il vient

— a)(R — r) = îra(R-|-r)

qui est l'expression connue.

II. Trouver [expression du votuntc d'un tronc tk cône, m le considérant comme la différence de deux cônes.

Soient toujours R et r les rayons des deux bases; H la hauteur du grand cône, h celle du petit , s — H — A celle du tronc; enfin V le volume du tronc. Le volume du cône entier aura pour valeur ^ttR'H ; celui du petit ^nr'h .Onauradonc

V= Jit(R*H — ; niais on a R : r ;: H : A , d'où H= — . Substituant, il vient V = 4» ! (RW) = i« £ (R - r)(R'-f- R' + >*)

= (~ -a)(R'+ Rr + H) = i*(H-A) (R s + Rr + r*) .

^^(R'+Rr-fO .

C'est l'expression connue.

39». Une sphère et un cylindre élan (posés stirvn m/me plan horizontal, on propose de tes couper par un second plan parallèle au premier, de telle sorte que ies volumes interceptés entre les deux plans soient entre eux-comme m est à n- .

Soient R le rayon de la sphère, r celui de la base du cylindre, et x la distance des deux plans horizontaux, le volume du segment de sphère compris entre les deux plans aura pour expression ^j:-;R— ; et la portion du cylindre comprise entre les mêmes plans aura pour expression ici 4 * . On devra donc avoir

■ws'fR — ; to'x : : m : n , d'où, en supprimant la solution x=Q ,

nx(& — ou ait* — 3nRx + 3mr t =Q .

Lit- condition de réalité est

Gffl'R'— I2«nr*>0 , ou ZnR 1 — 4mr'>0 ,

'<»vfë ■

Si elle est remplie , l'équation aura deux racines positives. Mais , pour que les deux solutions conviennent à la question , il faut que la plus grande soit moindre que le diamètre 2R de la sphère. En écrivant cette condition, on a

auj^jg <ii , «, r<Kyff.

300. 1. Déterminer, dans une sphère, un segment à une base, dont la surface, soit à celle du aine de même buse el de même hauteur dans un rapport donné ■ m .

Soient R le rayon de la sphère et x la hauteur du segment; le rayon de sa base sera v'j;;2R — x) (39ii) ; et le côté du cône étant moyen proportionnel entre la hauteur x et le diamètre, aura pour valeur \/ÏRx . La surface de la calotte sphérique aura pour valeur 2^Ra: ; celle du cône

n.y!x(2ïL — x) . v/2Î£Ë ou bien ira v 2R(2R~ x) . On devra donc avoir, ensiippriuiantlesfacteurscommuns it et x , 2R=ffl. v '2R(2R— x) , d'où x=2K.^^ .

La valeur x = 0 , qu'on a supprimée en divisant par x , est une solution illusoire. ' ,

Pour que la valeur obtenue soit positive, il faut qu'on ait m>l . Onauraalors #<2R .

El. Déterminer le segment de manière que son volume soit à celui ducônede même. hauteur, dans un rapport donné a .

Le volume du segment a pour expression ^k**(3R — x) ; et celui du c6ne ^tu.^c(2R — x),x ou iîr^(2-R — x) , On devra