CROIX DE PROBLEMES

donc avoir, en supprimant les facteurs communs .Jn et , :ïR — x=m(2K — x) , d'où g==K. ^Z^ , i

Il faut nécessairement que l'on ait m>l ; et, pour que x soit positif, il faut qu'on ait en même temps 1m — 3>0 ou m >| .On aura alors a;<2R .

Le rapport m a un minimum, f , qui répond à x=Q .

400. Inscrire dans un cercle un rectangle dont la surface soit vu

Soient R le rayon du cercle , x et y la base et la hauteur du rectangle, A la surface; on aura A— xy et a? + !/'= -iR 1 . Eliminant y , il vient x 1 — 4RV + A* — 0 .

la condition de réalité est 4R 1 — A*>0 , d'où A<2R» .

Le maximum de la surface est donc A = 2 R' ; ce qui répond à ^ = 2R* ou a = Rv'2 ,-etdonne y=Rfë .

Le rectangle demandé est donc le carré inscrit.

401. I. Inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface rotrvexe soi! un maximum.

Soient R le rayon de la sphère , x le rayon de la base du cylindre, y la moitié de sa hauteur, et T.a' un cercle équivalent à la surface convexe du cvlimlre. On aura

x'-^-y'—'R' et 1-x.Zy=-xa t ou ixy=ar , d'où 2xy = ~ . En faisant usage de la mi'ilhoric- indiquée au n° 194 , on trouvera

La condition de réalité est

La surface du cylindre a donc un maximum 2tiR* , égal à la moitié de la surface delà sphère, et qui répond à x=y=ifivï .

IL Inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface totale soit un maximum. ■ '

Kn conservant li;s marnes notations, et en désignantpar t.o 1 la surface totale du cylindre, on aura

[I] a^+y'— R : et 1r,x. ly+l* j^=na' ou Jary-f 2y*=a ! [2].

Multiplions l'équation [1] par of , l'équation [2] par R" , et retranchons la seconde de la première ; il viendra

a'i/ — iYi'xy + {a , — 2B. s )x 1 = 0 ,

ou , en divisant par a? ,

*(f)"-«-(|)+«'-ÎR!=<>.

Pour que le rapport - soit réel, il faut qu'on ait :

4R l — a'(a>— 2R')>0 ou a 1 — 2RW — 4R l <0 . En égalant à zéro le premier membre de cette inégalité, et y regardant a* comme l'inconnue, on verrait (217) qu'il se décompose en deux facteurs ; et qu'on peut écrire en conséquence ,

Le second facteur étant essentiellement positif , il faut, pour que l'inégalité soit satisfaite , qu'on ait

ft '<R'(i-i-t/ë) .

Dans le cas du maximum de surface , on auia donc

a* =R« , d'où TTfl^TrR'tl -\-<JÏ) .

Dans ce cas, l'équation [3] a deux racines égales (218); et l'on en tire

En combinant cette équation avec l'équation [I], on en déduit pour ' x et y les valeurs

x — îlK