Trouver le maximum ou le minimnm de l'expression

Celte relation peut se mettre sous la forme - '

x 1 — (y-\-5)x-> r 5y-\-4=0 La condition pour que £ soit réel est

ly+ty— 4(5j/+4)>o ou yi^-iOy-J-9>0

I.e premier memhiv rt« cette iiiL'italilé se déeouipiihe en deux facteurs'du premier degré 51 — 1 et- y— 9 ; on doit donc avoir

(»-D(y— 9)>o'.; ; Pour que cette inégalité soit satisfaite , il faut qu'on ait ou y < 1 ou y>9 . L'expression proposée a donc un maximum y = \ et un minimutn y=9 . Le premier répond à

.^—6* + 9 = 0", d'où x = S .

Le second répond à ■ - ■' '. ;

x>~~ lix + 43 = Q , d'où x =7 .

Il n'y a aucune valeur réelle de x qui puisse donnera l'expression proposée les valeurs comprises entre 1 et 9 ; mais elle peut prendre toutes les valeurs au-dessous de 1 jusqu'à l'infini négatif, et toutes les valeurs au-dessus de 9 jusqu'à l'infini positif.

38o. I. Partager le nombre a en deux parties telles que leur produit soit le plus grand possible (nu muximum).

Soit x l'une des parties, l'autre sera a — x , et leur produit sera ax — a? . Posons

La condition pour que x soit réel est o? — iy>0 , d'où

- CHOIX DE PIÏOBI.KMES.

. Le produit y a donc im maximum , quïrépond

Ainsi , il faut partager le nombre proposé en deux parties égales. II. Partager a en deux parties telles que la somme de leurs carrés soit la plus pcl.Hi' possible 'ou minimum).

En appelant l'une des parties et y la somme do leurs

«*+(a — xf=y ou laf—lax + a*— y = 0 .

La condition pour que x soit réel est y> a* . La somme y a donc un minimum , y = a* , qui répond h x = (l ou x= a- , c'est-à-dire qu'il faut que l'une des deux parties soit nulle.

386. Former une équatUitt du second degré dont les racines soient 2a + b et a— 2b .

Soit x?-\-px + 5 = 0 cette équation. On devra avoir — p = 2a+b + a— 2b = 3a — b , d'où p = — (3a— 6) et î = (2a-f-ôj(« — af^an 1 — 3aô — 2A ! .

L'équation demandée est donc

x'-*-(3ar—byx + 2a'~ .lai — 2&* = 0 .

On peut vérifier, en la résolvant , qu'elle admet les deux racines proposées.

387. I. Trouver la somme des carrés des racines de l'équation x'+ps + q = 0 , sans la résoudre. , ■

Appelons a et b les deux racines, et S la somme de -leurs carrés. On a ■ . , '

S=o , +6 , =<«-f bf— 2at> ; mais o-j-è= — p et ab — q ,

donc S—p'—ig .

If. Trouver la somme des cubes des mêmes racines. Soit S cette somme, on aura

Elevons au cube la relation a -f- b = — p , il viendra a , +3a'&- r -3aô ! +A ! = — p* , ou . a '+b°>\-3ab(a + b) = — p" ,

ou S— 3qp= — p* , d'où 8=311?—/ .

Î7(i TROISIÈME- PARTIS. — CHAPITRE XV.

Rbmârqiïe. En opérant de même , on trouverait pour la somme des quatrièmes puissances des mêmes racines

S=p*— 4fq+ip .

588. I. Déterminer q dans l'équation x'-y- 4x -|-q = 0 , du manière que la somme des carrés des racines soit égale à 12 . On devra avoir, en vertu de ce qui précède,

16 — 2j=12 , d'où ? = 2 .

Les deux racines de l'équation seront, en effet,

^=—2 + ^2 et' x=— î— ^5,-' et leurs carrés seront 6 — ifâ et 6+4v'2 , dont la somme est 12 . .

11. Déterminer q dans l'équation x*-|-px + q == 0 , de manière que m fois l'uni- des racines plus n fois l'autre fasse une snmmr i-ijalr à un nombre donné r .

En appelant a et b les deux racines, on aura

a-\- b= — p , ab = q et ma-\-nb = r , équations où les inconnues sont a , b et q . Éliminons a et (t entre la première et la troisième , qui sont du premier degré , et portant leurs valeurs dans la seconde, nous aurons la valeur de g . i - • -

On trouve ainsi «=£±^ et 6 = ^-±^ ,

d'où (r+npHr+.mp) (m — ») 1

389. 1. Étant donnée l'éqvatian x" -f- px -f- q = 0 , former une équation du second degré dont les racines soient celles de la proposée , multipliées par vn même facteur m .

Soit y l'inconnue de la nouvelle équation , on devra avoir

y=mx\ d'où x=$- .

Mettons cette valeur pour x. dans la proposée , et faisons dispa- . raître les dénominateurs, il viendra ,

ce qui sera l'équation demandée. , ' .

II. Former une équation dont les racines soient égales à celles de x'-f-px+q^O .diminuées chacune d'une même quantité m .

Soit y l'inconnue de la nouvelle équation, on devra avoir y = x — m , d-ou x = y^-M .'

CHOIX- DE PBOliLGHES. 377

Mettant pour x cette valeur dans la proposée, et réduisant, on obtient

y*+&m+p)y + m l + mp + q = 0 , ce qui est l'équation demandée.

Si m était égal à — | , cette équation se réduirait à

III. Former une équation qui ait pour racines les carrés des racines de l'équation x*-|-px-f-q = 0 ■

On devra avoir y = x* d'où x=;\fy .

Mettant cette valeur de x dans la proposée, on obtient

y+P\'~>i+q = o d'où pfâ=—y—q ,

et , en élevant au carré ,

ou y 1 — (y*— 2q)y + q , = 0 ,

c'est l'équation demandée.