Trouver le nombre des eûtes d'un polygone gui a n dia

Soit x le nombre des côtés ou des sommets. De chaque sommet, on pourra mener autant de diagonales qu'il y a de sommets, moins 3 ; car le sommet que l'on considère est joint au sommet qui précède ou qui suit , par un cflté et non par une diagonale. Chaque sommet fournira donc x — 3 diagonales ; et, comme il y a a; sommets, on obtiendrait ainsi x(x — 3) diagonales. Mais, comme il est aisé de voir que chacune d'elles serait ainsi comptée 2 fois ; le nombre réel des diagonales sera

La première valeur seule répond à la question.

CHOIX DE PROBLÈMES. 385 § III. Problèmes élémentaires de Physique el de Hécaniuue *.

403. Trouver le dinmilri d'un boulet de 1\ kilogrammes . Soit x ce diamètre, exprimé en décimètres; le volume du

boulet exprimé en décimètres cubes sera

Or, on trouve dans 1rs tables do. densité, ipiela densité de la fonte est 7,207 ; c'est-à-dire qu'un décimètre cube de fonte pèse 7\!il)7 - iin ttmllipïi:inl donc iv poids par lu nombre do décimètres cubes contenus dans le volume du boulet, on aura son poids. Égalant enfin ce poids au poids donné , 24 l , on aura

1^.7,207 = 24 d'où x= \ .

Enemployant les logarithmes, on trouve x = 1 ''«»», S5272-. ou, à peu près, 0 m ,185 .

404. Ilfauf 19 feuilles d'or, de forme carrée, et de 1 9 centimètres de côté, pour faire le poids d'un gramme. Quelle est leur épaisseur?

Soit x celte épaisseur, exprimée en fraction du décimètre. Le volume de chaque feuille, exprimé en décimètre cube, aura pour expression (1,9)'.* . La densité de l'or battu est 19,362 ; le poids d'une feuille, en kilogrammes, sera donc (1,9)'.*. 19,362 . En égalant le poids des 19 feuilles à 1 gramme ou 0\001 , on aura donc

(1,9;'. x. 19,362. 19=0*001 ou (1,9/. 19,362 .x = 0,1 , 0,1

En employant les logarithmes, on trouve

a; = O J ' c ,000OO075299 ouàpeuprès x= 0 n "",0000729 . Il faudrait près de 16000 de ces feuilles pour faire l'épaisseur d'un millimètre.

403. Trouver le diamètre d'un fil de platine , pesant 1 gramme , et qui a 1 kilomètre de long.

Soit x le diamètre cherché, exprimé en fraction du décimètre. Le volume du fil, considéré comme un cylindre , sera £nx*.10000 ,

* Voy,, pour les principes invoqués, le Traité de Physique do M. Péclet.

en décimètres cubes. La dcnsitô du platiné tiré a la filière étant 21,0417 , le poids du ni, exprimé en kilogrammes, sera" Iw':l000nx21,0'il7 . Ou devra donc avoir

. 1 0000 . 2 1 ,04 1 7 = 0,001 d'où

i opérant , par logarithmes , #=0 i,c ,OÛ0O77788...

= \/-^ V Tï.211

40U. 1. On enfonce dans l'mu , par le tommet, un cône de bois de sapin ; de quelle, fraction de sa hauteur devra-t-il plonger pour se

Soient A sa hauteur, x la quantité dont il plonge , et d la ■li •<■■ « if.in L- [■ki'K Ju «vluiiir <J <-ju Jv'fJii-^ demi iUc au poids du cône. Le volumv plongé et le volume lohil sonl deux cônes semblables, qui sont proportionnels aux cubes de leurs hauteurs; on pourra (1 on r. les représenter par kx* et Aft 1 .Ainsi on devra avoir

kr?Xi=kh'Xd , puisque la densité de l'eau est 1 . On tire de la

at = hl/â ou ■ Pour le sapin , on a d = 0,55 . On aura donc ^ = ^0,55 . (In trouve, par logarithmes, ^ = 0,81932 .

Le cône devra donc plonger des ^ environ de sa hauteur.

II. De quelle frat-IUm <lesn hauteur le mrweeône devrait-il plonger, pour l'équilibre, si on l'mfonçuit par laba.se?

Soit toujours A la hauteur. Appelons y la portion de cette hauteur qui devra dépasser le niveau de l'eau. Le volume extérieur a l'eau pourra être représenté par i:\f , le volume total par AA" , et le volume plongé par kih'—y') . On devra donc avoir W— f)X.l = kh\d ;

d'où y = Ayl — d .

On remarquera que, pour que y soit réel , il faut qu'on ait rf<l . La hauteur x que l'on cherche est égale â h — y ; on a donc

x=h~h%T^d ou |=1 -i/T^d .

Pourlesapin.c'est-à-direpour tf=0,55 , on trouve ^=0,23368...

de sa hau

CHOIX DE fBOBLÈMES. 387

c plonger, dans ce cas , d'un peu moins du quart

407. Une sphère erense faite il' une matière dont la densité est d , est remplie d'un ijas dont lu drnsilè est 6 ; quelle, est la condition pour que cette sphère puisse n'élever dans l'air? [On donne l'épaisseur e de l'enveloppe.)

Soient II et r les rayons extérieur et intérieur de la sphère creuse ; et supposons h's <lcii<ilés d r.'L à rapportées à celle de l'air. En exprimant que le poirls de l'enveloppe , augmenté du poids du gai contenu , forme une somme moindre que le poids de l'air déplacé , on aura

d'où B s (rf — iX^fi — S) ,

Si, par exemple, la matièrr de l'hydrogène, on aurait pour la densité du l'eau 8,788 ; mais la densité de. l'eau rapportée à l'air, est le rapport de deux, poids égaux d'eau et d'air, d'un litre , par exemple, ce

qui donne ; on aurait donc pour la densité du cuivre rap-

portée à l'air ou 6760 . On aurait ensuite pour la den-

. Supposons en outre é = O m ,001 , 0"\001

En effectuant les calculs indiqués, on trouvera R>>20 ln ,I613....

408. Deux rarps lombe.nl du même point dans le vide, mais ri un intervalle de temps S . On demande au bout de quel temps ifs seront distants de m mètres.

Soient- E l'espace parcouru au bout du temps ( parlepremier corps, et e l'espace parcouru au bout du même temps par le second, lequel n'auramarcliérécllenicnlrpi'' |ieinlaiille temps t— î .

388 TBOISIÈME PARTIE. — CHAPiTHE XV»

On aura , en vertu des lois de la chute des corps : E=iffP et e=ig(t—Sf , Mais E — e = m , on aura donc

m=igtP-(i-Sr}=y&tS-S*) d'où t=^ + l ■

Si, par exemple, S = 0",1 et m = 10"' , en se rappelant que j/ = 9",8088 , on trouvera t = l(f,24 .

409. Un corps rxt tanei'- >:rr/icakmcnt thaïs le vide avec une vitesse initiale v . Au bout de quel temps serait-il à une Itau-

Ën appelant f le temps cherché, on aura, d'après les lois du mouvement vertical des corps dans le vide ,

h=vt-yp d'où t =^^EM .

La condition de réalité est »' — 2jrA>0 . La hauteur A a

donc un maximum h = ~ , qui répond à ( = - .

*9 S Si la condition de réalité est remplie, on a pour ( deux valeurs positives qui conviennent toutes deux à la question. La plus petite se rapporte à l'ascension du mobile et la plus grande à la descente, qui commence à l'instant où le mohile est parvenu à la hauteur maximum.

410. Vn observateur laisse tomber une pierre dans un puits et perçoit le bruit de sa chute t secondes après. On demande la profondeur du puits, sachant que le son parcourt a mètres par seconde.

Soit x la profondeur demandée. L'intervalle de temps t observé est la somme du temps employé par la pierre h parvenir au fond du puits, et du temps employé par le son à parvenir à l'oreille de l'observateur. Le premier de ces deux temps a pour valeur \J^Y ' 611 vertu ae la retetion employée e = $gt' . Le second temps a pour valeur — . On a donc

Posons fîë=y ,tfoù x= y 1 , il viendra

£+VH' d ' où ï =-V / i ± V / ë + '" '

CHOIX DE PBOBLÈMES. 389

La première valeur convient seule à la question. On aura donc

Si, par exempte, on prend a = 340™ et qu'on suppose (=5", on trouvera x= 107 m ,54 , à un centimètre près.

411. I. Unptrids P est équilibre parmi poids Q dansune balance fausse; si l'on change le poids V de plateau, il faudra un poids 0/ pour lui faire équilibre. On demande dans quel rapport sont les longueurs des deux bras du fléau.

Soient a et b ces deux longueurs. On a dans le premier cas Pa=Q6 ,

et dans le second Q'a=Vb .

Multipliant ces deux égalités terme à terme et supprimant le facteur commun P , il vient

QV=Q6" ,

d'où a\/Q 7 = ôv'Q et <*■ b :: v'Qlv'tF .

c'est-à-dire que les longueurs des bras du fléau sont en raison inverse des racines carrées des poids qui faisaient équilibre au même poids P , lorsqu'il était upiiliin»; a l'cxtréniilij de chacun de ces bras.

II. Deux poids égaux se font équilibre, dmis une balance. Si l'un des deux bras du fléau tiugmenluil d'une quantité a , il faudrait pour l'équilibre que le p:;ith corntjinmluiit diminw't de p ; cl si cr même bras diminuait de b , il faudrait que le poids correspondant augmentât de q . On demande la longueur du bras du fléau et le poids qui y est suspendu.

Soient x la longueur des bras , et y le poids qui y est suspendu ; on aura

(x+a)(y— P)=xy et (x — b)(y + q) = xy , ou ay — px=ap et qx — by = bq .

On tire de ces équations

aq—bp 9 aq — bp Dans le cas où l'on aurait 6 = « , il resterait a q-\-p t 2q

412. Un pendule simple, dont la longueur est 1 , afail uneertain nombre d'oscillations dans un certain temps, et l'on remarque

qn'ilen aurait fait n déplus si on ii-ûl raccourci de la quantité a . On demande pendant combien de temps il a oscille, et le nombre 'fosci/talions qu'il a faites. •

La durée d'une oscillation d'un pendule simple dont la longueur est l , a pour expression

En nommant donc x le nombre d'oscillations qu'il a faites dans le temps inconnu y , on aura

mais on aura, par une raison analogue ,

Éliminant y , il vient, après avoir divisé par n et multiplie par sjg ,

et, par suite

y V S S U-fî=,

Si, parexemple, ona i = i m , a— 0™,36 , et m = 20 , on trouvera

*=gO et y=&0l\2U....

■515. I. Un gaz occupe un volume V , sous la pression P et à la température t , ù quelle température faut-il l'élever pour qu'il occupe le volume V sous la pression P' ?

Il résulte de la lai de Mariotte et de la .loi de Gay-Ltjssâc, que, pour une môme masse de gaz , la quantité V?

reste constante ( a désignant le coefficient de dilatation). En nommant donc x la température cherchée, on devra avoir

et x ~{ji~^ t )~W~a '

CHOIX m l'HOBLÈHES. 391

Si, par exemple, -ç^2, ? =| , et ( = 10° ; comme on

:i « = 0,00366; il viendra # = 104°,4 .

II. Le coefficient de dilatation des gaz est 0,00366 quand on prend pour point de départ le volume à 0" et qu'on se sert du thermomètre centigrade. Qvei ternit ce coefficient . si on se servait d'un, thermomètre qui marquât a degrés pour In glace fondante et ft pour l'ébtilliliou de l'eau ; et que l'on prit pour point de départ le volume du gaz à n degrés de ce thermomètre.

Puisque l'intervalle p — a répond à 100° du thermomètre centigrade, 1 degré du thermomètre propose en vaut - ^—a ^ u thermomètre centigrade; jt — a degrés (qui est le nombre de dégrés au-dessus de la glace fondante correspondant au point de départ proposé), valent donc In — s) ,, 100 ou 100 ^ " degrés P — a

du thermomètre proposé.

Cela posé, soient v le volume du gaz à cette température de point . de départ, V son volume à la température de 1 éhullition et v„ son volume à la température de la glace fondante. Un aura

En appelant d'ailleurs x le coefficient cherché, on aura

De ces trois équations on tire

[ 1 + I00 ^EÎ- a ]t I + f & — n)*] = 1 + 1000 .

., . IQOo

X -®-*) + Wa{n-*) ' Si, par exemple, on se sert du thermomètre de Farcnheit et qu'on prenne pour point do départ le volume du gaz à 50° de ce thermomètre, ce qui répond à peu près à la température moyenne de l'année, on aura a = 32 , p = 2l2 , » = 50 ; d'ailleurs a = 0,00366 ; on trouvera ainsi

414. On acompte 11 secondes a entre l' instant où l'on a aperçu la lumière résultant île l'cjrplùsiùn d'une pièce d'artillerie, et l'instant où l'on a entendu le bruit de cette explosion. On sait que cette pièce était placée à 4000" de distance. On demande la température au moment de l'observation.

La Formule qui donne la vitesse du son dans l'air est V=333°v/r+Ô7<K>3667( .

t désignant la température exprimée en degrés du thermomètre centigrade. D'après l'énoncé on doit avoir VXy — *0O0 puisque Y. est l'espace que le son parcourt dans une seconde. On tire

delà V = ^p ; par conséquent ~ = 333 + 0,00366. ( , d'où ( = 24°,8 .

415. On demande le nombre de demi-Ions moyens contenus dans l'intervalle de df:ur. snvs musicaux, dont l'un répond à a vibrations dans une seconde, et l'autre à b vibrations dans le. même, temps.

Le nombre demandé est l'exposant de la puissance è laquelle il

faut élever la quantité 'fà pour produire le rapport ^ ; en

d'autres termes, c'est le logarithme acoustique de ce rapport. On a donc - (

<3*r=\, d-où , = &08»+i»-" .

v * b log2

Si, par exemple, on a «=2700 et 6 = 1800 , auquel cas l'intervalle considéré est une quinte juste , on trouvera « = 7,02 ,

ou un peu plus de 7 demi-tons moyens. Cet intervalle est donc un peu plus élevé que la quinte tempérée, qui est de 7 demi-tons moyens exactement.

416. Un corps se refroidit dans l'air. L'excès de sa température sur celle de l'air était prim il irement de 10° ; au bout de 12 minutes cet excès est réduit à 5° ; on demande dans combien de temps il sera réduit à 2° .

L'excès de température étant faible, on peut admettre la loi de Newton. En appelant T l'excès de température au bout du temps (; T 0 l'excès primitif, et m un coefficient constant, on a

Appelons x le temps cherché , nous aurons les deux équations

5 = J° et 2=" ' . J 10"" 10"* '

d'oùl'ontire 12m + log5 = l et mx + lo$1 = i ,