NOTIONS SUR LES EGALITES. Û

membre. Si, d'abord, on l'efface dans le premier, comme il était additif, on diminue ce membre de la quantité b ; pour ne pas troubler l'égalité, il faut donc diminuer aussi le second membre de b , ce qui se fera en y écrivant — b . On aura ainsi : a = c~d — b

Supposons maintenant qu'on veuille faire passer le ternie d du second membre dans le premier. Si d'abord on l'efface dans le second , comme il était sous trac tif , on augmente ce second membre de la quantité' d ; pour ne pas troubler l'égalité, il faut donc augmenter aussi le premier membre de d , ce qui se fera en y écrivant + d ; et l'on aura:

Ainsi , pour faire passer un terme d'un membre dans un autre ii faut changer son signe.

Remarque. Cette faculté de faire passer un terme d'un membre dans un autre, permet de réduire entre eux les termes semblables qui se trouvent dans les deux membres. Ainsi l'égalité

3a'— 6a6+6'=2a , 4-2n&— 156' peut s'écrire 3a 1 — 6a6 + 6' — 2a*— 2a& + l56'=0 ou, plus simplement, a' —

Lorsqu'un même terme se trouve dans les deux membres avec le même signe , on peut le supprimer de part et d'autre ; car cela revient à retrancher une même quantité aux deux membres si ca terme est additif , ou à l'ajouter aux deux membres s'il est soustractif.

Ainsi l'égalité à t ^-4ab + P=b*--4ab+c' revient à à l =c* .

61. II. La troisième propriété, qui permet do multiplier les doux membres par une même quantité , sert à faire disparaître les denominateurs lorsqu'il y en a. Pour cela, on commence par réduire tous les termes de l'égalité, tant entiers que fractionnaires, au même dénominateur (88 , 83) ; il est alors permis de supprimer ce dénominateur, car cette suppression revient à multiplier tous les termes de l'égalité , et par conséquent les deux membres, par ce dénominateur même (88, Bem.).

Soit , par exemple , l'égalité

en réduisant tous les termes au môme dénominateur ae j On' a d'abord

rf|c^6*£ ae* acP ac ae ~ ac ' ae '

ttU PREMIÈRE PARTIE. — CHAP1TBK 111.

et, en supprimant le dénominateur commun, ce qui revient à multiplier tous les termes par ae , il vient o?o— b , c=ac ! -\-a& .

Ainsi, pour faire disparaître les dénominateurs d'une égalité, il suffit de réduire tous les termes au môme dénominateur, et de supprimer ensuite le dénominateur commun.

62. III. la quatrième propriété , qui permet de diviser les deus membres par une même quantité , sert a supprimer les facteurs communs aux deux membres , quand il s'en trouve. Celte suppression simplifie les calculs. Soit pour exemple l'égalité

4a,'— Bà'b+4ab , =6a , b— Qb* , si l'on met en évidence (44), dans chaque membre , les facteurs communs à tous les termes , il vient

4a (a 1 — 2a6 + ô 1 ) = 6 b (à 1 — V) ou 4a(a— ô)'=6i(o +&)(«— b)

Sous cette forme, on voit que les deux membres sont divisibles par 2(a — b) . Effectuant celle division , il reste l'égalité plus simple.

2aia—b)=Sb(a+6) ou 2a* — 2a6=3o6 + 3È» . ' ,.

OS. Ces diverses transformations s'appliquent aux équations comme aux autres espèces d'égalités. On peut démontrer, de plus , que, sauf certaines restrictions que nous aurons soin de signaler, elles n'allèrent pas les valeurs de l'inconnue , c'est-à-dire celles qui, mises à la place de l'inconnue , rendent le premier membre égal au second(89, El).

Los équations qui , sous des formes différentes , sont néanmoins satisfaites par les mêmes valeurs de l'inconnue, sont dites équivalentes.

On peut d'abord , sans changer les valeurs de l'inconnue, ajouter vue même quantité aux deux membres. En effet, soit, par exemple, l'équation

ax'— bx=cx—d [I], ajoutant aux deux membres une même quantité m ; nous aurons

(<ke* — bx)-\-m=(cx — [2] , équation où nous avons à dessein enveloppé de parenthèses les membres de l'équation primitive. Il est clair que si une certaine valeur attribuée à x satisfait à l'équation [1], elle satisfera aussi à l'équation [2] ; car les quantités entre parenthèses étant égales de part et d'autre, puisqu'on suppose l'équation [1] satisfaite, ces