NOTIONS SUR LES ÉGALITÉS

quantités , augmentées chacune de m , sont encore égales. Réciproquement : si une certaine valeur mise pour x vérifie l'équation [2], elle vérifiera aussi l'équation [1]; car, pour que les deux membres de l'équation [i] deviennent égaux , comme ils ont une partie commune m , il faut que les parties non communes, mises entre parenthèses, deviennent égales elles-mêmes; or, ces quantités ne sont autre chose que les deux membres de l'équation [1] ; donc cette équation est vérifiée. Les deux équations [1] et [2] admettent donc exactement les mêmes valeurs ; ce qui démontre la proposition énoncée.

On démontrerait de la même manière que l'on peut, sans changer les valeurs de l'inconnue, retrancher une même quantité aux deux membres.

Il résulte de ces deux propriétés què l'on peut, sans changer les valeurs de l'inconnue, faire passer un tenue d'un membre dans un autre [en changeant son signe, comme il a été dit plus haut (60, 1)].

64. Onpeut , sans changer (en général) les valeurs de l'inconnue, multiplier les deux membres d'une équation par une même quantité.

Soit encore l'équation

ax* — bx—cx — d [11.

En multipliant les deux membres par une même quantité m , on obtient ,

(ax'—bx)m=(cx—dlm [2].

Si une certaine valeur mise pour x satisfait à l'équation [11, elle satisfera à l'équation [2] ; car les deux membres de l'équation [1] devenant égaux, il en est de même des facteurs entre parenthèses dans les deux membres de l'équation [2] ; et comme le second facteur m est le même de part et d'autre , les produits sont égaux; c'est-à-dire que l'équation [2] est vérifiée.

Réciproquement : si une certaine valeur mise pour x satisfait à l'équation [2], c'est que ses deux membres deviennent égaux; et comme ils ont le facteur commun m , il faut que les facteurs entre parenthèses deviennent égaux. Or ces facteurs ne sont autre chose que les deux membres de l'équation [1] ; donc cette équation est vérifiée.

Les équations [1] et [2] sont donc satisfaites par les mêmes valeurs de x , ce qui démontre la proposition énoncée.

Remarques. I. Cette démonstration suppose essentiellement que le facteur m introduit n'est pas nul ; et il faut admettre par conséquent qu'il ne contient pas l'inconnue x . S'il la contenait, il serait possible de trouver une valeur de x qui annulât le fac-

P KLM 11. ML PARTIE, — CHÀMtBB 111.

leur m ; cette valeur annulant par suite les deux membres de l'équation [2], cette équation se trouverait satisfaite; tandis qu'il arriverait en général que l'équation [1] ne le serait pas. Ces deux équations ne seraient pas alors équivalentes : Soit, par exemple, l'équation très-simple x + l = 4 ;

multiplions ces deu\ membres par x — 1 , il viendra

x>—l=ix—4 .

Cette équation est vérifiée par la valeur 1 , qui annule le facteur introduit x — 1 ; tandis qu'il est facile de s'assurer que cette même valeur I ne satisfait pas à l'équation primitive.

iïl. Il y a cependant une exception à cette exception ; c'est-à-dire que la proposition générale subsiste lorsque le facteur par lequel on multiplie les deux membres d'une équation est le dénominateur commun a tous ses termes, qu'il contienne ou non l'inconnue.

Cela tient à ce que la suppression du dénominateur commun , bien qu'elle soit équivalente à une multiplication (iiiî et 61), n'introduit pas réellement de facteur dans l'équation résultante, si l'on a pris le plus petit dénominateur commun, comme il est facile de le faire dans les cas qui préscnlcnt ordinairement. Mais de plus amples détails sur ce sujet seraient ici hors de propos.

Il résulte de la proposition précédente et de la dernière remarque que l'on peut , sans ckanyer 1rs valeurs de l'inconnue, faire disparaître les dénominateurs d'une équation.

63. On démontrerait exactement de la même manière que l'on peut, sans changer les valeurs de l'inconnue, diviser les deux membres d'une équation par une même quantité; et, par conséquent, supprimer les ftictntrs rtimmuns mu: deun: membres.

Il faut cependant faire ici la même restriction que ci-dessus , et supposer que le l'acteur supprimé n'est pas nul , et qu'il ne contient pas l'inconnue. S'il la contenait , on pourrait trouver une valeur de l'inconnue qui annulât ee facteur et satisfit par suite à l'équation primitive , sans satisfaire pour cela à l'équation résultant de la suppression du facteur. C'est ainsi que l'équation :

x*—\=4x~4 dans laquelle ces deux membres sont divisibles par x — 1 , est satisfaite par la valeur 1 qui , mise pour x , annule ce facteur commun et par suite les deux membres ; tandis que cette même valeur 1 ne satisfait pas à l'équation fl!-f-l='4

qu'on obtient en supprimant le facteur x—l .

ÉQUATIONS KT PJtOBLiiMLS DU PKLMlliK DLGBË. 47

68. Les équations à une seule inconnue se distinguent les unes des autres par leur degré; on nomme degré d'une équation, le plus haut exposant de l'inconnue lorsqu'on a fait disparaître les dénominateurs., effectué les calculs indiqués, et opéré la réduction des termes semblables (60).

L'équation 3a; + 1=4— 2a> est du premier degré, parce que le plus haut exposant de x est l'unité.

L'équation ax*— bx = cx — d est du second degré, parce que le plus haut exposant de te est 2 .

L'équation ax t -\-bx i = c est du quatrième degré, parce que le plus haut exposant de x est à . Et ainsi de suite.

L'équation (x — a)'— a? = &■ <

qui parait du second degré uu premier abord , n'est réellement que du premier, parce que, lorsqu'on a développé (x — a)' et fait ia réduction des ternies semblables , il reste : — 2ax = P .

L'équation ax + ~ = c

au cou traire, 'dans laquelle x n'entre qu'à la première puissance , est réellement du second degré , parce que , lorsqu'on a fait disparaître les dénominateurs, elle devient:

aa?-\-b=ox où x entre avec l'exposant 2 .

Nous ne nous occuperons d'abord que des équations du premier degré.

On distingue encore les équations en équations numériques et en équations littérales, suivant que les quantité* données qui y entrent sont exprimées par des nombres ou représentées par des lettres.

S 11. De la résolution des Équations du premier degré à une seule inconnue.

67. Résoudre une équation , c'est déterminer les valeurs qui , mises à la place de l'inconnue, rendent le premier membre égal au second, et changeai par conséquent l'équation en identité.

Pour résoudre une équation, on cherche à la transformer en une équation équivalente (63) , dans laquelle l'inconnue soit seule et à ia première puissance dans un membre, l'autre membre ne contenant que des quantités connues. Si, par exemple, en opérant de cette manière, on arrive à une équation telle que x=4 , comme cette équationestôvidemmentsatisfaitequandonyremplace x par 4 , il s'ensuit que le nombre 4 est une valeur de l'inconnue, puisque celte valeur satisfait à l'équation proposée qui, par hypothèse, est équivalente à x = 4 .

Si, de même, on parvient à une équation telle que x=a — b , il s'ensuit que a — b est la valeur de l'inconnue.

Pour résoudre une équation quelconque du premier degré à une seule inconnue, on suit une marche uniforme que l'on peut résumer de celte manière :

1° Faire disparaître les dénominateurs (81).

2° Effectuer tes multiplications indiquées, s'il y en a.

3" Faire passer dans un même membre tous les termes qui contiennent l'inconnue, et dans l'autre membre tous les termes qui en sont indépendants (60).

i° Opérer la réduction des termes semblables (88).

Il convient de choisir le membre où l'on réunit les termes aftectés de l'inconnue, de manière que, si les facteurs qui multiplient l'inconnue sont numériques, l'ensemble des termes positifs l'emporte sur l'ensemble des termes négatifs, et que, si ces facteurs sont littéraux , il y ait au moins un terme positif; ce qui sera toujours possible.

5° Mettre l'inconnue en facteur commun (44) dans le membre où elle se trouve {s'il y a plusieurs termes affectés de l'inconnue qui n'aient pu se réduire).

6° Diviser les deux membres par la quantité qui multiplie l'inconnue (65).

Do cette manière , on aura passé par une suite d'équations équivalentes (03), dont la dernière présentera l'inconnue seule dans un membre et des quantités connues dans l'autre ; c'est-à-dire que l'on aura obtenu la valeur de l'inconnue.

Soit pour premier exemple l'équation numérique : îx-rl 3 = aH-3

Faisant disparaître les dénominateurs, nous aurons

Effectuons les multiplications, l'équation deviendra

Faisons passer dans le premier membre tous les termes en' x , et dans le second tous les termes indépendants de x , il viendra

16»— 5» = 15 + 8 + 120 ; ou, en faisant la réduction des termes semblables, 11» = 143 .

Divisons les deux membres par le nombre 1 1 qui multiplie x , nous aurons enfin

» = ^- , ou, en effectuant la division , x=l3 .

Equations et problèmes du premier degré. 49 On peut vérifier, en effet, que si dans l'équation proposée on net 13 à-la place de x , chacun des deux membres se réduit i 2 ; en sorte que l'équation est satisûùte.

Soit pour second exemple l'équation littérale . 2 a +.8

4- 8 fi) (a - b)^(x -2a){a + 6) .4- 5 (« 4- fi) [a - I,} , ou, en- effectuant les multiplications indiquées,

2flx4-8a&— Sbx— 8P=o*~ 2a 1 +6r — ûub+'>ef — ob* . Faisons passer (fans le premier membre tous les termes affecté* de x , et dans le secondions les ternies indépejulantsde z , il viendra ■

Vax— îbx — tùc.— t>j ; = — 2a : — 2(tfi+5o , ~ 56 s — 8afi-f 8fi> , ou , en opérant la réduction des termes semblables ,

ax — 3ô3- = 3n J — lOah + Sf .

Mettons x en évidence dans le premier membre, l'équation prendra la forme

(a — 36)j: = 3a'~10afi-f 36" .

Divisonsenfinlesdeuxmembresparlaquantité a — 3* quimultiplie x , nous obtiendrons

ou , en effectuant la division indiquée ,

La valeur de l'inconnue est donc 3a — b ; et, en effet, il est facile de vérifier que si l'on remplace x par cette valeur, les deux membres de l'équation proposée se réduisent tous deux à 6 .

Exemples. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants :

— (d'où x=7] ; (d'où x = 3a — 26) .

6». Remarques. 1. La valeur obtenue satisfait, toigours à l'équation proposée ; car elle satisfait évidemment à la dernière équation . qui est équivalente a la proposée.

H. Une équation du premier degré à une seule inconnue n'admet pour cette inconnue <pi' une seule valeur; car, pour qu'une valeur sa-

tisfaase à l'équation proposée, il faut qu'elle satisfasse à la dernière équation obtenue , qui lui est équivalente ; il faut donc qu'elle soit égale nu second membre de cette dernière équation.

Par exemple, dans l'exemple numérique ci-dessus, on arrive à #=13 ; pour qu'une valeur, mise à la place du x .satisfasse à la proposée, il faut qu'elle satisfasse à x=z\Z ; il faut donc qu'elle soit égale à 13 .

III. L'habitude du calcul permet souvent d'exécuter en même temps plusieurs des opérations que nous avons détaillées. Ainsi, en faisant disparaître les dénominateurs, on peut eu même temps effectuer les multiplications. Ainsi, encore, en faisant passer tes termes d'un membre dans un autre, on peut en même temps effectuer la réduction des termes semblables.

IV. Si, psir suite (in choix qu'on aurait fait pour le membre dans lequel on fait passer les termes allée! es de l'inconnue, il arrivait qu'après la réduction des tenues semblables, tous les termes affectés 'le l'inconnue fussent négatifs, on pourrait changer les signes de tous les termes, ce qui ne troublerait pas l'équation; car ce changement revient a faire changer de membre à tous les termes, et à intervertir ensuite l'ordre des deux membres , ce qui est évidemment permis.

69. Reuaiioues sur les inéoalitbs. Lorsqu'on veut exprimer qu'une quantité doit être plus petite ou plus grande qu'une autre, on a vu (14) qu'il suffit de les écrire a la suite l'une de l'autre en les séparant par le signe < dans le premier cas, ou par le signe > . dans le second. Une pareille expression est ce qu'on nomme une inëgaiilë. Ainsi

sont des inégalités.

On peut évidemment leur faire subir les mêmes transformations qu'aux égalités , puisque ces transformations ne troublent pas l'inégalité. Toutefois, il ne serait pas permis d'intervertir l'ordre des deux membres; il faudrait dans ce tas renverser le signe de l'inégalité. On ne pourrait pas non plus changer 1rs signes de tous les termes, sans renverser le sens de riiit'^aliié . puisque ce changement de signes revient à transposer les deux membres.

On a quelquefois besoin de transformer une inégalité en une autre dans laquelle une certaine quantité se trouve isolée dans l'un des deux membres , et précédée du signe + ! cette transformation a pour but de déduire de l'inégalité une limite pour la quantité dont il s'agit. C'est ce qu'on appelle, par extension, résoudre l'inégalité par rapport à la quantité considérée, ilette résolution

ËQITATIOHS CI PROBLEMES DL rRBHlEH DEGRÉ. 51

s'opère d'après les mêmes règles que pour les équations , sauf les restrictions énoncées plus haul.

Ainsi de # + 5>i2 on tire a;>13— 5 ou z>7 .

De a ^ x <C 6 on tire successivement

2« — 2x<3ù— 3x , puis 3x— 2x<36— 2o ; puis enfin, \c<3È — 2a.

On traiterait de même toutes les inégalités qui sont du premier degré par rapport à la quantité considérée, c'est-a-dire qui, après la suppression des dénominateurs, ne contiennent cette quantité qu'à la première puissance.

S 111. Problèmes qui conduisent à une équation du premier degré

a une seule Inconnue. . . ' .

70. La résolution d'un problème d'Algèbre se compose nécessairement dé deux parties. Dans la première on cherche à exprimer les flitti-w* qu- 1 1 ■ > >i Mi- ■ i — <••■•■ liiiu- .. ■. i d.ninw* qui conduit toujours à un certain nombre d'équations, si le problème est réellement <lu ressort île l'M^èbi e. VI, ms la seconde on cherche à déduire de ces équations les valeurs îles inconnues.

L'Algèbre donne des règles certaines pour la résolution des équations; quant il la première partie , qu'on appelle la mise en équations, élle ne saurait être astreinte à des lois aussi certaines, vu l'immense- variété des problèmes qu'on peut avoir à résoudre. D existe cependant une sorte de marche à suivre qu'on peut formuler de cotte manière : Indiquer sur les lettres qui représentent les inconnues et sur les données numériques ou littérales les opérations QUE L'ON EFFECTUERAIT , après avoir trouvé les valeurs des inconnues, on se proposai' <khs rri ijirr. L'usage que nous ferons de cette rèjde eu fera comprendre l'esprit et la portée.

Nous ne nous occuperons dans ce paragraphe que des problèmes qui conduisent à une seule équation du premier degré à une seule inconnue. .

71. Premier problème. Vnpèrea 37 ans, spttjils en a 12 ; on demande dans combien d'années l'âge du père sera le double dt celui du fils.

Désignons par ■ a; le nombre d'années cherché. Si ce nombre d'années était connu , et que l'on voulût le vérifier, on dirait :

Lepèreajant 37 ans , dans x années il en aura 37-j-a: ; à la même époque , lefilsenaura 12 -|~ a: ; d'après l'énoncé, le

52 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE ni.

double de cet fige, c'est-à-dire (12-f-a:)X2 doit valoir l'âge du père; on doit donc avoir l'égalité

f!8 + a;)XS=87+aT.

On a ainsi obtenu l'équation du problème. En la résolvant (68), on trouve

Et, en effet, dans 13 ans, le tils aura 12-f- 13 ou 25 uns; le père en aura 37+13 ou 50 , qui est bien ledoublede 25.

72. Deuxième problème. On a 60 hectolitres de blé à 30 fr. l'hectolitre; combien fattt-il y joindre dr b/r à 22jr. pour faire tin mélange valant 25 fr. /'hectolitre?

Désignons par x le nombre d'hectolitres cherché, et opérons comme si nous voulions vérifier ce nombre. Le prix dus 60hectolilresà 30fr. est 30 r X60 ou ISOOfr. ;leprixdes x hectolitres à 22 fr. est 22' Xj- ou 22,r ; le prix total est donc 1800 + 22 j\ Pour avoir le prix d'un hectolitre du mélange, il faut diviser ic prix total par le nombre total d'hectolitres, qui est 60 -J- x . Mais , d'après l'énoncé , ce prix doit être de 25 fr. ; on a donc l'égalité

c'est l'équation du problème^ En la résolvant , on Irouve a: =100 . Il faut donc prendre 100 hectolitres à 22 fr.

Le même problème , traité généralement , donnera une formule pour résoudre toutes les questions analogues. Soient n le nombre d'hectolitres donné , à a francs l'hectolitre , * le nombre d'hectolitres cherché à b francs l'hectolitre , soit enfin c le prix- d'un hectolitre du mélange. Le pris total du blé sera no+fa; et le nombre total d'hectolitres n + x ; on aura donc ™+bx

d'où Fan tire x ~~^ZTp •

c'est-à-dire qu'il faut multiplier le nombre n d'hectolitres donnés par la différence, a— c , entre le prix supérieur et le prix moyen , et diviser le produit par la différence , c — b , entre le prix moyen et le prix inférieur.

Si, par exemple, on suppose -» = 40 ; <i = 24 , 6=19 ; c = 2I , on trouvera

Equations et problèmes du premier degré. 53 75. Troisième problème. Une paysanne, chargée de vendre des œufs au marché, vend à une première personne lu moitié de ses œufsplus la moitié (tun œuf; à une seconde personne la moitié de ee qui lui reste plus la moitié d'un œuf; enfin , à -une troisième la moitié de ce qui lui reste de la seconde vente, plus la moitié d'un œuf. Après ' cette troisième vente , il lui reste 7 œufs ; combien en avait-elle en arrivant au marché?

Soit x le nombre d'oeufs qu'avait lu marchande en arrivant. Elle vend à une première personne un nombre d'œufs marqué par ; il lui en reste donc après cette première vente

x — ~ — i ou ^ — | . Ellevendàunesecondepersonneïamoitié

de ce qui lui reste, c'est-à-dire j — j , plus- la moitié d'un cent,

ou j — \^~\ , ou encore ; il lui en reste donc

Elle vend à une troisième personne la moitié de ce qu'il lui reste de celte seconde vente , c'est-à-dire ~— | , pluslamoitiéd'unœuf, ou ^ — , ou encore ; il lui reste donc

ï"~4 8~8 0U 8~8 ■ Mais , d'après l'énoncé , ce reste doit être égal à 7 ; on a donc l'égalité

c'est l'équation du problème. En la résolvant, on trouve #—63 .

En effet , à la première personne , la paysanne vend la moitié de 63 plus la moitié de 1 , ce qui est la même chose que la moitié do 64 -, c'est-à-dire 32 ; et il en reste par conséquent" 31 . A la seconde personne, elle vend la moitié de 31 plus la moitié de 1 , ce qui est la même chose que la moitié de 32 , c'est-àdire 16 , et il en reste par conséquent 15 . k la troisième personne, elle vend la moitié de J5 , plus la moitié de I , ce qui est la même chose que la moitié de 10 , c'est-à-dire 8 ; et il en reste bien 7 , comme l'exige l'énoncé.