Quatrième problème. Un ouvrier peut faire un certain ou

vrageea l&heures de travail; un second ouvrier ferait le même ouvrage en 24 heures de travail; un troisième le ferait en 36 heures , On demande combien d'heures les trois ouvriers travaillant ensemble emploi/trou t a faire ce même ouvrage.

Soit x le nombre d'heures cherché. Le premier ouvrier Taisant l'ouvrage proposé en 18 heures , fera en 1 heure ^ de cet ouvrage. En x heures il en fera donc une fraction marquée par j| . Par une raison analogue , le second ouvrier, en x heures ,

fera ^ de l'ouvrage proposé ; et le troisième ouvrier en fera

^ . Or, la somme de ces fractions de l'ouvrage doit faire l'ouvrage entier, qui est pria ici pour unité; on doit donc avoir

18^24^36 z(4+3+2) , ,, , 72 „ ou 78 1 doù X= ~$ =S ■

Les trois ouvriers emploieront donc 8 heures .

On voit, en effet, qu'en 8 heures , le premier ouvrier fera les ~ ou les | de la tâche ; le second en fera les ^ ou le tiers ,

qui revient à ^ ;■ le troisième en fera les ^ ouïes | . Or, la

9 + 9+9 falt 9 00 c'est-à-dire la tâche tout entière.

On obtient facilement une formule générale pour résoudre les problèmes analogues. Soient a , b , r, lesnombresd'heures employées par chaque ouvrier pour faire la lâche à lui seul; en raisonnant comme ci-dessus , on arrivera facilement à l'équation :

qui donne x= , ; — , , - .

n ■ ab-\-ac-\-be

78. Cinquième raoïti.ïMf:. Plusieurs prrsiiitius puisent dans un vase contenant du vin : La première y prend 1 litre , plus le quart de ce qui reste; la seconde vient ensuite prendre 2 litres , plus le quart de ce qui reste (après avoir pris ces 1 litres ) ; la troisième vient ensuite prendre 3 litres , plus te quart de ce qui reste (après avoir pris ces 3 titres ) , et ainsi de suite. Il se trouve alors que le vin a été également partagé entre toutes les personnes.

ÉQUATIONS ET PHOBI.ilMES DU PREMIER DEGRÉ. 55

On demande la quantité de vin contenue dam le vote, le nombre des

personnes et la part de chacune d'elles. ,

Il n'y a réellement qu'une inconnue dans ce problème, bien qu'il semble y en avoir trois , les tiens antres se déduisant immédiatement <le la première. Soit doue x- le nombre de litres île vin contenu dans le vase. La part de la première personne sera , . x— 1 x + 3: ... , # + 3 3-r— 3

»+— ou -f- iet.lrestera x ^ o„ .

Lorsque la seconde personne aura pris 2 litres, il restera — ^— - — 2

ou 4 11 ; la part de cette seconde personne sera donc

les parts devant être égales, on a immédiatement l'équation du problème en égalant la première part et la seconde, ce qui donne

ar+3 3x4-21 ■ . . ,'J , • . „.

d'où x = 9 .

Le vase contenait donc 9 litres de vin.

Substituant cette valeur dans la première part, on la trouve égale à ou 3 litres ; el puisqu'elles sont toutes égales, le.

nombre des personnes est le quotient de 9 par 3 , ou 3.

Ou voit que l'ëuali'e <!es trois parts est uik' roiisi-qucncc de lY'giLlité des deux premières, et par conséquent l'énoncé du problème Contient plus (le conditions qu'il n'est nécessaire. Il est facile d'ailleurs dc'vérifier que ces conditions sont remplies. " . - ■ ' .'

La première personne prend 1 litre , il en reste 8 ; le quart de ce reste est i ; la part île la pivmirVc porfdime est donc 1+2 ou 3 . Il reste alors 6 litres dans le vase. La second^ personne en prend 2 ; il en reste A ; le quart de ce reste est 1 ; la part de !a seconde personne estdonc 2 + 1 ou 3 . Il reste alors 3 litres dans le vase. La troisième personne prenant ces 3 litres , plus le quart de ce qui reste , ou zéro , la part dé celle troisième personne est égale il 3 comme celle de chacune des deux autres.

76. Il n'est pas sans intérêt de traiter le même problème d'une manière générale, en supposant qu'au'Iieu de'prendre chaque fois le quart de ce qui reste dans le vase, on en prenne une fraction

marquée p^r î .

56 PRliHIÈHE PARTIE. — CHAPITRE III.

Dans cette hypothèse , la part de la première personne est 1+ — oii r * . Il reste dans lé vase x — — î

ou — — - — *il r seconde personne prenant 2 litres sur ce reste, il reste alors dans le vase

. nx-x—n+l nx~x—

La part de lu seconde personne

ou 2 -j ; 1 — ou encore — '■ — ! — .

Égalant les deux premières parts, on obtient l'équation z + n-l nx—x+în<-37 l + l

ou nas-f-tf— »— *»— œ+ï'rf— 3s-f J ,

d'où x = n t — 2n+\ ou j-=(b— 1)' .

Cette valeur de s , substituée dans l'expression de la première part, donne ponr In valeur de cette part

n*— 2» + l+Ji — 1 »■— « . ■ ■ ! , ou , ou enfin » — 1 .

Divisant la valeur de x par la valeur d'une part, ou (n — ()" par (n — l) , on obtient pour quotient le nombre des parts, qui est ji— 1 .

Il reste à vérifier l'égalité de toutes les parts. Or, d'abord , les deux premières sont égales, puisque c'est en écrivant cette égalité qu'on a obtenu l'équation du problème. Cela posé, pour démontrer l'égalité de toutes les autres nous emploierons un mode de démonstration dont on fait un fréquent usage en Algèbre. II consiste à faire voir que si la proposition a été vérifiée pour un certain nombre de paris, elle sera vraie encore pour la part suivante; et, en effet, . si cela étatl démontré, comme les Jsux premières parts sont égales, il en résulterait que la troisième est égale à chacune des deux, premières; les trois première? étant donc égales, il en résulterait que la quatrième est égale à chacune des trois premières, et ainsi de suite : donc il serait démontré que toutes les parts sont égaies.

Supposons donc que les p premières parts sont égales, etdéraontrons que lu part suivante, ou la (p + lf~ , est égale à une

quelconque des précédentes. Pour cela, remarquons que la première part ayant- pour valeur n — î , lasomme des p premières parts, est (n — i)p .Quand ces p premières parts ont été prises, il reste dans le vase («'— 1)'— (n — l)p . Or, la première personne prend 1 litre avant de prendre | de ce qui '

reste; la deuxième personne prend de même 2 litres , la troisième prend 3 litres , la p*~* prend donc p litres , et la (p-J-l)*"* prend p-f-1 litres. Il restera donc alors dans le vase („!)•(» — l)p(p-J-1) .

La part de la (p-\-iy~ personne sera.donc

p I 1 I ("-D'-ftt-Dff-fy+i) e ~ ~ r n '

ûa »(P + l) + (*-lf-(*-l)p-lP+ U

n ' ou, en effectuant les multiplications, et réduisant

np + n + n'— 2» + i — np+p — p — 1 m n'— n .

ou, enfin, n — 1.

La {p-\- If part est donc égale à la première. Donc, d'après les raisonnements faits plus haut, toutes les parts sont bien égales.

Nous avons insisté sur ce problème , parce qu'il offre un utile exemple de mise en équation et de bons exercices de calcul.

77. Le lecteur pourra s'exercer sur quelques-uns des problèmes dont les énoncés suivent:

I. Partager 24 en deux parties telles que le 5™ de la première, plus le 7™ de la seconde, fussent 4 . (Réponse : 10 et 1-1.)

II. Un enfant, interroge sur son âge, répond ; nDans l&ans mon âge sera le triple de ce qu'il était il y a 2 ans . •> On demande l'âge actuel de l'enfant, (Réponse : 11 ans . }

III. Une fontaine peut remplir un bassin en G heures , une autre peut le remplir en 8 lièvres , une troisième en 10 lieures . Lorsqu'elles coulent ensemble, pendant 2 heures , il s'en faut dp 26 hectolitres que le bassin ne soit rempli. Que/le est sa capacité Y (Réponse: 120 hectolitres .)

IV. l'ii'. personne ehuri/ubb: pn.iiaije 50 fr. entre 20 pauvres,parmi lesquels il y a un certain nombre d'hommes et de femmes, et un seul enfant ; elle donne 3 fr. à chaque homme,. 2 fr. à chaque femme, et 1 fr. à l'enfant. On demande combien il y- avait

f>fi PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE «I.

d'hommes,eteombienityaoaitdefeitmes. (Réponse: llhommes

et 8 femmes.) -

V. Un père laisse 10000 fr. à set quatre JUs, et ordonmpar testament que le premier aura 2 fois autant que le second, moins 2000/r. ; le second Sfois autantquele troisième, moins 3000/r. et le troisième 6 fais autant que le quatrième, moins 4000 fr . Quelles seront les parts des quatre fils? (Réponse : 4000 fr. , 3000 fr. , 2000 fr. et. 1000 fr.)

VI. Un rose contient un mélange d'eav et de vin. On en retire le quart et on le remplace par de l'eau; on retire ensuite le quart de ce nouveau mélange, et on le remplace également par de l'eau; enfin on retire le quart de ce troisième mélange, et on le remplace encore par de l'eau. Il arrive alors que k vase contient 3 fois plus d'eau que de vin. On demande dans quel rapport étaient Veau et le vin dans le mélantjc primitif. ( Réponse : comme 11 est à 16 0

S IV. Késohilimi li'im fiysUmif! île ilrnx l'ijimlinns iln premier degré I deux Inconnues.

7ii, Lorsque, dans un problème , il y a deux inconnues, .il faut que l'énoncé fournisse deux équations outre ces inconnues. Si , en effet, il n'eu fournissait qu'une, on pourrait attribuer à l'une des inconnues une valeur arbitraire ; ou n'aurait plus alorsqu'uoo équation ne contenant que la seconde inconnue pour laquelle on trouverait un nombre (imité de valeurs (une seule, par exemple , si l'équation était du premier degré par rapport à cette inconnue ) ; et, comme on pourrait répéter ce calcul pour toutes les valeurs arbitraires attribuées à la première inconnue , on voit qu'il y aurait, en général, un nombre illimité de systèmes de valeurs propres à vérifier l'équation. On dit , dans ce cas , que le problème est indéterminé.

Si, parexemple, on n'avait entre deux inconnues a' et y que l'équation unique "■ ".

on pourrait attribuer à y une valeur quelconque , la valeur cor- , respondante de x serait

ou la valeur attribuée à y , augmentée d'une unité. Il y aurait donc une infinité de solutions, et le problème serait indéterminé.

Nous supposerons donc dans ce paragraphe que l'énoncé du problème fournit deux équations du premier degré a deux inconnues.

79. Une équation à deux inconnues est dite du premier degré lorsqu'après y avoir fait disparaître les dénominateurs , les inconnues n'y entrent qu'à la première puissance, et n'y sont point multipliées entre elles. D'après cela : une équation du premier-degré à deux inconnues, ■ x et y , ne peut renfermer que tvois espèces do termes ; savoir : des ternies contenant x à la première puissance, des termes contenant y à cette même puissance, et des termes indépendants de a; etde . y .Concevons qu'après .avoir fuit disparaître les dénominateurs (01), on ait réuni dans un même membre tous les ternies qui contiennent les inconnues, et daus l'autre membre les termes qui en sont indépendants; puis, qu'après avoir opéré les réductions , on ait mis x en évidence parmi tous les termes qui le contiennent , et qu'on en ait fait autant pour y ; l'équation se présentera sous la forme

dans laquelle a , b et c peuvent Être des quantités numériques ou algébriques, monômes ou polynômes.

La quantité a senomme ordinairement le coefficient de x , et la quantité h se nomme If ein'flinertt de w .

Nous admettrons donc que le problème fournisse deux équations de cette forme. lU-soudre. ces équations c'est trouver les valeurs qu'il faut attribuer aux inconnues pour satisfaire a la lois aux deux équations. Pour y parvenir on remarque d'abord que , si l'une des deux équaLions proposées ne renfermait que l'une des deux inconnues , les valeurs des deux inconnues s'obtiendraient immédiatement. Soit, en effet, une équation à deux inconnues

5 #4- 2 y = 33 [1] et une équation à une seule iu connue, qu'on peut toujours supposer résolue ; par exemple

si l'on met pour x la valeur 5 dans l'équation [1], elle devient

d'où 2y =33— 65=8 et y = A.

Etcesvaleurs x^b , y~4 sont les seules qui puissent satisfaire aux équations proposées [i] et [2]; caria seconde exige que x soit égal à 5 ; et si x est égal à 5 . , l'équation [1] se change en l'équation [3], qui revient à y — A , et n'est satisfaite que quand on y met 4 à la place de y

On voit donc que si l'une des équations proposées ne contenait que l'une des inconnues , .r par exemple, cette équation donnerait immédiatement la valeur de r. ; et en substituant celte va-

fiO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE UL

leur à la place de t dans l'équation à deux inconnues, on en tirerait lu valeur correspondante de y ; et l'on aurait ainsi le système unique de valeurs de x etde y propre à satisfaire à la fois , aux deux équations.

Tout l'artifice de la résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, consiste donc à déduire de ce système d'équations un système de deux autres équations équivalentes (c'est-à-dire admettant les mêmes valeurs pour les inconnues), et telles que l'une d'elles ne contienne que l'une des deux inconnues. C'est ce que l'on appelle éliminer une inconnue. 11 y a pour cela plusieurs méthodes que nous allons exposer, en traitant d'abord des exemples particuliers.