Soient les deux équations
5./- +2 y =33 [1] 7x— 3y=23 g]; proposons-nous d'éliminer l'inconnue y . Observons pour cela qu'il est toujours permis d'ajouter ou de soustraire deux équations membre à membre ; car si deux quantités sont respectivement égales à deux autres quantités , la somme ou la différence des deux premières est évidemment égale à la somme ou à la différence des deux dernières. Or , si y avait le même coefficient dans les deux équations , on ferait disparaître cette inconnue en retranchant ces deux équations membre à membre ; et si y avait dans les deux équations des coefficients égaux et de signe contraire, on atteindrait le même but en ajoutant ces deux équations membre à membre.
Dans l'exemple qui nous occupe, y n'a pas le même coefficient dans les deux équations; mais il est facile de faire en sorte qu'il en soit ainsi : il suffit pour cela de multiplier tous les termes de la première équation par le coefficient 3 de j dans la seconde , et tous les termes de la seconde par le coefficient 2 de y dans la première , ce qui est permis (04).
On obtient ainsi les équations :
l&x + Qy=W [3] 14.r — 6y = 46 '[4].
et, en les ajoutant membre à membre, puisque y a maintenant, dans les deux équations, des coefficients égaux et de signe contraire, il vient
Î9z = ltë ',
d'où x — ^ ou x=6 Œl'
Nous sommes ainsi ramenés au cas du numéro précédent, et nous
avons vu que les valeurs qui satisfont aux équations [1] et [5] sont x = 5 ■ et y = 4 ,
De là cette règle :
Lorsqu'on a deux équations du premier degré à deux inconnues, pour éliminer l'une de ces inconnues, il fav.t multiplier tous les termes de la première équation par le coefficient de cette inconnue dans la seconde, et tous les fermes tic la seconde par le coefficient de cette même inconnue dans ta première. On soustrait alors , ou bien l'on ajoute , les deux et/ mitions membre à mruihri-, selon que l'inconnue à éliminer se trouve, avoir dans les deux équations des coefficients de même sit/ne mt de sir/ne contraire.
Bemarques. ï. Cette règle, qui a beaucoup d'analogie avec la réduction des fractions au même dénominateur, est aussi susceptible des moines simplifications; si lus coefficients du l'inconnue à éliminer avaient des facteurs communs, il suffirait de multiplier tous les termes de chaque équation par les facteurs non communs du coefficient de l'inconnue à éliminer dans l'autre.
II. Si l'inconnue à éliminer n'avait dans l'une des équations d'autre coefficient que l'unité , il suffirait- de multiplier tous les termes de cette équation par le -coefficient de cette inconnue dans l'autre; ce qui rentre au reste dans la règle générale.
81. Il faut démontrer maintenant que l'équation obtenue par cette élimination, jointe à l'une des équations proposées, forme un système équivalent à celui des deux proposées. .Mais ou peut démontrer plus généralement que, si l'on multiplie la première équation par une quantité quelconque m , la seconde par une quantité quelconque n , et qu'on les ajoute ou qu'on les retranche membre à membre, l'équation ainsi obtenue, jointe à l'une des deux proposées forme un système équivalent à celui des deux proposées.
Soient, en effet, les deux équations
ax-\-by = c [1],
«fe+*W M;
multiplions la première par m , et faisons passer tous les termes dans le premier membre; multiplions la seconde par n , et faisons de même passer tous les termes dans un même membre; nous obtiendrons ces deux équations
{ax+.by-c)m = Q [3], tfx+tfy — c')n = 0 [4], équivalentes aux deux premières (85, 64).
Retranchant membre à membre, on obtient
(ax+by — c)m~ tfx+1fy — c')n = 0 [5].
Il s'ugit (le démontrer, par exemple, que le système des équations [1] et [,V[. équivaut au système des équations [1] et [2].
Or, tout système de valeurs de x et de y, .qui satisfera aux équations [I] et. £2], annulera les premiers membres des équations [31 et [4], et par suite le premier membre de l'équation [5] qui en est la différence, ces videurs salisienin! dune a l'équation , et conviendront par conséquent au système [1] et [5],
Réciproquement : tout système de valeurs de j- et de y qui satisfera aux équations [I] et [ô], annulera les premiers membres des équations [3] et [jl , et par tuile, le premier membre de t'équation [4] qui en est la différence; ces valeurs satisferont donc à l'équation [2] qui est la même que [4], et conviendront par conséquent au système [1] et [2]. ■ , ,
Donc enlin le système [1] et [.">] équivaut au système [ I ] et [2] .
Tl en serait encore de même si, au lieu de soustraire membre à membre les équations [1] et [2], on les eût ajoutées.
Rkjuhouk. Si, en particulier, les valeurs de m et de n sont telles que ' y disparaisse de l'équation [5] , notre conclusion subsiste . et la légitimité de l'élimination eiléeluée plus haut se trouve démontrée.
liïï. Nous donnerons ici deux exemples du mode d'élimination exposé ci-dessus.
I. Soient d'abord tes deux équations numériques . -' '" 7x^9y = no ,
On remarque que les coefficients de ij ont le facteur commun 3 ,ét quo les facteurs nmirommunssont 3 et 2 ; multipliant donc tous les termes de la première équation par 2 et tous ceux de la seconde par 3 , il vient
Ux + lSy — zm
15*-fl8y=291 ; retranchant, membre à membre , la première de la seconde , puisque les coefficients de y ont le même signe , on obtient
Cette valeur , mise pour x dans la première équation , donne
77 + Oy — 140 d'où 9y=63 et y = 7.
■ 11 . Soient maintenant les deux équations littérales :
bx-\-oy = a'-\-b' .
ÉQUATIONS ET PHOBLÈUES DU PltEMIfcB DEGEÊ. 83
Multiplions' tous lés termes de la premiers par a , et tous ceux de la seconde par 6 , nous aurons
a'x — ttÙr/ = o 1 + aÈ 1
b>x + aby=<tb+b: ■■ Ajoutons membre à. membre; puisque les coellicienis de y ont des signes contraires , il viendra
tâx + b'x = « 5 + a'b -f- ai' + 6 1 ou (lï'-t-^.B^tf+^.-hsé'+é*
„; où „„ «.+:».
Cette valeur, mise pour x dans la première équation , donne n'+qù — by = a'+!>> , d'oit by=ab — U' ,.
■ ab—V
puis y= __ ou y=n— 6
111. Le lecteur pourra s'exercer sur les deux exemples suivants : 12*— 5j = 6 d'où *=c=| .
. (2o4-6)a:— (2a™ fi)y=8n* ' d'où ar=2o+A
85. Nous avons uxpoàé in proutîùnj la imitlmdé d'élimination qui offre dans la pratique le plus de commodité. On lui donne ordinairement le nom de méthode par rédaction (au même coeiïïcient ). Mais l'élimination peut s'opérer de plusieurs autres manières.
