I. Soient les deux équations traitées plus haut

5ir+ay=33 .. [I],

Supposons, pour un instant , que la valeur de x ait été déterminée par un procédé quelconque; en ia mettant pour x dans l'une des deux équations proposées, dans la première, par exemple, on en tirerait la valeur correspondante de y . Or, si l'on lire de la première équation la valeur de y , en y regardant x comme connu , on obtient : , - . .

Cettevaleurjoinvaàlavaiourqu'onsûpposeavoirti'ouvéepour * ,

6Û PREMIERE PAliTIE. — CHAPITRE lit.

doit satisfaire à la seconde équation proposée. SI donc on met dans l'équation [2], à la place de y la valeur [3], J'égalité

à laquelle on parvient, sera une condition à laquelle la valeur de x devra satisfaire. Cette condition, traitée comme une équation où l'inconnue est x , donnera donc la valeur de x . En la résolvant, on trouve .i:=5 , comme on l'a trouvé par une autre méthode ; et i^tte valeur, mise pour x dans l'équation [3] donne de ■même y = 4 '..

.On voit que cette méthode consiste à prendre la valeur de l'une dos inconnues dans l'une des deux équations , en y regardant l'autre inconnue comme déterminée, et a substituer cette valeur dans la seconde équation, qui ne contient plus alors qu'une seule inconnue. ' En conséquence on a donné à cette méthode le nom de méthode par substitution.

Elle a, dans la pratique, l'inconvénient d'introduire des dénominateurs qu'il faut ensuite faire disparaître. Mais elle offre l'avantage de pouvoir être généralisée , cl appliquée , comme on le verra , à des équations de degré quelconque . toutes les fois que l'une de ces équations peut se résoudre par rapport ù l'une des inconnues.

84. II. Reprenons encore les équations [1] et [2] du numéro précédent. Nous avons vu que , si l'on y regarde x comme déterminé, et qu'on tire de la première la valeur de y , on obtient

y 33— jj-

Si l'on tire de même de la seconde la valeur de y , on obtient

Or, ces deux valeurs de y doivent être égales, puisque les mêmes valeurs de x et de y doivent satisfaire à la fois aux deux équations; en les égalant, on aura donc une condition à laquelle la valeur de x devra satisfaire. Cette condition

traitée comme une équation où l'inconnue est x donne encore x = ô ; et cette valeur mise pour x dans l^inc quelconque des deux valeurs de y ci-dessus , donne y = 4 .

Cette méthode est connue sous le nom de méthode par comparai-

ÉQUATIONS BT PIlOltLÈMES DU PBBMTEB DÏGHÉ. 65

son. Elle a, comme la précédente, l'inconvénient d'introduire des dénominateurs.

83. (II. Enfin, reprenons une dernière fois les équations [1] et [2] du n° 85. Si l'on multiplie la première par une quantité indéterminée m , et qu'on les ajoute membre à membre, on obtient 5ffl.T + 7a- + 2wy— 3y = 33t» + 23 [5].

On a démontré au n° Ul que l'équation ainsi obtenue, combinée avec l'une quelconque des deux proposées, forme un système d'équations équivalentes aux proposées. Or, la quantité m étant quelconque, on peut en disposer de manière à taire disparaître de l'équation [ft] tous les termes en y . Pour cela, il suffît de poser

2ra=3, d'où m = ~ . Celte .valeur, mise pour m dans l'équation (S), la réduit à

d'où l'on tire encore x=6 ; et par suite y = 4 .

Siiescoefflcientsde y dans les deux équations proposées avaient eu le même signe, il eût fallu soustraire les équations an lieu de les ajouter.

Cette méthode, qu'on désigne sous le nom de méthode des coefficients indéterminés , offre , comme les doux précédentes , l'inconvénient des dénominateurs. Mais nous verrons bientôt qu'on peut s'en servir de manière à tirer à volonté d'une seule et même équation (l'analogue de l'équation [.']]), soit la valeur de x , soit la valeur de y . Elle se rattache d'ailleurs à l'une des méthodes les plus générales et les plus fécondes de l'Algèbre. Nous y reviendrons incessamment ; il nous suffit ici de l'avoir signalée.

Remarque. Les trois dernières méthodes que nous venons de faire connaître reviennent au fond à la première , comme il serait àiséde s'en convaincre; mais la méthode par réduction est plus simple, plirs rommctlr et p/us èléijante.

88. Remarques sur lis inégalités. Une question fournit quelquefois deux conditions exprimées par deux inégalités, dans lesquelles entrent deux quantités pour lesquelles on veut obtenir des limites; c'est ce qu'on appelle résoudre ces deux inégalités. On peut, en général, employer h net effet la méthode par rédiif.lion; mais il faut bien remarquer: l'qu'on ne pe ut ajouter deux inégalités membre «membre qu'autant que les signes d'inégalité sont dans le même sens. Ainsi de <i>6 et e>rf on peut déduire a + c> b + d :

68 PEEM1ÈBE PABTIE- — III. *

mais on oc pourrait savoir si a-—c est plus grand ou plus petit que b — d .

■ 2° Qu'on ne peut soustraire deux inégalités' membre à membre qu'autant que les signes d'inégalité sont de sens contraire : ainsi de

7>5 et 2<3 on peut déduire 7— 2>5— 3 en retranchant l'inégalité avec le signe < de l'inégalité avec le signe > , et en mettant le signe > dans l'inégalité résultante. Mais on ne pourrait rien conclure, en général, pour leur somme.

La résolution de deux inégalités du premier degré ne sera donc pas toujours possible.

Si l'on a, par exemple, les deux inégalités

4x — 3y>ll .et 7y— 2a;>3 , on en tirera par multiplication et addition , comme pour des équations,

x >jî et y>ïï >

mais si l'on avait les inégalités

4x + 3y>U et 7y — 2j;>3 , on en tirerait bien y>j^ ,parceque x s'élimine par addition ;

mais on ne pourrait pas en déduire une limite pour x , parce qu'il faudrait soustraire pour éliminer y .

Si l'on avait au contraire les inégalités

4» + 3y>ll et 7y—2x<& , on en tirerait bien , parce que y s'élimine en retran-

chant la seconde inégalité de la première ; mais on ne pourrait pas en tirer une limite pour y , parce qu'il faudrait additionner pour éliminer x .

5 V. Problèmes qui coaduiscnl a deux équations du premier degré

Parmi les problèmes qui présentent plusieurs inconnues , il n grand nombre qu'on peut résoudre en n'employant qu'une

Prenons pour exemple ce problème : Partager 15 en deux parties telles que la première surpasse d'une unité les ■= de la seconde.

ÉQUATIONS ET PHOKLËMES OU i'KtMIEB DEGRÉ. 67

Si l'on appelle x la première partie, la seconde sera 15 — x , et l'énoncé du problème fournit immédiatement l'équation "*

d'où l'on tire x = 0 . Les deux parties sont donc 9 et ft ; et, en effet, 9 surpasse d'une unité le nombre S qui est les

Mais lorsqu'on traite ainsi, à l'aide d'une seule inconnue, un problème qui en comporte plusieurs, c'est qu'on opère mentalement une véritable élimination. Dans le problème qui précède, par exemple, si l'on désigne par. as la première partie et par y la seconde, on a les deux équations

et si l'on tire de la première la valeur de y, pour la substituer dans la seconde, c'est-à-dire si l'on élimine y entre les deux équations, on retombe sur l'équation [1]. C'est cette élimination de y qu'on a opérée mentalement quand on a traité le problème avec la seule inconnue, x .

Ces éliminations tarilcs, ijiii abrègent évidemment le calcul écrit, compliquent en revanche les opérations moniales que nécessite la mise en équation du problème ; en sorte que , hors des cas trèssimples, comme celui qui précède , ou ceux des problèmes I , IV, V, proposés au n° 77, on perd plus qu'on ne gagne à diminuer le nombre des inconnues. C'est même, comme exercice d'intelligence seulement que nous avons proposé alors au lecteur le problème , du n° 77, que l'on traitera plus aisément avec deux inconnues, quoique leur rapport seul soit l'inconnue demandée..

Nous croyons donc devoir donner comme conseil général d'introduire dans le calcul toutes les inconnues que le problème comporte ; si, parmi les équations qui les lient il y en a de très-simples, comme l'équation as ~\- y= 15 de tout à l'heure , on opérera par écrit les éliminations très-simples qu'on eût opérées mentalement; voila toute la différence.

Nous ajouterons , par anticipation , que l'introduction de toutes les inconnues facilitera, en général, la discussion du problème; nous verrons , eu effet , qu'il se présente parfois des circonstances inexplicables en apparence, lorsque l'on a réduit mal à propos le nombre réel des inconnues.

68 'PHKMIfcBB PARTIE.,— CHAPITRE^ I1L

Quant il la mise en équation , elle est soumise a la seule règle générale que nous avons donnée au n° 70. Il ne" nous reste donc qu'à donner quelques exemples de problèmes conduisant à deux équations du premier degré à deux inconnues.

88. Premier problème. Deux espères de pièces de monnaie sorti telles : que 2 pièces de lu première, plm 5 pièces de la seconde font 13 fr. ; el que 18 pièce* de la seconde surpassent de 1 fr. béent, lavaleurde 6 pièces de la première. Quelle est la valeur, en francs et centimes, de chacune de ces deux espèces de pièces de monnaie?

Désignons par x la valeur d'une des pièces de la première espèce, et piir y la valeur d'une des pièces de la seconde. Nous aurons, d'après l'énoncé, les deux équations :

ix + *>j = \y ,

On éliminera * en multipliant la première équation par 5 , , la seconde par i et ajoutant; on trouve ainsi : 3«y+25y = 65 , +2',10 ,.

ou 61y = 67',10 , d'où y = l c ,10 .

Celte valeur, mise pour y dans la première équation , donne

2A-+5 f ,50=13 r . , d'où x = 3' l 75 .

Chaque pièce de la première espèce vaut donc 3',75 , et chaque pièce de la seconde espèce l',10

89. Deuxième problème. Trouver une fraction telle que si l'on ajoute une unité à chacun de ses termes, elle devienne égale à ^ ; et gue si l'on retranche au contraire une unité de chacun de ses termes, elle devienne égale à - .

-■Soient x le numérateur et y le dénominateur; l'énoncé fournit sur-le-champ les deux équations suivantes :

H- 1 -* et *Z±-i y + l~i ? y-l~3 '

pu . 3y — 4x=l et Zx — 2y=l ,

qui donnent x = 5 et y = 7 . La fraction demandée est donc

| . Si , en effet, on ajoute une unité à chacun de ses termes, elle

'devient g ou | ; et si l'on retranche au contraire une unité de

chacun de ses termes , elle devient i on | .

Equation» et problèmes du premier degré. 69 ttO. Troisième problème. Un nombre est composé de deux chiffre»; - dont la somme absolue est 14 ; et si on (e retourne} il augmente de 36 ; quel est ce nombre?

Soient x le chiffre des dizaines, et y cejui des unités;on aura d'abord

x+y=U [l] Maintenant, le nombre demandé a pour valeur îQx^y . , et le nombre retourné a pour valeur 10y-\-x .Or, d'après" l'énoncé, ce second nombre surpasse le premier de 36 , on a donc

I0y + x=\0x + ,j + m , ou 9y — 9#=36 ,

ou encore y — x — i [2]-

On connaît donc la somme et la différence des deux chiffres ; en vertu du théorème démontré au n° 3 , le plus grand , y , est égal à la moitié de leur somme plus îa moitié de leur différence, c'està-dire à 7 -f- 2 ou 9 ; et le plus petit, x , est égal à la moilié de leur somme moins la moitié dejeur différence , c'est-àdire à 7 — 2 oui 5 ; c'est ce qu'on verrait d'ailleurs en résolvant le système des équations [1] et [2].

Le nombre demandé est donc 59 ; en effet, la somme de ses chiffres est 14 ; et lorsqu'on le retourne, on obtient 95 qui surpasse 59 de 36.

91. Quatrième problème, r ne personne qui possède 60000 fr. , en a placé, vne partie à 4^ pour 100 , et l'autre à H^pour 100 ; ce qui lui fait un revenu de 2500 fr. On demande combien elle a placé au taux de 4£ , et combien au taux de 3£ .

Soient x et y les deux sommes placées; on aura d'abord x -fy = 60000' .

Maintenant, le capital x au taux de i h ou £ , donne un revenu annuel de ou . Le capital y , au laux

de 3£ ou l , donne un revenu annuel de ou .

La somme de ces revenus partiels doit taire le revenu total 2500 fr. ; on a donc pour seconde équation >

ou bien , 9x + 7y = 500000 fr.

Mettant pour y sa valeur 6000O 1 — x tirée de la première équation , et effectuant la multiplication par 7 , il vient

9x + 420000 - 7,r=5uO00O [ , d'où ;t = 400O0 f ,

par suite y =20000' .

En effet, 40000 fr. à 4 4 pour 100 rapportent 1800 fr. ; et 20000 fr. à 3 i pour 100 rapportent 700 fr. ; la somme de ces deux revenus fait bien 2500 fr .

92. Cinquième problème. Une montre marque midi; l'aiguille des minutes est alors sur celle des heures. On demande à quelle heure se fera la prochaine rencontre des deux aiguilles, et chacune des autres rencontres successives.

On sait que le tour du cadran est divisé en 60 parties , dont chacune répond à une minute pour la marche delà grande aiguille ; on sait de plus que la grande aiguille parcourt les 60 divisions en une heure , tandis que la petite aiguille n'en parcourt que 5 .

Cela posé, soit x le nombre des divisions parcourues par la grande aiguille, depuis midi jusqu'à la première rencontre; et soit y le nombre des divisions parcourues par la petite dans le même temps. On aura d'abord

d'où a; = 12y ' [I].

En second lieu, la grande aiguille prenant l'avance ne pourra rencontrer la petite qu'aprùs une révolution complète ; le nombre de divisions parcourues par la grande aiguille se composera donc de 60 , plus le nombre des divisions parcourues par la petite ; c'est-à-dire qu'on aura

De ces deux équations on tire très-facilement

La grande aiguille aura donc parcouru 1" 60 divisions , qui correspondent à une heure, 2° f{ de division, ou 5 divisions-^ , qui correspondent à & minutes et A ■ H sera donc

Quant à la deuxième rencontre , il est clair qu'elle se fera l'S™ J7 après la première, puisqu'à l'instant de la première rencontre les aiguilles se retrouvent l'une par rapport à l'autre comme elles étaient à midi. Usera donq ï^io-jf • . En ajoutant successi-

Equations et problèmes du premier degré. ïi vement i^Û-^- , od trouvera pour les heures des autres rencontres successives :

lu 1 54" ^ et enfin 12 11 ou minuit;

ce qui fait, en tout, 11 rencontres en 12heures .

93. SrliÈHE problème. Hiéron, roi de Syracuse , avait remis à un orfèvre 10 livres d'or pour faire une couronne qu'il voulait offrir à Jupiter. Le travail étant achevé , la couronne se trouva du poids de 10 livres ; mais le roi, soupçonnant que Porfévre avait allié de l'argent à l'or, consulta Archimède. Celui-ci, sachant que l'or perd dans l'eau les 52 millièmes desonpoids, et que l'argent y perd les ^millièmes desonpoids, détermina le poids de la couronne plongée dans l'eau , et trouva qu'il était de 9 livres 6 onces ; ce qui fit reconnaître la fraudé. On demande combien il y avait de litres de chaque métal dans la couronne.

Soient x le poids de l'or, et y le poids de l'argent contenus dans la couronne. On aura d'abord l'équation a; -f j, = 160

si l'on suppose les poids exprimés en onces.

Maintenant, puisque l'or perd dans l'eau les 52 millièmes de son poids , le poids x de l'or contenu dans la couronne perdrait

dans l'eau . Par une raison analogue , le poids y de l'ar-

gent contenu dans la couronne, perdrait . La sommo de

ces deux pertes doit faire la perte totale qu'a subie ditns l'eau le poids de la couronne, c'est-à-dire 10 onces ; puisque la couronne, qui pesé 10 livres dans l'air, ne pesé plus dans l'eau que 9 livres 6 onces . On a donc pour seconde équation :

1000^1000 • ou ffia-f-0§y = 10000 .

Mettant pour ;/ sa valeur 160 — x tirée delà première équation , il vient

ou 52^+15840 — 99;c=10000 ,

d'où 15840 — 10000 = 99^ — 52* ,

ou 5840 = ilx ,

d'où x = —^- d'once, ou 124 onces $ , ou enfin x' = 7 livres 12 onces $

Par suite y = 2 livres 3 onces .

04. On peut tirer d'un calcul analogue une formule générale pour obtenir les proportions d'un alliage, connaissant sa densité el celle des métaux qui le composent. En effet, soient d et d' les densités des méiaux alliés, i et y leurs poids , et d" la densité de l'alliage. Eu prenant pour unité le poids de

volume d'eau égal au sien. Ainsi g ■ J> ct j» représenteront respecUvemenl les poids de trois volumes égaux à ceux îles métaux alliés et à celui de l'alliage. Or, si l'on admet que les inélaiix ne changent pas de volume en s'alllanl , le volume île l'alliait' sera la s-amint- des vulumes des métaux alliés ; au devra donc avoir

De ces deux équations, ou Uns

Le rapport de ces deux valeurs est

11» , d' = î , d"= 16 , on trouvera

1x1 « i__inx9&ï .

c'eil-à-dire que les métaux alliés sont dansle t sur 64 uni lés de poids d'alliage, le premier second pour " de ces unités de poids.

I. Trouver un nombre tel qu'en te divisant par 5 on ait pour reste 2 ; qu'en le divisant pur 8 on ait pour reste 5 ;etque te quotient de la première division surpasse de 3 unités le quo-

ÉQUATIONS ET PROBLfcMES DU PREMIER DEGRE. 73

tient de la seconde. (Réponse : Les quotients sont 7 et 4 ; le nombre démandé est 37 ).

II. «. L'âne dit un jour au mulet : Si je prenais 50 kilogramme* de ta charge, la mienne deviendrait />■ duithlc d.e tu tienne. — Et moi, lui répondit le mulet , si je prenais-.. 50 kilogrammes delacliarge, la mienne deviendrait triple de la tienne. •-. On demande la charge de chacun. (Réponse : L'âne portait 110 kilogrammes et le mulet 130 kilogrammes .)

III. La dislance de Paris à Tours est de 225 kilomètres . Un convoi de wagons part de Paris pour Tours avec une vitesse de 25 kilomètres à l'heure; 1 heure 48 minutes après, un convoi part de Tours pour Paris avec une vitesse de 35 kilomètres à l'heure. On demande au bout de quel temps et à quelle distance de Paris les deux convois se croiseront. ( Réponse : Au bout de 3 heures à partir du second départ, et à 120 kilomètres de Paris.)

(V. Ih-n.i: joueurs cou fi-'init- :i I i/tte c-lui qui perdra la première partie doublent l'argent de son adversaire; que celui quiperdra la seconde triplera l'argent de son adversaire ; que celui qui perdra la troisième quadruplera l'argent de son adversaire; et ainsi de suite. Au bout de trois parties, la perte mjaiit <-tc a/lcrnative, ils se retirent chacun avec 48 francs . On demande ce qu'ils avaient en commençant le jeu. (Réponse : Le premier perdant avait 62 francs et son adversaire 34 francs .)

V. Deux vases contiennent à eux deux 11 litres d'eau. On prend la moitié de ce que contient le premier pour le verser dans le second; puis le tiers de ce que con tient alors le second pour le.verser dans le premier; puis le quart de ce. que contient alors le premier pour le verser do /is le second ; enfin un prend le cinquième de ce que contient alors le second pour le verser dans le premier. A cet in~ stant , le second vase se trouve contenir 1 litre d'eau deplusque le premier. On demande ce que chacun d'eux contenait primitivement. (Réponse : Le premier vase contenait 3 litres d'eau et le second 8 litres .)

VI. Si Ton augmente de 2 m la base d'un rectangle, et qu'on diminue sa hauteur de 3 m , sa surface diminue de. 48 m " 1 ; si Ton augmente au contraire sa buse de 3 m , et qu'on diminue sa hauteur de 2" , sa surface augmente de &"•< .Ondemàndela base et la hauteur, sachant que la surface se mesure en multipliant ces deux dimensions l'une par l'autre. (Réponse : la base a 30" 1 et la hauteur 24" .)

PRRM1ÈRK PARTIS. — CHAPITRE

S VI, Résolution d'un système de trois équations du premier degré n trois inconnues ; el en général d'un nombre quelconque d'équations du premier degré renfermant le même nombre d'inconnues.

9fi. Supposons d'abord qu'on ait à résoudre les trois équations 4x~7y+6z=i4 [1], 5a;+2y=33 [2], 7.v— 3y=23 [3], dont la première seule renferme les trois inconnues x , y , z , lesdeuxdemièrosnerenfûrmunLquelesdeuxmconnues x et y .

Les deux dernières équations pourront être remplacées par les valeurs

qu'on en tire (80, 81); et ces deux valeurs dans l'équation [1], lu réduisent à

20—14+63=24 ou 63=38—20=18 d'où, l'on tire s = 3 .

Et ces valeurs ries inconnues sont les seules qui puissent satisfaire au système des trois équations proposées; car les doux dernières n'admettent pas d'autres solutions que x=5 et y~4 ; et si a; et y ont respectivement ces valeurs , l'équation [1] se change en l'équation [4] qui n'admet pas d'autre solution que 3 = 3 .

Pour résoudre un système quelconque de trois équations du premier degré à trois inconnues, il faut donc tâcher d'en déduire un système équivalent, dans lequel deux des trois équations ne renferment que deux des inconnues.