Soient les trois équations
2a;— 3fj+53=27 [1],
Éliminons s entre les équations [1] et [2]; pour cela multiplions l'équation [1] par 4 , l'équation [2] par 5 ; et ajoutons membre à membre, nous trouverons :
Éliminons de même s entre les équations [1] et [3] ; pour cela
, mises pour i el j
multiplions l'équation [1] par 2 , l'équation [3] par 5 , et retranchons la première de la dernière , nous obtiendrons :
SU + 26y = l« [Si.
Les équations [4] et [5] no renfermant plus que x et y , on sait en tirer les valeurs de ces inconnues. Si , par exemple , on multiplie l'équation [4] par 13 , l'équation [5] par G , et qu'on retranche la seconde de la première, y disparaîtra, et il restera
110a: = 220 d'où <r = 2 .
Cette valeur, mise pour x dans l'équation [4], donne
46 + 18y=U8 ou 18y = 72 , d'où y — 4 .
Si maintenant dans l'une des trois équations proposées, dans l'équation [1] par exemple, on remplace x. par 2 et y par 4 , cette équation devient
4 — 12 + 53 = 27 ou 53 = 35 , d'où = = 7 . -
On voit , par cet exemple , que pour résoudre un système de trois équations à trois inconnues x , y , z , il .faut éliminer l'une des trois inconnues, z parexemple, deuxfois, s'avoir : entre la première équation et la seconde, par exemple .puis entre lapremière et la troisième; on obtient ainsi deux équations entre les deux inconnues x et y ; m en tire les valeurs de ces inconnues; on substitue ces valeurs dans l'une des trois équations proposées, et l'on en tire la valeur de la troisième inconnue ï .
RuARQUE. C'est pour plus do symétrie dans le choix des lettres que nous avons d'abord éliminé s ; il eût été plus simple et plus commode d'éliminer d'abord y ; savoir, entre les équations [1] et [2], puis entre les équations [2] et [3], à cause des facteurs communs que présentent les coefficients de cette inconnue. On aurait eu ainsi à résoudre les deux équations plus simples : 7x+ 63 = 56 , '9<r + l43 = 116 ; qui donnent x=2 et 3 — 7 . Ces valeurs mises dans l'équation [1], donnent ensuite y = 4 .
98. Les valeurs x=1 , y = 4 , z = 7 sont les seules qui puissent satisfaire au système des équations [1] , [4] et [5] ; nous l'avons démontré (90) pour un exemple analogue. Il reste donc à
76 PHEMIkllK PARTIE. — CHAPITRE III.
faire voir que le système des équations [1], [fl et [5] est équivalent au système îles trois équations proposées.
Mais on peut démontrer plus généralement que si l'on multiplie la première équation par une quantité quelconque t» , la seconde par une quantité n , et qu'on les ajoute ou qu'on les retranche membre à membre; puis qu'on multiplie la première par une quantité quelconque m' , la troisième par une quantité ni , et qu'on les ajoute encore ou qu'on les retranche membre à membre, la première équation, jointe aux deux équations ainsi obtenues, forme un système équivalent à celui des trois équations proposées.
Pour le démontrer, concevons qu'on ait fait passer tous les termes de chaque équation dans un seul membre; désignons pour abréger ces membres par A , B , G ; en sorte que les [rois équations proposées seront représentées par
A = 0 , B=0 et C=0.
Il s'agit de faire voir, par exemple, que le système
A = 0 , mA+flB=0 , m'A— n'C=0 est équivalent au premier.
Or, tout système de valeursde x , y, s qui satisfera aux trois équations proposées, annulera A , B ot C , et par suite mA-|-jiB et m'A — n'V. ; ces valeurs satisferont donc aux trois équations du second système.
Réciproquement : si un système de valeurs satisfait aux équations du second système, en vertu de A— 0 , ces valeurs annuleront A ; la seconde équation t»A-)-nB=0 se réduira donc à nB=0 , cequiexige B=0 ; et la troisième équation m'A — »'C=0 ou to'A=»'C seréduiraà 0=n'C , cequiexige C=0 ; c'est-à-dire que ies valeurs en question annuleront à In fois A , B et C , et satisferont par conséquent aux équations du premier système.
Remarque. Si, en particulier, les multiplicateurs m , n , m et n' sont choisis de manière qu'en ajoutant ou retranchant convenablement, l'inconnue a disparaisse des équations
mk+tiB=0 et m'A— »'C=0 , la démonstration subsiste ; ce qui démontre la légitimité du mode de résolution que nous avons employé.
89. Comme exemple d'équations littérales , nous traiterons les suivantes :
ax — by + cs = œ'-f c* [1] bx + cy — as=P+c> fl] -cx + ay+bz^+P [S].
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PHEMIER DEGHÊ. Ts
Éliminons z entre les équations [1] et [2], nous trouvons
d*+bc)x+(d>~ab)y=t?+t a *+Pc+* [4].
Éliminons z entre les équations [2] et [3], il viendra
ac) x -f (a*+ fie) y = a>+ ab' + b# + b" [5] . L'élimination de y entre ces deux dernières, donne
<a>+a t bc+atr>+BC , )x=a?-\-a i b+a s bc+a t b i + a'b'c+a'c' -\-ab'"'\-abe' ,
ou
(a'+abc + P+^X^ + tâb+a'bc+iib'+ab'c + aS+ab'+bc*; d'où, en divisant les deux membres par a , -^-abc-\-b'-^-c' , x=a-\-b .
Cette valeur mise pour x dans l'équation [5] donne
(a* + bc) y=a> + a'c + oèe-f be* d'où , en divisant les deux membres par a'-\-br , ;, = «+ C .
Mettant pour x et y leurs valeurs dans l'équation [1], elle devient
a , —bc+cz=a'+à' ou ez=b t -+c' ; d'où s=Zi-|-e .
100. Il est facile maintenant de généraliser la marche que nous avons suivie. Supposons qu'on ait 5 équations du premier degré entreles 5 inconnues x , y , z , « , ; . Oneliminera f quatre fois: par exemple entre la première équation et chacune des quatre autres ; on obtiendra ainsi 4 équations entre les inconnues x , y , s , « . On éliminera j< trois fois : par exemple entre la première de ces quatre équations, et chacune des trois autres ; on obtiendra ainsi 3 équations entreles 3 inconnues x , y , = . On éliminera s deux fois : par exemple entre la première de ces trois équations et chacune des deux autres ; on obtiendra ainsi 2 équations entre les 2 inconnues x el y . On éliminera y entre ces deux équations , et l'on obtiendra une équation qui ne contiendra plus qu'une seule inconnue x . On en tirera la valeur de celle inconnue. On portera cette valeur à la place de x dans l'une des deux équations entre x et y ; et l'on en tirera la valeur de y . On portera les valeurs de x et de y dans l'une des trois équations entre x , y et : ; et l'on en tirera la valeur de z . On portera les
valeurs de x , y et s dans l'une des quatre équations entre x , y , z et w ; et l'on en tirera la valeur dû m . On portera enfin les valeurs de x , y , s et u dans l'une des cinq équations proposées entre i , y , a , a et t. ; et l'on en tirerala valeur de ( .
On suivrait une marche analogue pour un nombre quelconque d'équations du premier degré renfermant le même nombre d'inconnues.
101. Le calcul se simplifie, lorsque toutes les équations ne contiennent pas toutes les inconnues. Si, par exemple, dons le cas de 5 équations entre 5 inconnues x , ij , ; , u et t , il y avait une équation qui ne contint pas l'inconnue x ; cette équation pourrait être prise pour l'une des 4 équations à 4 inconnues qu'on se propose d'obtenir; et il suffirait d'éliminer j' trois fois pour obtenir les trois autres. Si , parmi ces 4 équations entre les 4 inconnues y , s , u et ( , il y en avait une qui ne contint pas l'inconnue s par exemple, cette équation pourrait être prise pour l'une des 3 équations à 3 inconnues qu'on cherche à en déduire ; et il suffirait d'éliminer 3 deux fois pour obtenir les deux autres. Et ainsi de suite.
Si deux inconnues manquent à la fois dans une même équation, le calcul se simplifie encore davantage. II est rare qu'il ne se présente pas dans le coui'iint des opérations ([unique cire (instance favorable dont on puisse tirer parti avec un peu d'adresse , lors même que les équations primitives contiennent toutes les inconnues. Soient , pour exemple , les 4 équations :
ar+îy— 5s-f3w= 5 [2], Zx— y — ïs-\- u= 0 [3], 4x-\-3y~-3z + îu = it [4], qui contiennent chacune les 4 inconnues x , y , z et u .
L'élimination de w entre [1] et [3] , puis entre [2] et [3] , enfin entre [1] et [4] donne très- facilement :
lia— by — 1 [5], — 8^+ 6y+ »= 5 [61.
9ar+ 3 = 12 [7].
' L'équation [53 ne contenant pas s , il suffit d'éliminer a entre [6] et [7], ce qui donne , .
\7x — ày=7 , [8],
L'élimination de y entre les équations [5] et [8] , donne ensuite 6* = 6 , d'où x=l .
ÉQUATIONS ET PnOHLtMI.S DV PREMIER DEGRÉ. 79
Mettant cette valeur de x dans les équations [5] et [7] , on en tire
U — 5y=l et 9 + 3=12 , d'où y = 2 et *=3 .
Ces valeurs de a; , y et s introduites dans l'équation [3] , donnent
3— 2— 6+w=0 , d'où u = 5 .
