I. 2#~6y + 3a = 5 , d'où

8y+6s — 3iC=0 , == 1 .

II. ax-^-by — cz = b' , d'où x= e , bx — cy-\- as = a* , y = b , cx-^-ay — ii3 = c*, s= a ■

III. 6x + 3y — 3s+ w = 5 , d'où z= 0 , 3a: + 5y + 23— 2w = 4 , y= 2 , 6x — 2y — 2s+ 2i* = 2 , 3= 2 , , 2a: + 5t/ + 3s — 3w=l , «= 5 .

§ Vil. Problèmes qui coniluiscnt à un nniubre quelconque d'équations du premier degré , renfermant le même nombre d'inconnues.

105. La mise en équations de ces problèmes est soumise à la règle générale donnée au n° 70. Nous rappellerons ici le conseil que nous avons donné au n° 87 d'introduire dans le calcul toutes les inconnues que le problème comporte. Sans doute, quand le nombre des inconnues est grand , il semblerait qu'on doit chercher à le restreindre; mais l'avantage qu'il en pourrait résulter pour le calcul serait presque toujours compensé, et au delà, par l'embarras que la suppression de quelques inconnues introduirait dans la mise en équations.

Cela dit, il ne nous reste qu'à donner quelques exemples.

Premier problème. On a trois lingot) qui contiennent : le premier, 20 gr. d'or , 30 d'argent , 40 de cuivre . Le second, 30 40 50

Le troisième, 40 50 90

Combien faut-il prendre de chacun d'eux pour former un quatrième lingot qui contienne :

75 gr. d'or , 100 d'argent , et 149 de cuivre ?

80 PREMIÈRE PARTIE. — CHHP1ÎBE III.

Soient x , y , s les nombres de grammes de chacun des trois premiers lingots, qu'il faut prendre pour former le quatrième. On remarquera ,'que , dans le premier lingot, il y a 20" d'or, sur 20+30+40 ou 90 ; c'est-à-dire que l'or y entre pour 1 . Dans le second lingot, il entre pour ^ > e ' dans le troisième, pour -fe . Ce métal entrera, en niâmes proportions, dans les parties x , y , s qu'on prendra des trois lingots ; et, comme la somme des quantités d'or contenues dans ces parties doit faire 75* r , on devra avoir l'équation :

+ + = ■ L'argent, dans le premier lingot, entre pour , , dans le second, pour ^ , dans le troisième , pour ; on verrait donc , par un raisonnement analogue au précédent, qu'on doit avoir :

Et, en opérant de même pour les quantités de cuivre , on trouverait de même l'équation :

^ + t^ + tV= = 1« p ■ Telles sont les équations du problème. En faisant disparaître les dénominateurs et simplifiant, elles deviennent :

Éliminant d'abord x entre [1] et [2] , puis entre [1] et [3] , on

obtient :

3y + 4: = 900 [4], 3y — ïz= 36 [5].

Éliminant ensuite y entre ces deux dernières, on trouve

63 = 864 , d'où 3 = 144" . Cette valeur, mise dans [5] , donne

3 y— 288 = 36 , d'où y=108' r .

Et ces valeurs, mises dans [I], donnent

- %x + 972 + 1 152 = 2700 , d'où # = 72^ .

10*. Deuxième problème. Trois vases contiennent , à eux trois, 18 litres d'eau. On prend la moitié de ce qw rrm(i»nt le premier, pour h verser dans le second; on prend ensuite le tiers de ce que contient alors te second , pour le verser dans le troisième ; on prend

ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU m LU IL II DfcGRÊ. 81

enfin le quart de ce que contient alors le troisième, pour te verser dans le premier. H se trouve alors que l'eau est également partagée entre les trois vases. On demande ce que chacun d'eux contenait primitivement.

Soient x , y , s les nombres de litres d'eau contenus primitivement dans chaque vase. Si l'on prend la moitié de ce que

contient le premier, c'est-à-dire ^ pour le verser dans le second, les trois vases contiendront des quantités d'eau marquées respectivement par

Si; y+ï*; =.

On prend maintenant le tiers de ce que contient le second, c'està-dire \y , pour le verser dans le troisième ; les quantités d'eau contenues deviendront donc :

{x ; y+ix— l x ■ ot --f-iy + ^a; ; ou %x ; s!/-{-i x > et -s + jy+î 37 • -

On prend enfin le quart de ce que contient le troisième vase, c'està-dire {= -j- -fey + li^ ■ P our ' e verser dans le premier; les quantités d'eau contenues deviennent dès lors :

§y+^; et s +y+ix~^~^y-^- t ou tfx+iz+ni/; "t U+iy + bx;

mais l'eau se trouvant alors également partagée, chaque vase contient le tiers des 18 litres, c'est-à-dire 6 litres. On a donc les Irois équations :

te+y + 5^=6 .

ou, en simplifiant:

Si l'on retranche les deux dernières membre à membre, on a surle-champ

6s = 30 , d'où s=6 ;. , " .

à l'aide de cette valeur, la première équation devient

13^-1-2^ = 114 ; si l'on en retranche la seconde membre à membre, il reste :

12a; = 96 d'où a? = S ;

82 PiiLMlKRE PARTIE. — CHAP1TBE 111.

ealin cette valeur, mise pour x dans la seconde équation, donne

8+2y = 18 , d'où jf=5 .

Le premier vase contenait donc 8 litres , le second 5 et le troisième 5 ; ce qu'on vérifiera facilement.

103. Troisième problème. Un nombre est tel: qut, si on ta divise par 7 , on a pour reste 4 , que, si on le divisa par 9 , on a pour reste 6 , que, si on le divise par 13 , on a pour reste 8 ; et de plus, la somma des trois quotients surpasse de 3 unités le quart du nombre lui-même. On demande i/ur/ est ce nombre?

Soit x le nombre cherché, et soient y , s et u les quotients respectifs qu'on obtient en le divisant par 7,1) ou 13 . On aura, en vertu de la division même ;

x = 7î,+4 , X= 93 + 6 , x = i$u + S , et, en vertu de la dernière partie de l'énoncé,

Si l'on tire des trois premières équations les valeurs de y , z , u , en y regardant x comme connu, on obtient :

et , si l'on met pour y , a , u ces valeurs dans la quatrième équation, on obtient

équation qui ne contient plus que l'inconnue x . On en tire, en faisant disparaître les dénominateurs :

468a;— 1872+364*— 2184+252*— 2016=819* + 9828 ou 265^ = 15900 d'où * = 60.

Tel est le nombre demandé. Les quotients qu'on obtient en le divisant par 7 , 9 ou 13 , sont 8 , 6 et 4 , dont la somme 18 surpasse de 3 unités le nombre 15 qui est le quart de 60.

Remarque. Ce problème offre un exemple d'une question qui comporte réellement quatre inconnues, bien que l'énoncé semble n'en admettre qu'une.

ÉQUAÏ10KS ET PaUJlEÈMES DU J'iihMlLll DEGRÉ. 83

100. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes dont les énoncés suivent :

I. Un homme chargé, de transporter des vases de trois grandeurs, est convenu de payer pour chaque vase cassé par lui autant qu'il aurait reçu s'il l'eût rendu en bon état. On lui donne 3 grands vases, 5 moyens et 9 petits. On apprend qu'en route il a cassé tous les vases de l'une des trois grandeurs, mais Von ne sait laquelle. Si ce sont les grands ou les petits-ie porteur touchera 10/r. ; mais si ee sont les moyens, il ne touchera que 8 fr. On demande ce qu'il doit toucher pour un vase de. rhu</it<'. espèce rendu ni bon état.

(Réponse : 3 fr. pour un grand vase , 2 fr. pour un moyen, 1 fr. pour chaque petit.)

IL On demande quel est le nombre de quatre chiffres qui jouit des propriétés suivantes : 1° que la somme des deux premiers chiffres, soit à sa droite, soit à sa gauche, est égale à 7 ; 2" que le chiffre de ses unités est le triple de celui des centaines ; 3" enfin que si l'on écrit ses quatre chiffres dans un ordre contraire, le nombre augmente de 909. (Réponse : 5216.)

III. Une personne a divisé son capital rn trois parties qu'elle a placées, la première à 5 pour 100, lasecondeà ipourïOQ, la troisième à 3 pour 100 . Elle sé fait ainsi un revenu annuel de 4000 fr. , cmitw si tout ton capital eût été placé à 4 pour 100 . On suit de plus que ta partie placée à 5 pour 100 .rapporte annuellement 600 /r. de plus que celle qui est placée à Spour 100. On demande quel est le capital entier, et quelles sont les trois parties.

(Réponse : le capital entier est de 100000 fr. ; les trois parties sont 30000 fr. , -iOOOO fr. et 30000 fr. }

PREMIÈRE PÀHT1E.