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symboles d'une opération impossible, elles sont quelquefois la seule réponse raisonnable que puisse comporter une question.

Concevons, par exemple, qu'un thermomètre marquant 10° au-dessus de zéro, la température vienne à baisser de 6" ; pour avoir la température nouvelle, il faudra retrancher 6° de 10" , ce qui donnera 10° — 6° ou 4° . Point de difficulté jusqu'ici.

Mais, le thermomètre marquant toujours 10" au-dessus de zéro , supposons que la température vienne à baisser de 14° ; si l'on veut, comme tout à l'heure, retrancher de la température primitive le nombre de degrés dont elle s'est abaissée, on est conduit à l'expression 10" — 14° ou — 4° , d'après la simplification indiquée ci-dessus. D'un autre côté, si, partantdu 10"™ degré audessus de zéro, on compte 14 degrés en descendant l'échelle thermométrique, on arrive à zéro quand on en a compté 10 , et les i restants se trouvent comptés au-dessous de zéro. Remarquons cette correspondance entre le symbole — 4" et le résultat réel 4° au-dessous de zéro .

Prenons un second exemple. Un lieu est siLué sous le 40" degré de latitude nord , un second lieu est situé à 30 degrés au sud du premier, sur le même méridien pour plus de clarté. Si l'on veut connaître à quelle latitude répond ce second lieu, on retranchera les 30° de la latitude 40' , ce qui donnera 40'— 30" ou lu fie latitude nord, l'oint de difficulté.

Maïs si le second lieu éiaità 50" au sud du premier, et que, pour obtenir sh latitude , on retranchai encore les 50 1 de la latitude 40° , on arriverait a l'expression 40' — 50° ou — 10* . D'un autre cote , si , en parlant du 40™ degré de latitude nord on descend vers le sud en comptant M degrés , quand on en aura compte 4» , on sera sur l'équaieur, et les 10 qui restent seront comptés vers le sud ; la latitude demandée sera donc 10° de latitude sud . Remarquons encore cette correspondance entre le symbole — 10° et le résultat réel 10° de latitude sud .

Pour dernier exemple, imaginons qu'un événement ait eu lieu 600 ans après J. C, et qu'un autre événement ait eu lieu 400 ans auparavant. Pour avoir la date de celui-ci, il faudra retrancher 400 ans de 600 ans , ce qui donnera 600 — 400 ou 200 ans après J. C. Mais si l'on suppose que le deuxième événement consi déré ait eu lieu 800 ans avant celui dont on a parlé d'abord , et que pour avoir sa date on retranche encore les 800 ans des GOOaus , on arrive à l'expression 600—800 ou — 200 ans . D'un autre cillé , il est facile de voir que l'événement en question a eu lieu 200 ans avant J. C. Remarquons encore cette correspondance entre le symbole —200 ans , et le résultat réel 200 ans avant J. C.

flfi PRElTlftlE PARTIE.'— CHAPITRE IV.

Dans les exemples que nous venons de prendre, et il serait facile de les multiplier, on Ironve cette circonstance commune que ta quantité cherchée est , par sa nature , susceptible d'être comptée dans deux sens opposés. Et l'on remarque que , l'un de ces deux sens étant celui qui est le plus ordinaire , et dans lequel on compte habituellement les quantités regardées comme positives, il arrive que si la quantité cherchée doit être comptée en sens contraire, le calcul de cette quantité effectué d'après les mêmes règles que si elle devait être positive , conduit à un résultat négatif.

Il u'y a qu'un pas de cette remarque à la convention de compter dans l'un des deux sens opposés les quantités positives , et dans le sens contraire les quantités négatives. De cette manière , toutes les fois qu'une quantité sera ainsi susceptible d'être comptée dans deux sens contraires, il sera aussi rationnel do lui attribuer des valeurs négatives que des positives; et les monômes négatifs isolés ne seront des symboles d'impossibilité absolue que lorsqu'ils représenteront une quantité qui , par sa nature , ne peut être comptée que dans un sens. Si, par exemple, il s'agit de la longitude d'un lieu, comme elle peut être comptée vers l'est ou vers l'ouest , on pourra admettre pour cette quantité des valeurs indistinctement positives ou négatives. S'il s'agit au contraire du nombre des cotés d'un polygone, comme i! ne peut être compté que dans un sens , il n'admettra pas de valeurs négatives; et une valeur négative , dans ce cas , serait un symbole d'impossibilité absolue.

108. Cette convention peut être justifiée par une autre considération qui nous servira en même temps à montrer sous son véritable jour le calcul des quantités négatives, et l'Algèbre en général.

Reprenons l'exemple du thermomètre. Supposons qu'il marque G" au-dessus de séro , et que la température vienne à s'élever de 10 degrés ; pour savoir le nombre de degrés que l'instrument marquera, il faudra ajouter aux lOdegrés d'élévation, les 6 degrés que le thermomètre marquait d'abord, ce qui donnera 10 + (S ou 16° au-dessus de zéro.

En général , si f désigne dans ce cas la température primitive, a l'accroissement, et T la température finale, on aura la relation

Supposons maintenant que la température primitive soit de ff au-dessous de séro , et qu'elle s'élève encore de 10° ; la température finale [l'obtiendra en remarquant que, si elle s'élève d'abord de 6 degrés , le thermomètre marquera zéro ; et que les 4 degrés d'élévation restants seront comptés au-dessus de zéro. C'est-à-dire que pour avoir la température finale, il faudra des 10 degrés

DES QUANTITÉS NEGATIVES. 87

d'élévation retrancher les 6 degrés au-dessmis de zéro que marquait primitivement Ifi thermomètre; ce qui donne en effet 10° — 6* ou 4° au-dessus de zéro.

En général , si ( désigne alors la tempérai lire primitive , ou le nombre de degrés au-dessous de zéro que marquait primitivement le thermomètre, si a désigne toujours l'accroissement de température et T la température finale, on aura la relation

On voit que les relations [1] et [2] ne diffèrent l'une de l'autre que par le signe qui précède la température initiale t . Celte remarque suffirait pour justifier la convention qui consiste à regarder comme positives les températures comptées au-dessus de zéro, et comme négatives celles qui sont comptées au-dessous.

Mais il y a plus , c'est quo cette convention permet de réunir les deux formules [l] et [2] en une seule, qui comprendra tous les cas, et donnera ainsi la réponse la plus générale à la question proposée. Il suffit pour cela d'étondre la signification des mots quantité et addition. Nous appellerons i/uantilés algébriques celles qui , comme la température , la latitude , le temps , ètc. , sont susceptibles d'être comptées indifféremment dans deux sens opposés; ces quantités élant positives si on les compte dans l'un de ces deux sens , et négatives si on les compte dans l'autre. Nous appellerons aMition algébrique une opération ayant pour but de réunir deux ou plusieurs quantités algébriques en conservant à chacune son signe; dételle sorte que la somme algébrique de — f- 10 etde — 6 sera 10 — 6 , comme celle de +10 etde +6 est 10-f 6 . Nous pourrons alors ne conserver quo la formule [1] , et l'énoncer en disant : que si un thermomètre marque t degrés et que la température s'élève de a degrés, la température tinale T sera la somme algébrique de a et de f . Cette formule répondra alors à tous les cas. Si , par exemple , la température initiale est dé 10" au-dessous de zéro , et qu'elle s'élève de 7 degrés , pour avoir la température finale, on remplacera a par +7 et ( par — 10, et faisant la somme algébrique, on aura

T=+7 — 10 ou T = — 3 , ce qui voudra dire que la température finale est de 3° au-dessous de zéro. C'est ce qu'il est facile de vérifier.

109. Prenons un dernier exemple. Supposons que deux villes soient situées sur le même méridien : l'une à 48" delatitudenord, l'autre à 35° de latitude nord ; pour avoir leur distance en latitude, on n'aura qu'à retrancher 35 de 48 , ce qui donnera W— 35' ou 13* delatitudenord.

En général, si L et l désignent les deux latitudes nord , et d la distance des deux villes, on aura la relation

Supposons maintenant que la première ville élant toujours à 48° de latitude nord, la seconde soit à 35" de latitude sud; il est clair que pour obtenir leur distance en latitude, il faudra faire la somme des nombres 48 et 35 , ce qui donnera 48" + 35° ou 83" .

Eu général, si L désigne le nombre de degrés de latitude nord, l le nombre de degrés de latitude sud , et d la distance des deux villes , on aura la relation

rf = L-H [2].

Les relations [1] et [2] ne dillèrent que par le signe qui précède la latitude l , Il est donc naturel de regarder la latitude comme une quantité algébrique , qui sera positive ou négative , suivant qu'elle sera comptée vers le nord ou vers le sud. On pourra ensuite renfermer tous les cas de la question qui nous occupe dans la formule [1] , en étendant le sens du mot soustraction. On appellera soustraction algébrique une opération par laquelle on écrit une quantité algébrique à la suite d'une autre en changeant son signe; en sorte que la différence entre +48 et -(-35 sera 48 — 35 ; mais que la différence entre +48 et — 35 sera 48+35 . On énoncera alors la formule [I] d'une manière générale en disant : que pour obtenir la distance en latitude de deux lieux donnés, il faut faire la différence algébrique entre leurs latitudes.

110. En résumé, on voit qu'il existe des quantités susceptibles d'être comptées indifféremment dans deux sons opposés; et que , suivant qu'elles sont comptées dans l'un ou l'autre de ces deux sens, elles figurent avec un certain signe ou avec le signe contraire dans la solution d'une même question. Les quantités de cette espèce ont reçu le nom de quantités algébriques; on leur attribue le signe + lorsqu'elles sont comptées dans l'un des deux sens dont on vient de parler, et le signe — lorsqu'elles sont comptées dans le sens contraire. L'avantage qu'on retire de cette convention est n on- seule ment de trouver une interprétation pour les quantités négatives isolées que le calcul fournit quelquefois , mais encore de pouvoir généraliser les formules auxquelles conduit la solution d'un problème particulier.

Cette tendance de l'Algèbre à généraliser les opérations et les résultats est un de ses caractères distinctifs. Nous aurons occasion d'y revenir plus d'une fois. Il nous suffit pour le moment d'avoir essayé de faire comprendre l'origine des quantités négatives et des règles

Li'l^iliZOd t, GO

BfcS QUANTITÉS NÉGATIVES. 89

suivant lesquelles on les introduit dans le calcul. Nous allons maintenant exposer ces règles en détail.

HI. On appelle quantité algébrique une quantité qui se compose de deux éléments : 1° d'une valeur nu mérique qui peut être entière ou fractionnaire ; 2° d'un signe qui peut être + ou — .

Ainsi +4,-4, -f|! , -| , +a , -a, + *<« ,

— 4o*ô ,. etc., sont des quantités algébriques. Si elles contiennent des lettres, il faut toujours imaginer que ces lettres tiennent lieu de certaines valeurs numériques' entières ou fractionnaires.

Quant à l'ordre de grandeur des quantités négatives entre elles, ou coihparées aux quantités positives, il faut remarquer que si d'un nombre quelconque , 5 par exemple , on retranche successivement une unité, on obtient des nombres de plus en plus petits 4 , 3 , 2 , 1 , 0 . Arrivé à ce point, si l'on continue à retrancher toujours successivement une unité, on obtient les quantités négatives — 1 , — 2 , — 3 , —4 , etc., dont la valeur absolue est croissante. Mais, comme c'est à l'aide d'une même opération, la soustraction d'une unité , qu'on a obtenu toute cette série de nombres, les uns positifs décroissants, ies autres négatifs croissants en valeur absolue , l'analogie a conduit à regarder les quantités négatives comme moindres, algébriquement parlant, que les quantités positives , et comme d'autant moindres que !eur valeur absolue est plus grande. Ainsi — 1 est regardé comme moindre que 0; — 2 est moindre que — 1 ; et ainsi de suite.

Conformément à cette convention , lorsqu'on veut exprimer qu'une quantité a est positive, on écrit «>0 ; et si l'on veut exprimer qu'elle est négative, on écrit a<0 : ' i ' '

112. Z'ADDiTiON algébrique est une opération par laquelle on réunit plusieurs quantités algébriques en conservant à chacune son signe.

Ainsi, la somme algébrique de +a et de -fi est a-fô ; la somme algébrique de -j-n et de — b est a — b ; la somme algébrique de —a et de +b est — fl-f-ô ; la somme algébrique de — « etde — b est — a — b .

Un polynôme peut être considéré comme la somme algébrique de ses termes. ,

Pour additionner deux polynômes, il suffit d'écrire le second à la mite du premier en conservant à chaque terme son signe. Cette règle a déjà été donnée au n" 47 ; mais nous avions supposé alors que , dans chaque polynôme , l'ensemble des termes positifs l'emportait sur J'ensemble des termes négatifs. Cette restriction devient inutile.

US. La soustraction algébrique est une opération par laquelle on écrit la quant il/ 1 - h sait s f mire il- In suite de. la quantité dont on la soustrait, en rhmujrtmt le siijnr de lu quant it''' à soustraire.

Ainsi, la (lifféiTncc: algébrique entre -f a et -\-b est a — b ; la différence algébrique entre -f« et —h est « + 6; la différence algébrique entre — a et -}- b est — a — b ; la différence algébrique entre — a et — b est — a -\- b .

Pour soustraire un polynôme d'un autre, il faut l'écrire à ta suite de cet autre en chnnyan! .'<■ s/':;»e de chacun, de ses termes. Celte règle a élé donnée au n" 50, en supposant que dans chaque polynôme l'ensemble des fermes positifs l'emportait sur l'ensemble îles termes négatifs; celle restriction n'est plus nécessaire.

.11%. La multiplication ALfiiinmuuE eut une opérât iun par laquelle on cherche une quantité al(/ébrit/itc , appelée produit, qui soit composée avec une quantité algébrique, appelée multiplicande, comme une autre quantité algébrique, appelée multiplicateur, est composée avec l'unité positive.

Cette définition n'est, comme on lo voit, qu'une extension de la définition donnée en arithmétique ; on y a introduit l'élément qui distingue les quantités algébriques des quantités purement numériques, c'est-à-dire le signe.

Soit -|-A a multiplier par -|-B . La valeur absolue du produit sera composée avec la valeur absolue A du multiplicande , comme la valeur absolue 11 du multiplicateur est composée avec l'unité; c'est-à-dire que, d'après les notations admises, cette valeur absolue du produit sera AB . Quant au signe du produit, comme le multiplicateur +1* a I e même signe que l'unité positive, ce produit aura le même signe que le multiplicande, c'est-à-dire + .

Ainsi , le produit de + A par + B est -f AB ■

Soit -|-A à multiplier par — B. La valeur absolue du produit sera, comme ci-dessus, AB . Mais le multiplicateur — B ayant un signe contraire à celui de l'unité positive, le produit aura un signe contraire à celui du mul'iplicaude, c'est-à-dire — .

Ainsi le produit de -f-A par — B est — AB .

Soit — A à multiplier par -]-B . La valeur absolue du produit sera encore AB . Mais le multiplicateur -|-B ayant le même signe que l'unité positive , le produit aura le même signe que le multiplicande, c'est-a-dire — .

Ainsi, le produit do — A par -)-B est — AB .

Soit enfin — A à multiplier par — B . La valeur absolue ,du produit sera AB . Mais le multiplicateur — B ayant un signe contraire à celui de l'unité positive, le produit aura un signe contraire à celui du multiplicande — A , c'est-à-dire ~f- .