DES QUANTITÉS NÉGATIVES

Ainsi, le produit de — A par — B est -fAB .* ' La règle dès signes établie au n D 5-1 par la considération de deux polynômes dans chacun desquels In partie positive était supprime l'emporter sur la partie négative , se Irouve donc étendue à des monômes isolés, en partant de la distinction établie entre les quantités algébriques et les quantités purement numériques , et de la définition plus générale adoptée pour la multiplication.

Quant à la multiplication des polynômes, les règles établies au n° 54, dans la supposition où la partie positive do chaque polynôme l'emporte sur la partie négative , subsisteront encore dans l'hypothèse contraire.

Soit, eneflet, à multiplier a — b par c — d , et supposons d plusgrandque c en valeur absolue; lo binôme c — d revient à — {d — c) ; expression dans laquelle, d'après notre supposition d — e sera positif. Nous aurons donc à multiplier +(b — b) par — (d — c) . Pour obtenir ce produit, il faudra d'abord multiplier en (réelles les valeurs absolues (a — b) et {d — c) des deux facteurs, et changer ensuite \c. signe du résultat, puisque ces deux facteurs sont de signe contraire, v.iv les règles démontrées ci-dessus ne supposent pas que A et It représentent des monômes plutôt que des polynômes. En multipliant d'abord les valeurs absolues (a — b) et (d — c) on obtient, d'après les règles du n" 54, qui sont applicables ici , puisque a — b et d — c sont positifs l'un et l'autre :

. ad — bd — «e-f-fic .

Et en changeant le signe du résultat, ce qui se fait en changeant le signe de chaque terme, on obtient :

— ad -f- bd -(-; ac — be ou ac — bc — ad-\-bd ,

comme on l'a obtenu au n" 54.

Les règles de la multiplication subsistent donc sans la restriction faite alors.

11B. La division algébrique est une opération par laquelle, étant donnés le produit de deux facteurs algébriques et l'un de ces facteurs, un cherche l'autre facteur.

On a vu , aux n" 41 à 4G , comment les règles de la division se déduisent de celles de la multiplication. Ces dernières étant maintenant établies sans restriction pour les monômes positifs ou négatifs , et pour les polynômes dans lesquels la partie positive est plus grande ou plus petite en valeur absolue que la partie négative , il en est de même des règles de la division.

lie. Les règles données aux n* 30 à 38 pour le calcul des fractions algébriques, n'étant fondées que sur celles des quatre opérations fondamentales, elles acquièrent la même généralité que celles-ci.

147. Deux quantités algébriques sont égales lorsqu'elles ont même valeur absolue et même signe. Si on les multiplie chacune par une même troisième, les produits seront égaux; car il est évi- : dent qu'ils auront aussi même valeur absolue et même signe. '* .

II suit de là qu'on peut , sans troubler une égalité , multiplier ses doux membres par une même quantité algébrique ; ce qui généralise la transformation indiquée au n" «4 .

On démontrerait de même qu'on peut , sans troubler une égalité , diviser ses deux membres par une même quantité algébrique; ce qui généralise la transformation du n* 02. ■ ' : % '

REHAttotig. On peut dans une égalité changer les signes de tons les termes , car cette transformation revient à multiplier ou à diviser à la fois les deux membres par — 1 .

On retrouve ainsi , par une autre voie, une règle déjà démontrée (68, IV.)

S II. Discussion des problèmes du premier degré à une seule inconnue.

448. Lorsqu'on a résolu un problème d'une manière générale, c'est-à-dire en représentant les données par des lettres, comme nous l'avons fait, par exemple, aux n°" 74, 76 et 04, il est utile de rechercher les principales circonstances que peut présenter la solution , suivant les valeurs particulières qu'on peut attribuer à ces données. L'examen méthodique de ces circonstances est ce qu'on nomme la' discussion du problème.

Nous nous occuperons dans ce paragraphe de la discussion des problèmes qui conduisent à une seule équation, à une seule inconnue.

Une pareille équation, lorsqu'on y a fait disparaître les dénominateurs , qu'on a rassemblé dans un membre tous les termes affectés de l'inconnue , et dans l'autre tous les termes indépendants de cette inconnue, qu'enfin on a mis l'inconnue en facteur commun parmi les termes où elle se trouve, peut toujours être ramenée à la forme

A# = B [1], dans laquelle A et B peuvent être dos quantités quelconques , monômes ou polynômes , algébriques ou numériques.

On tire de cette équation # = j > c'est cette valeur qu'il s'agit de discuter.

niSCIISSIOX DES PROBLÈMES DU PBESUER DEGRÉ.

119. Lorsqu'on attribue aux données de la question des valeurs' particulières, les quantités A et B prennent elles-mêmes di- ■ verses valeurs. Il peut arriver que * et B soient de mêmes signes, ou bien qu'ils soient de signe contraire; que Tune d'elles s'annule, ou qu'elles s'annulent toutes deux à la fois. Nous allons examiner ces divers cas. ' '•

I. Si A et B sont de même signe, leur quotient est positif; la valeur #=ï^ est alors une réponse directe à la question, et ne donne Heu à aucune remarque.

II. Si À et B sont de signes contraires, leur quotient est négatif; on peut alors distinguer deux cas.

Ou la quantité que x représente est susceptible d'être comptée dans deux sens opposes , qui correspondent , l'un à ses valeurs positives , l'autre à ses valeurs négatives. Dans ce cas , une valeur négative trouvée pour l'inconnue est encore une réponse directe à la question. Si, par exemple, l'inconnue j' représentait un certain nombre de degrés du thermomètre , comptée à partir du zéro , une valeur telle que — 6 n'aurait rien que de parfaitement admissible, et répondrait à 6' au-dessous de zéro, comme la valeur -f- 6 répondrait à (P au-dessus de zéro. Cela résulte des conventions dont nous avons parlé au n° 107.

Ou la quantité que x représente n'est susceptibled'être comptée que dans un seul sens. Alors , une valeur négative trouvée pour x est un caractère d'impossibilité du problème, tel qu'il a été posé du moins. Cette valeur négative indique un vice dans l'énoncé, ou au moins dans la manière de l'entendre ; elle montre qu'une quan-r tité qu'on avait regardée comme additive devait être regardée comme soustractive , ou vice versa; et l'on peut, en rectifiant l'énoncé, être cônduit à une valeur positive numériquement égale à la valeur négative trouvée en premier lieu.

Pour opérer cette rectification dans l'énoncé, on remarque que, si l'on a trouvé , par exemple , la valeur

et qu'on change x en —x dans l'équation du problème , les calculs demeureront les mêmes, à l'exception du signe de x ; en sorte qu'on parviendra à l'équation . q ' , J '

— x= — 6 , ce qui revient à x=G .

Ainsi donc, on changera x en — x dans l'équation du problème ; il sera facile alors de reconnaître le changement qu'il faudrait faire subir à l'énoncé pour qu'il conduise à l'équation ainsi modifiée, au lieu de conduire à l'équation primitive.

PBEM1ËHE PARTIE. — CHAPITRE IV.