Soit proposé, par exemple, ce problème

Un ouvrier fait, par jour, a mètres d'une certaine étoffe; un second ouvrier en fait b mètres dans le même temps. Le premier a déjà fait c mètres, et le second en a fuit m de plus. On demande dans combien de jours les deux ouvriers en auront fait autant t'un que l'autre.

Désignons par x le nombre de jours demandé. Le premier ouvrier faisant a mètres par jour, eh fera en x jours un nombre marqué par le produit de a par x , c'est-à-dire ax ; au bout de ce temps, le nombre total do mètres qu'il aura fait sera donc c-\-ax . Le second ouvrier faisant b mètres par jour, én feraen x jours un nombre marqué par bu-, et, au boutde ce temps, le nombre total de mètres qu'il aura fait sera c-\-m-\-bx . Or, d'après l'énoncé , ces deux nombres doivent être égaux ; on doit donc avoir l'équation

e-\-ax = c-\-m-\-bx [1] d'où l'on tire x = ~-^ [S],

c'est-à-dire que , pour obtenir le nombre de jours demandé , il faut diviser l'avance du second ouvrier par la différence entre les nombres de mètres que les deux, ouvriers font par jour ; résultat auquel on aurait pu d'ailleurs parvenir directement. Ou remarquera de plus que la donnée c n'a servi que dans la mise en équation, et a complètement disparu du résultat, qui en est par conséquent indépendant.

Sil'onfaitleshvpothèsesparticub'Ères a=8 , 6=5, m— 12 , on trouve

Mais si l'on fait, au contraire, les m = 12 , on trouve

X ~ 5—8 0U iC= ~"* ■ Cette valeur négative indique qu'il y a alors un vice dans l'énoncé. Et en elFet , le premier ouvrier travaillant moins vite que le second , ne pourra jamais rattraper celui-ci , .qui a une avance de 12 mètres. La quantité x , qu'on avait regardée comme additive, doit donc être regardée comme suustractive. Changeons donc x en — x dans l'équation [1] du problème, il viendra:

v— ax=c-\-m — bx [3], et l'on voit facilement que pour que l'énoncé conduise à l'équation ainsi modifiée, il faut poser la question en ces termes :

DISCUSSION DLS PROBLEMES nu I» il LU LE 11 DEGRÉ. 95

Combien s'est-il écoulé de jours depuis eelui où le nombre de mètres faits par chacun des deux ouvriers était le même? En résolvant l'équation [3] on obtient :

et, si l'on met pour a , b , m , les valeurs S , 8 , 12 , qui avaient conduit tout à l'heure à une valeur négative, on trouve :

- = 8=5 ° U X=A ■ Remarque. Si l'on avait, dès l'abord, regardé le nombre de jours x comme susceptible d'être compté indifféremment vers l'avenir ou vers le passé, c'est-à-dire si on avait considéré 3; comme une quantité algébrique (111), on aurait pu sur-le-champ admettre la valeur négative, sans être obligé de modifier l'énoncé, autrement qu'en remplaçant ces mois dans combien de jours par les mots depuis combien de jours, et le mot sera par les mots a été, ce qui est simplement une nécessité de langage. Et la valeur négative trouvée pour x eût indiqué que l'époque cherchée était antérieure au lieu d'être postérieure à l'instant que l'on prend pour point de départ.

121 . III. Il peut arriver que , par suite des valeurs particulières iiltribuées aux données, le numérateur B de la valeur

devienne nul, sans que le dénominateur le soit, ce qui donne:

Une valeur de cette forme n'est autre que zéro; car zéro divisé par une quantité quelconque, donne évidemment pour quotient zéro. Si l'on conservait quelque doute à cet égard, il suffirait de remonter à l'équation

qui se réduit alors à Àa; — 0 ,

et ne peut être satisfaite que par là valeur

car, pour annuler un produit tel que kx , il faut annuler un de ses (acteurs ; et le facteur A est supposé différent de zéro. Le problème précédent conduirait à une valeur nulle si l'on faisait

96 PBEMlÉBt PARTIE. — CHAPITRE IV.

l'hypoihÈse particulière wi = 0 . Et, en. effet, les quantités d'ouvrage faites par chaque ouvrier étant alors égales, la condition indiquée par l'énoncé se trouve remplie dès Je jour même, et par conséquent le nombre de jours cherché est zéro.

122. IV. Il peut arriver que les hypothèses faites sur les données annulent le dénominateur A , sans annuler le numérateur, et qu'on ait:

Remarquons d'abord que l'on ne suit pas o priori si une pareille expression pourrait être légitimement déduite dol'équation \ar=B; car il faut pour cela diviser ses deux membres par une quantité nulle, ce qui n'est point permis en général (64). Or, cette équation se réduit alors à 0=B , et ne saurait par conséquent être satisfaite par aucune valeur de x . L'hypothèse A=0 répond donc h un cas d'impossibilité.

Pour voir ce que peut signifier en lui-même le symbole — , supposons d'abord que A , au lieu de devenir nul, prenne seulement une valeur très-petite, par exemple, 0,001 ; on aura

*=ô^r ou *= 1000B ■

Supposons en second lieu que, par de nouvelles hypothèses, le dénominateur A prenne une valeur encore plus petite , 0,000001 par exemple ; il viendra

Si A prenait une valeur plus petite encore , par exemple , 0,000000001 , on aurait

On voit qu'à mesure que le dénominateur A acquiert des va leurs de plus en plus petites, la valeur 5 prend au contraire des

valeurs de plus en plus grandes. Si donc on attribue à A la valeur zéro, c'est-à-dire une valeur moindre que toute quantité assignable , la fraction j prendra au contraire une valeur plus grande que toute quantité assignable ; c'est ce qu'on appelle une valeur in-

(miment grande, ou infinie. On dit, ea conséquence , que l'expression 5 es t le symbole de l'infini.

Si, par exemple, dans le problème du n° 120, on fait l'hypothèse o== b , on trouve x — jf 'Or, si l'on remonte à l'énoncé

du problème , il est facile d'interpréter ce résultat. Au lieu do supposer a = b , c'est-à-dire au lieu de supposer que les deux ouvriers font chaque jour le même nombre de mètres , supposons d'abord que a surpasse b d'une très-petite quantité , c'est-àdire que la quantité d'ouvrage faite journellement par le premier ouvrier ne surpasse que de très-peu celle que fait journellement le second ; il est clair qu'il faudra au premier ouvrier un temps considérable pour rattraper le second. Si donc l'excès de a sur b ■-est plus petil que toute quantité assignable, il faudra au premier ouvrier pour rattraper le second un temps plus long que toute quantité donnée; c'est-à-dire que si a = b , le temps cherché sera infini.

Une solution infinie, ou de la forme ? , est donc un caractère d'impossibilité.

Rbuàeque I. Puisque cette impossibilité se manifeste sur l'expression ? aussi bien que sur l'équation A.«='B d'où on l'a

déduite, on voit que cette déduction peut être regardée comme légitime , bien qu'elle consiste à diviser par A. , c'est-à-dire alors par îéra , les deux membres de l'équation.

Remarque II. Il est utile de remarquer que les solutions infinies peuvent être en même temps négatives. Si , par exemple, dans le problème du n° 120 , on fait l'hypothèse a<6 , on a vu que la valeur de ce devenait négative ; c'est-à-dire que si l'on suppose que le premier ouvrier travaille moins vite que le second, ce n'est qu'à une époque antérieure qu'ils ont pu avoir fait autant d'ouvrage l'un que l'autre. Or, cette époque antérieure sera d'autant plus éloignée que l'excès de a sur 6 sera plus petit ; si donc on suppose cet excès nul, ou a=b , les deux ouvriers n'auront pu avoir fait autant d'ouvrage l'un que l'autre qu'à une époque antérieure infiniment éloignée. En sorte que la solution est à la fois négative et infinie. On trouve , en effet,

Ce caractère d'impossibilité est de même nature que l'infini positif ; il n'y a do différence que dans le sens. ■>•■'* ï

Uti PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV. -

Remarque III. On représente quelquefois l'infini positif par le signe +00 et l'infini négatif par — ce .

125. V. Il peut arriver enfia que les hypothèses faites sur les données représentées par des lettres, annulent à la fois !e numérateur B et le dénominateur A de la valeur de l'inconnue x , auquel cas cette valeur prend la forme :

' Comme on ignore ce que peut signifier un pareil symbole , et qu'on ne sait d'ailleurs s'il pourrait être légitimement déduit de l'équation \x = Q , puisqu'il faudrait diviser ses deux membres par zéro, il faut remonter à l'équation même.

Or, dans le cas où A et B sont nuls , cette équation est satisfaite d'elle-même, quelle que soit la valeur qu'on attribue à x , puisque les doux membres sont tous deux égaux à zéro. Le problème admet donc autant de solutions qu'on voudra ; et par conséquent l'expression - est un symbole d'indétermination.

Si, par exemple, dans le problème du n° 120, on fait en même temps les deux hypothèses m = 0 et a^b , la valeur de x prend la forme ^ . Or, il est clair en effet que si aucun des deux

ouvriers n'a d'avance sur l'autre, et s'ils font chaque jour le même nombre de mètres, le nombre total de mètres faits par cliacun d'eux sera continuellement lu même, et qui; jnir eni^équent toute valeur imaginablede x sera une solution du problème.

On peut, en étudiant l'expression g en elle-même, reconnaître également une quantité indéterminée. Concevons en effet une fraction algébrique dont les deux termes décroissent en

conservant entre eux le même rapport. Ce rapport restant, par hypothèse, le même, quelque petits que soient ses deux termes en valeur absolue, on doit admettre qu'il restera encore le même à la limite, c'est-à-dire quand les deux termes seront nuls et que la fraction sera réduile à la forme ^ . Cette forme peut donc représenter le rapport dont nous parlons. Mais, comme ce rapport est quelconque d'ailleurs, on voit que g peut représenter telle quantité que Ton voudra.

Remarque I. Puisque l'indétermination se manifesté aussi bien

DISCUSSION DES l> KO BLÊMES DU PREMIER DEGRÉ. S9

sur l'expression g que sur l'équation kx=B d'où elle est déduite, on voit que la déduction se trouve légitimée, bien qu'elle consiste alors à diviser les deux membres de l'équation par zéro.

Remarque II. II faut observer toutefois que la valeur de x peut prendre la forme jj , sans qu'il y ait indétermination réelle, lorsqu'on a négligé de supprimer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Supposons, par exemple, qu'un problème ait conduit à la valeur — 2o6— 3ft'

et qu'on fasse les hypothèses particulières a = b et b = 2 , on

ce qui semble indiquer, dans ce cas, une indétermination du problème. Mais si l'on observe, que les deux termes de la valeur de x sont divisibles par a— 36 , et qu'on effectue cette division , il restera

a + ft

et si l'on fait, dans cette valeur ainsi simplifiée, les hypothèses o = o et b = 2 , qui avaient donné ^ , on trouve

valeur parfaitement déterminée.

On voit combien il est important de supprimer les facteurs qui peuvent être communs aux deux termes de la valeur de l'inconnue, puisque, indépendamment d'une plus grande complication dans l'expression de celte valeur, ils peuvent induire en erreur dans certains cas particuliers de la discussion du problème.

g III. Discussion des problèmes du premier degré à deuï inconnue!.