Soient les deux équations

ax+by=c pli a'x + b'y = c' [2].

Pour en tirer les valeurs de x et de y , nous allons employer

la méthode des coefficients in dé terminés , déjà indiquée au n° 85. Multiplions la première équation par une indéterminée m et retranchons-en la seconde membre à membre , il viendra

(ma — a') a: + (mb — b')y = me — c' [3}.

On a démontré au it° 81 que le système des deux équations proposées peut être remplacé par le système formé de l'une d'entre elles et de l'équation [3]. Or, on peut profiter de l'indétermination de m pour tirer à volonté de l équation [3], soit la valeur de x , soit celle do y .

Si , par exemple , on égale à zéro le coefficient de y , et qu'on pose

mb — b'~0 d'où m=^ ,

l'équation [3] se réduit à

„ , ,, . wi« — tf

{ma — d)x==mc — c' d'où ■ r = ffta ~j >

ou , en mettant pçur m. sa valeur ^ ,

Si , au contraire , on égale à zéro le coefficient de x , et qu'on pose

ma— n'=0 d'où »>=- , l'équation [3] se réduit à

(mb— b')y7=mc— c' d'où y= ^~^ ,

ou , en mettant pour m sa valeur - ,

■- ' ' â ' a'c — ac? ac' — c«' fIj -,

V ~ , .ra'b—ab'^aV—bu' L J '

-ôi— o

en changeant les signes au numérateur et au dénominateur, afin de donner à la valeur de y le même dénominateur qu'à celle de x .

123. Il y a un moyen mnémonique très-simple de se rappeler ces valeurs générales, ou de les reformer directement au besoin.

On écrit .sur une même ligne les deux combinaisons ab et ha ; on les sépare par le signe — , et dans chaque terme on accentue la seconde lettre , ce qui donne ab' — bd ; on a ainsi le dénominateur commun aux deux valeurs. •

Pour former le numérateur de la valeur de x , il suffît de remplacer, dans ce dénominateur, les lettres a et a' , par les lettres c et ef ; c'est-à-dire chaque coefficient de x parle terme indépendant des inconnues qui lui correspond; on obtient, en effet, ainsi cb' — bc' , qui est bien le numérateur de la valeur de x .

Pour former le numérateur de la valeur de y , il faut remplacer dans le dénominateur les lettres 6 et b' par les lettres c et c 1 , c'est-à-dire chaque coefficient de y par le terme indépendant des inconnues qui lui correspond ; on obtient ainsi , en effet , ad — ca! , qui est bien le numérateur de la valeur de y .

128. On peut se servir de ces valeurs générales pour résoudre deux équations particulières. Il suffit pour cela d'y remplacer les lettres a , b , c , a' , b' , e' par leurs valeurs. Soient, par exemple, les deux équations 5ar-r-2y = 33 7x — 3y = 23 déjà traitées au n° 80. On aura , dans cet exemple , „=5, 6 = 2, c = 33 , a' = 7 , ù' = — 3 , c' = 23 . Par suite, en substituant dans les valeurs générales [4] et [5] on trouvera

33X(— 3)— 2XSt3 — 99— *6 — I45 r X ~ 5X(— 3)— 2X7 —15 — H — 29 J '

5X23—33X7 115— 231 — 116 y— 5X(— 3J— 2X7 — — 15— U~— 29 ' comme au numéro cité.

Mais il sera , presque toujours , préférable de traiter directement chaque exemple particulier. Le principal usage des valeurs générales est dans la discussion que nous allons faire.

127. Cette discussion a pour but d'examiner les formes les plus remarquables que peuvent prendre ces valeurs lorsqu'on vient à faire des hypothèses particulières sur la valeur des lettres qui y entrent,

I. D'abord, si les hypothèses particulières donnent pour x et y des valeurs positives, ces valeurs sont une réponse directe à la question, et ne donnent lieu a aucune remarque.

II. Si les valeurs particulières attribuées aux lettres donnent pouf l'une des inconnues ou pour chacune d'elles une valeur négative, il pourra arriver que ce soit le signe d'une impossibilité dans le problème; c'est ce qui aura lieu si la quantité dont il s'agit n'est susceptible par sa nature d'être comptée que dans un seul sens. Dans ce cas on suivra la marche déjà indiquée à l'occasion des problèmes à une seule inconnue : on changera dans les équations du problème le signe de l'inconnue pour laquelle on aura trouvé une valeur négative, et l'on cherchera le changement qu'il faut introduire dans l'énoncé pour qu'il conduise aux équations ainsi modifiées au lieu de conduire aux équations primitives. Il pourra arriver aussi que la valeur négative trouvée puisse être admise comme réponse à la question ; c'est ce qui aura lieu si la quantité dont il s'agit est susceptible d'être comptée indifféremment dans deux sens opposés.

Nous allons donner des exemples de ces deux cas.

128. Problême. Vu ouvrier a travaillé une première fois dam une maison pendan t 7 jours , sur 3 desquels il a eu avec lui tin apprenti, et il a touché SQfrahcs . Une seconde fois, lemémeouvrier a travaillé pendant II jours , sur 4 desquels il a eu avec lui son apprenti, et il a touché 47 francs . On demandece que gagnait l'ouvrier par jour, et ce. que hii rapportait lu travail de son apprenti.

La traduction de cet énoncé conduit immédiatement aux deux équations

7a?-f-3y=29 \lx-\-4y = A7 ,

dans lesquelles x représente le gain journalier de l'ouvrier, et y ce que lui rapporte par jour le travail de son apprenti.

En éliminant y on trouve < x = 5 ; et cette valeur, mise pour x dans la première équation , donne

35 + 3y = 29 ; d'où y=-—1 , résultat inadmissible.

Changeons donc le signe de y dans les équations du problème, qui deviendront • .

7x—Zy=19 , llx—4y = 47 ....

On voit que les quantités 3y et 4y , qu'on avait d'abord regardées comme additives, doivent être au contraire regardées comme soustractives ; c'est-à-dire que l'apprenti, au lieu de rapporter chaque jour a son matlre une somme y , lui coûte nu contraire une certaine somme. Il faudra donc poser la question de

DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER firent. 103

cette manière : On demande ee que gagnait l'ouvrier par jour, et ce que lui coûtait son apprenti.

Avec cette modification, on trouve x = 6 et y=t=2 , qui répondent alors directement à l'énonce. "*

129. Problème. Veux courriers parcourent la Même roUie; l'un fait a kilomètres par heure, l'autre fait h kilomètres dans le même temps ; le premier a passé à minuit en unpoinl A 'situé sur la roula; le second, h heures après, a passé en un point B situé à à kilomètres au delà du point A . On demande le lieu et l'heure de leur rencontre.

Nous supposerons d'abord que les deux courriers marchent dans le même sens, de X ■ vers T. Soit R le lieu de la rencontre, supposé situé au delà du point B . Désignons par x la dis-r tance BR , etpar y lenombred'heuresécouléesdepuisminuit jusqu'à l'instant de la rencontre. -

Le premier courrier aura parcouru la distance- Ait ou d-\-x en y heures ; et comme il fait a kilomètres par heure i ou aura l'équation

Le second courrier aura parcouru la.distanee Bit du x en y — Aheures ; et comme il fait /"kilomètres par heure, on aura . pour seconde équation

Éliminant x , on obtient

ay = d-\-bfy — h) , d'où y=~z^ ^

„ , d — bh — ah-\-bh d — ah

Par suite y — A= ; — — — = — — j- :

eteoiln "=^Er M-

Si l'on a o>ù et rf>o/i , on aura à plus forte raison d>bh ; les termes dos valeurs de x etde y étant positifs, ces valeurs seront positives elles-mêmes, et répondront directement à la question. Si, par exemple, on suppose a=l2 l , 0=9* , d=63 k et k=4 heures , ôn trouve

x—ifr et y=&- .

C'est-à-dire que les courriers se rencontreront à 45 kilomètres au delà du point B , et que la rencontre aura lieu à 9 heures

104 ' PI1EMIÉBE PARTIE. — CHAPITRE Iï.

Supposons, au coDtraire, que l'on ait ay-b et d^>bh ; mais en même temps r/< ah , on trouvera pour y une valeur positive , mais pour x une valeur négative. Comme la distance BR est susceptible d'être comptée indifféremment a droite ou à gauche du point B , c'est-à-dire comme x est une quantité algébrique, nous savons que les valeurs négatives n'ont rien d'absurde et peuvent s'interpréter; ayant admis comme positives les valeurs comptées vers la droite, nous admettrons comme négatives celles qui seront comptées vers la gauche. La solution s'interprétera donc en disant que la rencontre, au lieu de se foire nu delà du point S se fera en deçà de ce point, en R' par exemple.

C'est ce qui doit être, en effet ; car ah étant le chemin parcouru par le premier courrier dans h heures , la condition <f-<aft indique que, à /(heures aprèsminuit, ïlauraparcouru une distance plus grande que d , et dépassé par conséquent le point B au moment où le second courrier y arrive ; et comme il va plus vile que celui-ci , la rencontre ne pourra avoir lieu au delà du point B .

Soient, par exemple, a=W , 6=9*, d=42 l et h— A , on trouvera

y—1 et a;=— 18* ; e'est-a-dire, d'après l'interprétation précédente, que la rencontre aura lieu a 2 heures du matin , et à 1S kilomètres en deçà du point B.

On arriverait aux mêmes résultats en traitant la question directement dans l'hypothèse d'une rencontre entre A et B . Soit, en effet, R'. le point de rencontre, et faisons BR'=a; . Lë chemin parcouru par le premier courrier sera AR' ou d — x ; on aura donc pour première équation ay=d — x .

Le chemin parcouru par le second courrier sera BR' ou x ; quant au temps employé, ce né sera plus y — h , mais bien h — y; car pour que la rencontre ait lieu entre A et B , il faut nécessairement que l'instant de la rencontre précède celui où le second courrier arrive en B , c'est-a-dire que y doit être moindre que A . On aura donc l'équation 6 (À -50=* .

Or, ces deux équations pourraient se déduire des équations primitives et [2], en y changeant x en — * ; elles conduiront donc aux mêmes valeurs , sauf le signe de 1 , Si l'on faisait les hypothèses n>6 et d<6A , on aurait à

plus forte raison d<oA , et les valeurs de x et de y seraient toutes deux négatives. On trouvera l'interprétation de ce résultat en regardant à son tour y comme une quantité algébrique, c'est-à-dire en supposant que y désigne un nombre d'heures susceptible d'être compté indifféremment avant ou après minuit; la rencontre aurait lieu alors un certain nombre d'heures avant minuit, et à gauche du point B ; le point de rencontre serait même situé à gauche du point A , en R" , par exemple. Cela résulte de ce que la valeur absolue de x , qui est alors

b(ah — d) bah — bd

est plus grande que , puisqu'on a bh>d ; c'est-àdire qu'elle est plus grande que ^ ou que d .

C'est ce qu'on voit encore en remarquant que bh est le chemin parcouru dans A heures par le .second courrier; et que, puisque bh est plus grand que d , le second courrier était, à minuit, à gauche du point A , et que, par conséquent, la rencontre n'a pu avoir lieu que de ce cote.

Si,par exempte.ona a=12 t , i>=9* , d=3& et h=4 ; ontrouve y = — 2 et x= — 54 l , c'est-à-dire, d'après l'interprétation précédente , que la rencontre a eu lieu 2 heures avant minuit, el à 54 kilomètres à gauche du point B (ou à 24 kilomètres à gauche du point A ).

On peut encore vérifier ces résulfats en traitant directement le problème pour le cas où la rencontre serait supposée avoir lieu en un point R" situé à gauche du point A .

En effet, soient x la distance BR",et y le nombre d'heures écouiées depuis l'instant de la rencontre jusqu'à l'arrivée du premier courrier en A , c'est-à-dire jusqu'à minuit. Le chemin parcouru par le premier courrier en y heures sera AR" ou a; — d ; on aura donc pour première équation

Le chemin R*B ou x aura été parcouru par le second courrier dans un temps qui se compose de y-\-h , puisque le second courrier n'arrive en B que A heures après que le premier est arrivé en A ; on aura donc pour seconde équation aty + h) = x .

Or, ces deux équations se déduisent des deux équations primï-

tives [1] et [2] en y changeant à le fois x en —x et y en — y . Elles donneront donc les mêmes valeurs avec des signes contraires.

150. BemmiqdeI. Nous avons supposé jusqu'ici que le second courrier passait en B , un nombre h d'heures après que le premier a passé en A ; on pourrait supposer que cela a lieu au contraire A heures avant. On va voir qu'il suffit pour introduire cette hypothèse nouvelle de changer partout A en — h ; en sorte que les formules primitives resteraient applicables si l'on regardait A comme une quantité algébrique susceptible d'être comptée indifféremment en plus ou en moins. En effet, reprenons le premier cas où la rencontre a lieu en II ; on aura comme plus haut

Le temps employé par le second courrier à parcourir l'espace BR

ou x , sera alors h-\-y , puisque le second part de B , un

nombre h d'heures avant que le premier parte du point A ; on aura donc pour seconde équation

équation qui ne diffère de celle obtenue dans le numéro précédent qu'en ce que — h est remplacé par + A , ou que A est changé en — h- . Il suffira donc pour obtenir les valeurs de x et y de changer, dans celles obtenues plus haut; le signe des termes où entre h , ce qui donnera

131. Remarque H. Nous avons supposé jusqu'à présent que le premier courrier va plus vite que lo second, ou qu'on a a>b ; on pourrait faire l'hypothèse contraire. Le dénominateur des valeurs de x et do y devenant alors négatif, les valeurs positives trouvées plus haut deviendraient négatives et les négatives deviendraient positives. On trouverait d'ailleurs facilement l'interprétation de tous ces résultats ; nous ne nous y arrêterons point.

Mais nous avons admis jusqu'ici que les deux courriers marchaient dans le même sens; voyons si les formules primitivement obtenues seraient encore applicables au cas où les deux courriers marcheraient à la renconte l'un de l'autre.

Admettons , par exemple , que le premier courrier allant de A vers B etlesecondde B vers A la rencontre se fasse en R' entre A et B . Soit x la distance BR' ; et supposons que le second courrier arrive en B , un nombre h d'heures après que

ay = d ~\- x

biy +h) = K

et .-«î±# .

le premier est arrivé en À . Soit enfin, comme ci-dessus, y le nombre d'heures écoulées depuis le passage du premier courrier en A. , c'est-à-dire depuis minuit, jusqu'à l'instant de la rencontre.

Le chemin parcouru en y heures par le premier courrier sera AR' ou d — x ; on aura donc

Le chemin x sera parcouru par le second courrier dans un temps marqué par y — À , comme dans le premier cas; on aura donc pour seconde équation

De ces deux équations, ou tire

d±bh b(d-ak) y-TTà Gt X ~ a+b • Or, ces valeurs pourraient se déduire des valeurs primitives en y changeant le signe de b et celui de x ; car elles donnent alors

ri+6A -~b@-ah) b{d-ah)

On voit donc que les valeurs primitives seraient applicables au cas qui nous occupe , si , d'une part , on continuait à regarder x comme négatif lorsque celle distance est comptée à gauche du point B , etsi.del'autre, ayant regardé b comme positif lorsque ce nombre de kilomètres parcourus dans une heure par lo second courrier représentait un chemin fait vers la droite, on convenait de regarder b comme négatif lorsqu'il représente un chemin fait vers la gauche.

Il résulte de tout ce que nous avons dit dans ces trois derniers numéros que les formules établies pour un cas particulier du problème <me nous avons en vue deviennent applicables à tous les cas de ce problème, lorsqu'on y regarde les quantités x , y , À , b , elc., comme dos quanti tés algébriques, c'est-à-dire comme susceptibles d'être comptées indifféremment dans deux sens opposés. Et toutes les fois que les quantités considérées sont effectivement de cette nalure, les formules établies dans un cas particulier deviennent applicables à tous ; c'est là une vérité qui ne peut être directement démontrée, mais qui a été vérifiée un assez grand nombre de fois pour qu'on puisse la regarder comme bien établie.

Nous allons maintenant reprendre la discussion des valeurs générales du n- 124 :

x cb' — bc' ftt ( ac' — co'

x ab' — ba' e " ab' — ba' '

103 PBEMIBBE PARTIE. — UIAP1TBE IV.

132. III. Nous venons d'examiner, dans ce qui précède, tous les cas où aucun des deux termes de ces valeurs générales ne devient nul. Il nous reste à examiner ceux dans lesquels l'un de ces termes ou tous deux a la fois prennent la valeur zéro.

Si l'un des numérateurs prend seul la valeur de zéro, celui de x par exemple, il en résulte une valeur nulle pour x , ce qui n'offre aucun caractère d'impossibilité.

Si les deux numérateurs sont nuls, sans que le dénominateur commun le soit, x et y sont nuls en même temps. C'est ce quia lieu quand on fait les hypothèses c=0 et tf=0 . H est clair d'ailleurs que cela ne peut avoir lieu que dans ce cas. Car les valeurs x = 0 et y = 0 rendant nuls les premiers membres des équations

nx-\-by=c et a?x+b'y=e r ,

ces équations ne peuvent être satisfaites par ces valeurs qu'autant que les seconds membres sont nuls.

135. IV. Si le dénominateur commun prend la valeur zéro, sans quelesnumérateurssoientiiuIs,Iesvalcursde x ctde y prennent la forme ? que nous avons déjà rencontrée (123) dans la

discussion des problèmes à une seule inconnue, et qui s'est présentée à nous comme le symbole de l'infini ou d'une impossibilité.

Comme on ne sait pas, a priori, si cette valeur peut être légitimement déduite des équations proposées, puisqu'il faudrait pour cela, quelle que fût d'ailleurs la méthode employée, diviser les deux membres d'une équation par zéro , il faut remonter aux équations mêmes :

ax-\-by=c et a'x-\-b'y=c'.

Pour les mieux comparer , multiplions la première par b 1 et la seconde par A ; elles deviennent

ab'x'-\-bb'y=cV et a'bx+bb'y=bc' [A].

Or, si le dénominateur des valeurs de x etde y estnul, on a

ab' — ba'=0 ou ab'=ba' ; dans les deux équations [A] les premiers membres sont donc identiques sans que les seconds le soient ; ces deux équations et par conséquent les deux proposées sont donc incompatibles.

Remarque. L'impossibilité élant manifeste sur les équations comme sur les valeurs qui en sont déduites , on peut regarder la déduction comme légitime.

134. Prenons pour exemple le problème des courriers. Si l'on suppose a = b dans les valeurs de x et de y du n" Ï29, on trouve

si I'od fait la môme hypothèse dans les équations primitives ay=d-\-x et %— h)=x

elles deviennent

ay = d-\-x et a(y — h)=x ou ay=ûft-|-.r ; sous cette forme , l' incompatibilité est manifeste , puisque l'on a les mêmes premiers membres et des seconds membres différents.

En considérant le problème en lui-même , l'impossibilité n'est pas moins évidente. Car, si la vitesse du premier courrier surpasse de très-peu celle du second , il lui faudra un temps considérable pour le rattraper, et la rencontre n'aura lieu qu'à une distance Iresgrande. Si donc les deux vitesses deviennent égales , on peut dire (ju'il faudra au premier courrier un temps infini pour rattraper le second, et que la rencontre aura lieu à une distance infinie.

13B. V. Si les deux termes do la valeur de l'une des inconnues deviennent nuls, il en sera en général de même des deux termes delà valeur de la seconde, et ces deux valeurs se présenteront sous la forme , qui , dans les problèmes à une seule inconnue , est un caractère d'indétermination (123).

Supposons , par exemple , que la valeur générale de x se présente sous cette forme , et qu'on ait à la fois

cb' — bc'=0 et ab'—ba' — O , ou cb'=bc' et ab'=ba' .

En divisant ces relations membre à membre, et supprimant les facteurs communs, on en tire

, ou ac'=a'c , ou ac 1 — a'c=:0 ,

c'est-à-dire que le numérateur de la valeur de y est nul; et comme elle a le même dénominateur que celle de x , il s'ensuit

qu'elle prend aussi la forme - .

Comme on ne sait si ces valeurs peuvent être légitimement déduites des équations , puisqu'il faudrait pour cela diviser les deux membres d'uno même équation par zéro, il faut remonter aux

iio

PfiEJUÈBE PAHTIE. ~r CHAPITRE IV.

équations mômes, ou plutôt aux équations [A] que nous en avons déduites.

Or, en comparant ces équations , on reconnaît qu'elles sont identiques , puisque ab' est égal à a'b , et cb' a bc' . Ces deux équations, et par conséquent les deux proposées, rentrent donc l'une dans l'autre; on n'a, pour résoudre le problème, qu'une même équation sous deux formes différentes; il est donc indéterminé. ,..

Remarque. L'indétermination se manifestant sur les équations proposées comme sur les valeurs de la forme g qui en sont' déduites, on peut regarder la déduction comme légitime.

136. Prenons encore pour exemple le problème des courriers. Si l'on suppose à la fois u=t> et d~bh , auquel cas la valeur de y se présente sous la forme ~ , on déduit de ces relations cette autre relation très-simple d — ak . Par suite la valeur de x prend aussi la forme ^ .

Si l'on remonte aux équations mêmes

ay=d-%-x et b(y—h)=x , elles deviennent , en ayant i''gard aux hypothèses ci-dessus ,

ay=d-\-x et ay = bh-\-x ou ay = d-\-x , c'est-à-dire qu'elles deviennent identiques.

On se rend également compte do l'indétermination en considérant le problème en lui-même. On suppose, en effet, a = b , c'est-à-dire que les deux courriers ont la même vitesse. On suppose de plus d = bh , c'est-à-dire qu'il faut k heures au second courrier pour parcourir la distance d ;. en d'autres termes, il était en A , un nombre A d'heures avant d'arriver en B . 11 se trouvait donc en A à minuit , en même temps que le premier courrier; et comme ils ont la même vitesse, ils doivent se trouver et s'êlre trouves ensemble en tous les points de la route, c'est-à-dire que le problème qui consiste à trouver le lieu et l'heure de la rencontre est un problème indéterminé.

Remarque. H est bon de remarquer que, quoique le problème soit indéterminé lorsque les deux équations rentrent l'une dans l'autre, il n'en faudrait pas conclure que les valeurs de x- et de y sont arbitraires. Elias sont évidemment liéespar l'équation unique qu'a, fournie le problème,..

Ainsi, dans l'exemple des courriers , la distance x et le nombre d'heurea y , restent liés par l'équation

ay = d-{-x d'où x — ay = d .

On pourra bien attribuer à y , par exemple, telle valeur qu'on voudra; mais il faudra donner à x la valeur qu'on tirera de cette équation.

137. VI. U y a un cas où la valeur de l'une des inconnues prend la forme ~ } tandis que l'autre prend la forme ~ . Ce cas se

présente quand les hypothèses introduites annulent à la fois les coefficients d'une même inconnue dans les deux équations.

Si , par exemple , on suppose à la fois a = 0 et a' = 0 , les valeurs générales de x et de y deviennent cb'—bc' 0

Si l'on remonte aux équations primitives , on voit qu'elles se réduisent alors à

by = c et b'y = e? , Équations incompatibles , puisqu'elles donnent pour y deux valeurs g et p qui ne sont point supposées égales. En même temps , sous un certain point de vue , il y a aussi indétermination , puisque , x n'entrant plus dans ces équations , il est permis d'attribuer a cette inconnue telle valeur que l'on voudra. Mais on ne peut concilier clairement ces deux caractères que pur des considé- ["iliijns L^o!initri-:]iins qui ne sauraient IruuvtT place ici*.

Cette circonstance se présente dans le problème des courriers quand ou suppose à la fois a = 0 et b =0 , c'est-à-dire que la vitesse de chaque courrier est nulle. On trouve alors

Il est évident, par les hypothèses mêmes, que le problème est impossible si d n'est pas nul, c'est-à-dire si les courriers, devenus immobiles , ne sont pas au même point.

* Les équations by = c et V'j = c' , représentent Jeux parallèles;! l'axe

des x ; le |ioinl île rencontre a .1 ■ une aliiriïn- inlinir. Uni* comme ce point

de rencontre n'esl pas plutôt sur l'une des parallèles i[ite ssir l'autre , ni même que sur loule autre droite parallèle aux deux premières, l'ordonnée de ce point est indéterminée. v

Remarque. Si l'on a à la fois a = 0 , d = Q et bc" = cb' , les valeurs de x et de y se présentent toutes deux sous 4a

forme - ; mais il est bon de remarquer que, pour la valeur de y , l'indétermination n'est alors qu'apparente. En effet, de la relation bd=^cb' on tire <?=^ ■ Introduisons cette valeur dans l'expression générale de y ; elle deviendra

' b ___ acb'~bca! e{ab'—ba')

y ~ ab' — ba' ~ b(ub'—ba')~ b(ab'—ba') ' ou, en supprimant le facteur att — ba' communaux deux termes,

ce qui devait être, puisque ce cas ne diflere du précédent qu'en ce que les quantités | et sont supposées égales,

S IV. Discussion partielle des problèmes du premier degré à trois inconnues.

158. Comme cette discussion est beaucoup plus longue et a beaucoup moins d'intérêt que celle des problèmes à deux inconnues ; comme d'ailleurs elle ne peut être clairement exposée sans le secours de certaines considérations géométriques *, nous nous bornerons à former les valeurs générales des inconnues, et à signaler quelques cas particuliers dignes de remarque. Soient les trois équations :

ax + by+cs=d [t], a'x + b l y+ e 'z'-=d' [2], ^+l/'y+c" s =d" [S].

Pour obtenir les valeurs de x , y et s propres à vérifier à la fois ces trois équations , nous emploierons encore la méthode des coefficients indéterminés. Multiplions la première équation par une indéterminée m , la seconde par une indéterminée n ; ajoutons membre à membre ces deux équations, et retranchons-en membre à membre la troisième , il viendra

(fltn — a")x -j- {but -J- b'n — f/')y ~\- {cm -j- c'n—c")z

^dm+fïn—g 1 [4].

■ * la résolution de trois équations du premier defrré à trois inconnues revient à la recherche du point d'intersection de trois plans.

DISCUSSION DES PROBLÈMES nU PREMIER DEGRÉ. 113

Le système dûs trois équations proposées pourra être remplacé parle système des deux premières et de l'équation [4], Pour le faire voir, remarquons que si, afin d'abréger l'écriture, on suppose qu'on ait fait passer tous les termes de chaque équation dans un seul membre , et qu'on représente les trois proposées par

A=0 , A'=0 , A"=0 , l'équation [4] pourra être représentée par A»i+,À'«— A"=0.

Or, tout système de valeurs de x , y , z qui satisfera aux trois équations proposées, annulera A , A' et A" ; donc il annulera aussi A»i + A'ît — A" ; donc il satisfera à l'équation [4]. Réciproquement : tout système de valeurs de x , y , s qui satisfera aux équations [1] , [2] et [4] annulera A et A' , et de plus Am+A'm — A" . Mais puisque A et A', sont nuls, cette dernière expression ne peut être nulle qu'autant que A" est aussi annulé ; ces valeurs satisferont donc il l'équation [3] . Donc enfin les systèmes [1] , [2] , [3] et [l] , [2] , [4] sont équivalents.

150. Cela posé , si nous voulons obtenir la valeur de x , profitons de l'indétermination de m et de n pour égaler à zéro les coefficients de y et de s dans l'équation [4] , et posons imt+b'n=b" [51, cm + c'n = e" [6].

L'équation [4] se réduira a

(am-\-a'n — d')x = dm-\-d'n — d!' ;

,, . dm-\-d'n — d"

d'où x = ±- - B [7];

valeur dans laquelle il n'y aura plus qu'à mettre pour m etpour n les valeurs tirées des équations [5] et [6] .

Or, en appliquant ici la loi de formation des valeurs générales tirées de deux équations du premier degré à deux inconnues (125), on trouve

6V c'b- - bc"-cb" -, . m ~ bc'—cb' - "-bc' — cb- Mettant ces valeurs dans l'expression [7], et multipliant, haut et bat 1 , par bo' — eb' , on obtient

. d(b"c—c"b') + d 1 (bc' — cb") — d'\b c' - cb') x ~ a{b"J —c'b')-\-a' W ~cl>') — tfbc' —cV)

[fil-

On remarquera que le numérateur de cette expression peut se déduire du dénominateur en y remplaçant « , d , n" par

d, d' , d" ; c'est-à-dire les coefficients de a; par ieatermes indépendants des inconnues; remarque qu'on aurait déjà pu faire . sur l'expression [7]. Reste donc à trouver la loi de formation du dénominateur. .

Or, en développant les calculs et changeant tous les signes au numérateur et nu dénominateur, ce qui n'altère pas la valeur de x , on trouve pour dénominateur

ab'c" — aé'V -j- ca'b"— 4<jV + bc'd'—cb'a" ; polynôme qui peut être formé de la manière suivante :

On prend les deux lettres a et b dont on forme les deux permutations ab et 6a . Dans chacun de ces produits on introduit successivement c à la troisième , a la seconde et à la première place, ce qui donne

abc , acb , cab , bac , bca , eba .

On donne alternativement à ces termes le signe -f et le signe — , ce qui donne

abc*— acb -\-6ab — bac^- bai — eba .

Enfin, dans chaque terme on met un accent à la seconde lettre et deux accents à la troisième , ce qui donne

a&'c"— acT-f- ca'b"~- fraV'-f bc'd' — c l/a!' .

La valeur de x peut donc s'écrire

' db'c'—dc'b" -f- cd'b"— bd'c" + bc'd"—cb'd' X ~ab'c"—ac'b"+va'b"—ba'c"-i r bc'a"—cb'a' En opérant d'une manière tout a fait semblable, on trouvera

V" — («:'(?'' -j- ta'd''— thi'ï' -\-dc'd' — cd'd' y ~~ab'c , '—ac'b"'-\- cu'b"— ba , c"+bc , a"—cb , a," ab'd"— ad'b"+ ddb"— ba'd" + bd'd'— db'd' ab'c' — ac 1 !)" -\- ca'b" — fio'c"-(- bc'a" — cb'a"

[ui.

Oh reconnaîtra facilement ; 1° Que les trois expressions ont le même dénominateur ; 2° que pour former le numérateur de y il fautchangor b , b' ; V en d,d',d"; 3° que pour former le numérateur de z , il faut changer c , ' c' , c" en d , d' , d"! . En un mot, pour former le numérateur de chaque inconnue, il faut, dans le dénominateur commun, .remplacer les coefficients de cette inconnue par les termes indépendants des mconmies qui leur correspondent. ......

Ces valeurs sont des formules dont on pourrait se servir pour trouver, dans chaque cas particulier, les valeurs des inconnues; mais il sera presque toujours plus simple de résoudre directement les équations particulières proposées. Le véritable usage de ces valeurs générales est dans la discussion dont nous allons toucher les points principaux.

Pour abréger l'écriture, nous représenterons les valeurs ci-dessus sous la forme ■-