ABC X =V ' »=D ' 3= D

140. I. Si les hypothèses faites sur les données rendent * , y et s positifs, ces valeurs sont une réponse directe à la question.

Si une ou plusieurs de ces valeurs deviennent négatives, et que les grandeurs qu'elles représenU'iil ix; soient pas, par leur nature, susceptibles d'élre comptées indifféremment dans deux sens opposés, on changera dans les équations proposées le signe des inconnues pour lesquelles on aura trouvé des valeurs négatives, et l'on cherchera les changements qu'il faut faire dans l'énoncé du problème pour qu'il conduise aux équations ainsi modifiées ; on sera certain alors de trouver pour les inconnues des valeurs positives.

Si l'on trouve pour les inconnues des valeurs nulles, ces valeurs n'offrant par elles-mêmes aucun caractère d'impossibilité , eljes seront encore une réponse directe à la question.

Ce cas se présenterait si l'on avait à la fois d = 0 , d' == 0 et d" = 0 , comme on peut le voir. II est clair d'ailleurs que cela ne pourra avoir lieu que dans ce cas ; car des valeurs nulles mises pour -x , y et = z , rendant nuls les premiers membres des équations proposées , ces équations ne peuvent être satisfaites par ces valeurs qu'autant que les seconds membres sont mils.

141. II. Nous avons vu que le système des trois équations proposées peut Être remplacé par le système formé de deux d'entre elles, les deux premières par exemple, et de l'équation [4] du, n° 138. Or, on démontrerait de la même manière qu'on peut substituer à l'équation [4] toute équation . obtenue en multipliant respectivement les trois proposées par dos facteurs quelconques, mais finis et différents dé zéro, et en faisant la somme des résultats obtenus.

Cela posé , multiplions la première équation par t/'c' — <fb' , là seconde par ' bc" — c&" , la troisième par b'c — db ,etajoutonsles membre it membre. Tous les termes en y s'en tre-détru iront ; il én sera de même des termes en s , et l'équation résultante se réduira a ' "' ''

. On arriverait encore au môme résultat si l'un de nos trois multiplicateurs élait nul. Supposons, par exemple, que b'c — c'b soit nul. Multiplions la première équation par b"rf — c"b' , la seconde par bd'—cb" et ajoutons; les termes en y seréduirontà

M"c'y — b'b"cy' ou à b"{bc' — c'b)y , c'est-à-dire à zéro puisque bo' — c'b est nul. 11 en sera de même des ternies en s ; et l'équation résultante se réduira encore a

: Ox=A [12]; D et A ayant alors des valeurs différentes de celles qu'ils ont quand 6c 1 — c'b n'est pas nul.

Ainsi , tant qu'il n'y aura pas plus d'un dus trois multiplicateurs " qui s'annule, on pourra remplacer le système des trois équations proposées par le système des deux premières et de l'équation [12].

On démontrerait exactement de la même manière que, pourvu qu'il n'y ait pas plus d'un des trois binômes ac' — cd , de*— c'a" ou a"c — c"a qui soit nul, on pourra remplacer le système des trois proposées par le système de deux d'entre elles et de l'équation % = B [13].

De même enfin , pourvu qu'il n'y ait pas plus d'un des trois binômes ab' — bd , a'b" — b'à' , ou d'b — b"a qui soit nul, on pourra remplacer les trois proposées par deux d'entre elles et par l'équation

Dans cette hypothèse, si le dénominateur D . des valeurs générales s'annule pour certaines suppositions faites sur les données sans qu'aucun des numérateurs A , B ou C s'annule en mémo temps, le système des équations proposées sera incompatible. Car il pourra être remplacé par deux de ces équations et par une équation telle que [12], qui est alors impossible , puisque D est nul saris que A le soit, et qu'elle se réduit par conséquent

Si les trois numérateurs A , B , C , s'annuleut en même temps que le dénominateur D , le système des équations proposées sera indéterminé; car il pourra être remplacé par deux de ces équations et par une équation telle que [12] , qui est alors satisfaite d'elle-même puisque A. et D sont nuls, et quelle se réduit

Ainsi , tant qu'il n'y a pas , dans chaque groupe de trois binômes tels que bc' — cb' -, etc., considérés ci-dessus, plus d'un binôme qui s'annule, on peut affirmer que si les valeurs de x , y ,

: , se présentent toutes, les trois sous la forme ~ , le système proposé est incompatible ; et que si ces valeurs se présentent toutes les trois sous la forme , le système est indéterminé. Si l'une se présentait sous la forme et les autres sous la

forme ^ ; il y aurait à la fois incompatibilité et indétermination ; ce qui ne peut être rendu sensible que par des considérations géo-

142. III. Si dans l'un des trois groupes de binômes , il y en a deux qui soient nuls, le troisième est nul également. Soient par

an en tire facilement

Par conséquent il en résulte

t = h " ou fcW=0 .

Dans cette hypothèse, reporlons-nous à la valeur [8] de x , trouvée au n° 139. Les trois binômes qui s'annulent sont multipliés respectivement par a , a' , a" au dénominateur, et par d , d' , d" au numérateur ; il en résulte que les deox termes se

réduisent h zéro et que x se présente sous la forme ,jj .

Il peut arriver alors qu'il y ait au moins une des deux autres

valeurs qui se présente sous la forme -g , ou qu'ellesse présentent

toutes les deux sous la forme ^ . .

Examinons d'abord le premier cas; et supposons, pour fixer les idées , que ce soit la valeur de s qui se présente sous la forme ~ . Il faut pour cela' qu'il n'y ait pas plus d'un des trois

binômes ab' — ba' , a'b" — b'a" , ou d'b — b"a quisoilnul; car, comme ces binômes sont multipliés au dénominateur par n" ,

" Exemple ; ilenc plans parallèles coupés par un troisième.

118 PREMIÈRE PAflTIB. — CHAPITRE IV.

c , c' et au numérateur par tt , d , d' , s'ils étaient nuls tous les trois les deux termes se réduiraient à zéro, ce qui est contre l'hypothèse.

Mais , s'il n'y a pas plus d'un de ces trois binômes qui soit nul , on pourra remplacer le système des équations proposées par deux d'entre elles et par l'équation impossible [14i]

D*=C . ■• Ce système est dono incompatible.

Si les valeurs de y ej de s prennent toutes deux la forme 5

en même temps que celle de x , on ne pourra rien conclure en général, et il faudra remonter aux équations proposées.

Supposons, par exemple, que les neuf binômes ab' — ba! , ab"-— oo* , b& — b'c , etc. soientnuls, ou, ce tuii revient au même , qu'on ait la suite de rapports

Les valeurs des trois inconnues se présenteront sous la forme jj .

Or, si l'on multiplie respectivement les trois équations par a'a" , par ■ on" et par aa' , les trois premiers membres deviendront identiques, tandis qu'il pourra arriver : ou que les seconds membres soient tous différents, auquel cas il y aurait incompatibilité entre ces trois équations ; ou que deux seulement de ces seconds membres soient égaux, auquel cas le système se réduirait à deux équations incompatibles; ou enfin que les trois seconds membres soient égaux , auquel eus le système se réduisant à une seule équation, il serait" indéterminé.

Ainsi , les valeurs des trois inconnues peuvent se présenter toutes

les trots sous la forme , soit que le système soit incompatible,

ou à la fois incompatible et indéterminé, ou enfin totalement indéterminé. Il faut donc, alors, recourir aux équations elles-mêmes pour reconnaître directement le cas d'impossibilité ou d'indétermination qu'elles présentent. -