CHAPITRE V

ANALYSE IXDETER.UIXËE Dt PREMIER DEGRÉ.

S t. Résolution en uombrrs entiers d'une équaljnn du premier degré à deux Indéterminées.

143. Lorsqu'un problème qui comporte n inconnues . ne fournit que n—p équations, on peut se donner arbitrairement p de ces inconnues, et en déduire les n — p autres. Le problème eit donc indéterminé. L'analyse indéterminée a pour objet de résoudre en nombres entiers les équations numériques qui renferment un nombre d'inconnues supérieur à celui des équations mêmes. Dans ce paragraphe, nous nous occuperons de la résolution ennombres entiers d'une équation du premier degré à deux inconnues , ou, suivant l'expression coiisiii'rée, à dtux indéterminées.

Une équation numérique du premier degré à deux indéterminées peut toujours être mise sous la forme

ox-\-by=c [1], dans laquelle a , b et e sont des nombres entiers positifs ou négatifs , et tels qu'il n'y ait pas de facteurs communs à tous les termes.

14-1. Il faut remarquer d'abord qu'une pareille équation ne peut admettre de solutions entières qu'autant que les coefficients a et b des deux indéterminées sont premiers entre eux.

En effet, s'ils avaient un fadeur commun , ce facteur diviserait exactement le premier membre , puisque x et y sont supposés entiers fil devrait donc aussi diviser le second membre, ce qui est contre l'hypothèse , puisque l'on a supprimé les facteurs communs à tous les termes.

148. S'il existait un facteur commun entre a et c , ou entre * et e , l'équation pourrait être simplifiée. En effet, soient a=a'm et c=c'm , a' , o" et m étant des nombres entiers. Remplaçons a et e par ces valeurs , et divisons par m; il viendra , .

PREMIEHE PÀHTIE. — CHAPmE V.

Or, c' étant entier ainsi que a'x , il faut que — soitentier,

c'est-à-dire que m divise le produit liy ; mais il est premier avec b , puisqu'il n'y a pas de facteur commun à tous les termes ; il faut donc, qu'il divise exactement y .Soit y' le quotient , en sorte qu'on ait y=my' ; l'équation proposée se réduira à

équation dont les termes sont plus simples. Quand on l'aura résolue, il suffira de multiplier par m les valeurs de y* pour obtenir celles de y .

146. Nous supposerons donc que dans l'équation à traiter il n'y ait plus de facteur commun entre les coefficients considérés deux à deux.

N'ous allons Taire voir que si l'on avait trouvé, par un moyen quelconque,, un système de valeurs entières, x=a et y=§ par exemple, propre à vérifier l'équation proposée, on pourrait obtenir sûr-le-champ tous les autres systèmes analogues.

En'eflêt, puisque a et p , mis pour x et y , vérifient par hypothèse l'équation proposée, on a

Si l'on retranche celle relation de l'équation proposée, membre à membre, on obtient

*„„ .Wi-iSçB : ■ .V

Or, puisque w doit élre entier, et que le premier terme * de sa valeur est entier, il faut que le second le soit, c'est-a-dire que a divise le produit b(y — p) ;ètcomme a est premier avec b , il faut qu'il divise y— ,B .Appelons t le quotient entier de cette division, nous aurons

~^ = t , d'où y = p4-a( [2].

Mettant / iilaplacede V ( ^ dans h valeur de x , elle devient

x=*-~bt [3], Ll suffira de donner ù / des valeurs entières, positives ou négatives pour obtenir autant de systèmes correspondants de valeurs entières pour x et pour y .

La démonstration même prouve que tous les systèmes de valeurs entières sont compris dans ces formules ; et l'on vérifierait a posteriori qu'elles satisfont a la proposée en y substituant pour x et pour y les valeurs [3] et [2]; les termes en ( disparaissent d'eux-mêmes, et il reste

relation qui est vérifiée par hypothèse.

On voit donc que lorsqu'on aura trouvé pour a: et y un

générales en ajoutant à « et à p le produit d'une nouvelle indéterminée entière ( par le coefficient de x , s'il s'agit de la valeur de y , et par le coefficient de y pris en signe contraire, s'il s'agit de la valeur de x .

Il est clair, d'ailleurs, que comme ( peut être changé en — / , on pourra prendre a en signe contraire et b avec son signe.

Remarque. La suite des valeurs de x forme une progression arithmétique dont la raison est le coefficient de y ; et la suite des valeurs de y forme une progression arithmétique dont la raison est le coefficient de x . Mais ces doux progressions seront l'une croissante et l'autre décroissante, si a et b sont positifs; elles seront toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes si a et b sont de signe contraire.

147. Tout se réduit donc à trouver un système de valeurs entières pour x et pour y.

Remarquons d'abord que , dans quelques cas particuliers , on obtiendrait immédiatement ce système de valeurs. Par exemple , si c était nul , on satisferait a l'équation on prenant x=0 êt y=0 . Si c était un multiple de a , et qu'on eût e=ma , on satisferait en posant x=m et y=0 . . Si c avait la forme' nbdzma , on satisferait en posant. x=^:m et y=n .

Hors ces cas, il faut une méthode particulière pour trouver un système de valeurs. Voici celles que l'on emploie.

I. Résolvons l'équation proposée par rapport à celle des deux indéterminées qui a le plus petit coefficient. Soit a<ù ; lirons la valeur de x , il viendra

Je dis que si l'on substitue pour y une suite do nombres positifs 0 , 1,2 jusqu'à +/i ; et une suite de nombres négatifs, —1 , —2 jusqu'à — i/ , trri sorte que p + q suit égal à «— 1 , il y auni dans ces substitutions une valeur He y qui donnera pour j un nombre entier.

système de valeurs entières a et

x "~ày '

En effet, soient -\-t/ et — y" , par exemple, deux de ces substitutions ; soient q' et g" les quotients positifs ou négatifs qu'on obtiendra en divisant c — bif et c+6/ par a ; les restes devront nécessairement différer. Car si. les deux divisions donnaient le même reste r , on aurait en même temps

c— by'=aq'+r d'où , en retranchant la première identité de la seconde

Or, a divisant le second membre devrait diviser )* premier; mais a est premier avec b ; il devrait donc diviser y 1 +y" . Mais y 1 ne pouvant surpasser p , et y" ne pouvant surpasser ç , la somme / -y" ne peut surpifser p-rq ou a — I ; ellu ne saurait donc iMre divisible p.ir u .

Il en serait de mémo , u fr.rtiiri, s'il s'agissait île deux substitutions prises toutes deux dans la série des nombres positifs , ou toutes deux dans la série dos nombres négatifs.

Donc, tous les restes résultant de ces substitutions seront différents. Mais le nombre de ces restes, égal au nombre dessubstituttons, est jj + î+1 ou a-; et puisque ces restes ne peuvent surpasser le diviseur a , i! faudra qu'un d'entre eux soit égal à zéro. Le jiombre correspondant mis pour y donnera donc pour x un nombre entier; et l'on aura ainsi un système de valeurs entières de x- et de y . -, ' Soit, par exemple, l'équation

On en tire x = — - .

Substituons pour y les nombres 0 , +1 , +2 et — I , — 2 ; nous trouverons que — 2 donne pour x un nombre entier +1 . Les valeurs de x et de y seront donc .

;c = l + 8f 'et y=— 2 + 5( ,• en prenant le coefficient +5 avec son signe, et le coefficient — 8 en signe contraire.

i48. II. Résolvons encore l'équation proposée par rapport à l'indéterminée qui a le plus petit coefficient; soit «<6 ; lirons la valeur de te , il vient.

Effectuons , autant qu'il est possible , la division de b par a ; soient q le quotient et r le reste ; nous aurons

■—ry

Le premier terme de la valeur de x étant entier , il faut que le second le soit : égalons-le à une indéterminée entière i , nous , aurons

relation où y et ( représentent des nombres entiers qui salisfontà l'équation

^=2=( ou al+r,=r [3].

Cette équation est de m<"'me forme que la proposée , et il s'agit aussi de la résoudre en nombres entiers ; mais le coefficient r est moindre que le coefficient b de la proposée.

Traitons cette équation comme la proposée. Résolvons-la par rapport à l'indéterminée y qui a maintenant le plus petit coefficient , puisque le reste r est moindre que le diviseur a delà diviiion qui l'a fourni ; il viendra

Divisons a par r ; soient g' le quotient et r 1 le reste; nous aurons

Le premier terme de la valeur de y étant entier , il faut que le second le soit ; égalons-le à une nouvelle indéterminée entière f ; il viendra

y^-tft+f [fl,

relation où ( et (' représentent des nombres entiers qui satisfont al'équation.

™i i = C ou r , t-\-rf=c [5].

Cette équation est encore de même forme que la proposée et doit, comme elle, être résoluo en nombres entiers; mais le coefficient r 1 est moindre que le coefficient a de l'équation précédente.

Traitons encore cette équation comme la précédente, et résolvons-la par rapport à l'indéterminée qui a le plus petit coefficient , c'est-à-dire par rapport à l ; nous aurons •

Divisons >• . par r' ; soient q" le quotient et r" le reste ; il viendra

Le premier terme de la valeur de / étant entier, il faut que le second le soit; égalous-Ie à une nouvelle indéterminée entière f" , nous aurons

l = -ff + f [G]; relation où V et f représentent des nombres entiers qui satisfont à l'équation

■ e ^ÇL = f ou M + r'f = c [7],

équation de même forme que la proposée , mais à coefficients plus simples. . .

En continuant ainsi, on ramène successivement la résolution rie l'équation proposée à celle d'une série d'équations de même espèce, dont les coefficients sont de plus en plus petits. Mais, si l'on fait attention aux opérations effectuées , on remarque qu'on a divisé d'abord a par b , puis b par le reste r de la division précédente, puis r parle reste V de la division qui précède, et ainsi de suite; c'est-à-dire qu'on effectue sur n et h les mômes calculs que si l'on cherchait le plus grand commun diviseur entre ces nombres. Or, ces nombres sont premiers entre eux ; on devra donc parvenir à un reste égal à l'unité. Soit r" ce reste égal à I ; en sorte qu'on ait

On en tire ' t'=c—r'C ;

et il suffira de donner a (' une valeur entière quelconque pour obtenir une valeur entière correspondante de /' . Les valeurs entières de t" et de (' mises dans l'équation [6] donneront pour ï une valeur entière; ces valeurs entières de f etde' f mises dans l'équation [f] donneront une valeur entière pour y ; enfin ces valeurs entières de t et de y mises dans l'équation [2] donneront une valeur entière correspondante pour x .

On pourra effectuer ces substitutions successives sans donner d'abord aucune v;i]iuir particulière à f ; on obtiendra ainsi les valeurs^ de y et de x exprimées au moyen de la seule indéterminée t" . Il suffira, dans ces expressions, de donner à f une valeur entière, positive ou négative quelconque; on en déduira immédiatement un système de valeurs entières pour x .et y .]■'

Prenons pour exemple l'équation

ANALYSE INDÉTBRM1NEE. 125

les calculs précédemment indiqués donneront successivement : ^ =1 59- 1 3 ? = 19 !)+ 7-5 ï=19 s + , j '

en posant t~~ l = t 0 u 5y+8(=7 .

Puis, y = 7 -=l ( =i i + ^( = l i + (' ; enposant î=if=('' ou 3i+5C = 2 .

enposant 2 ~ 2f = <" ou ( 2i'+3ï"=.2 .

Puis, t'=î~£=i-i"- t ~ = l~t"-l"' ,

enposant f=if .

.Mettant cette valeur dans celle de t' , on trouve

mettant les valeurs de f et de (* dans celle de t , il vient

(=— i+3r+2r=— î+sr-,

mettant les valeurs de i et de f dans celle de y , on obtient

Enfin , mettant les valeurs de y et de ( dans celle de x , on trouve

a: = 19— 3-f8f— l+5f=l5+13f ■ Remarque. Cette méthode est indépendante de la propriété démontrée au n° 14G pour la formation des valeurs générales de x et de y ; mais en y ayant égard, on peut abréger notablement l'application de la méthode. Dès qu'on parvient à une fraction dont on peut annuler le numérateur par une valeur entière de l'indéterminée qui y entre, on obtient, en remontant de proche en proche, un système de valeurs entières pour x et y , et par suite leurs valeurs générales.

Par exemple, dans le calcul ci-dessus, dès qu'on est parvenu à l'équation

on voit qu'on peut annuler la fraction en posant ('=1 , ce qui donne — 1 ; par suite y=l-\-l-\-l=S ; par suite encore ^=19—3 — 1 = 15 . En vertu de la-propriété du n° 146 on peut donc poser immédiatement

3;=15-fl3i et y=3— 8( , ( désignant une indéterminée entière.

149. Cette méthode comporte plusieurs simplifications qu'il importe de ne point négliger.

t. D'abord, il convient d'effectuer, autant qu'il est possible', la division de c par a , comme celle de b par a ; en simplifiant les coefficients des indéterminées, on simplifie aussi les termes indépendants. C'est ce que nous avons fait dans l'exemple traité au numéro précédent.

II. En second lieu, on peut toujours s'arranger de manière que chaque reste soit plus petit que la moitié du précédent; il suffit pour cela de prendre les quotients par excès toutes les fois qu'en les prenant par défaut la condition indiquée ne serait pas remplie. Si , par exemple , on a

b=aq + r

on pourra écrire, en ajoutant -fa et — a , ô = a( ? -fl)-(a~r) .

Or, des deux, restes r et «— r , l'un sera toujours moindre que la moitié de a , puisque leur somme est égale à a . 11 n'y a d'exception que pour le cas ou ces restes seraient égaux; mais alors il serait indifférent de prendre le quotient par défaut ou par

excès.

III. Enfin , il peut arriver qu'au numérateur de la fraction qu'on égale à une nouvelle indéterminée, il existe un facteur commun à tous les termes; en [émettant en évidence, il en résulte une simplification. Soit, par exemple, la fraction

• c — by , ■

Si c et 1/ ont un facteur commun m et qu'on ait c =(?m et b=b'vi , C et b' étant des nombres entiers, on pourra écrire . . .

Or , pour que le numérateur soit divisible par a , il faut, puisque a est nécessairement premier avec m , facteur de b ,

ANALYSE INDÉTEHMINËE. 127 ■

que le binôme entre parenthèses if— t/y soit divisible par a . On posera donc en conséquence

- Q = t d'où at-\-b'y = <f ,

équation plus simple que l'équation at-\-by=c , à laquelle on serait parvenu sans avoir égard au facteur m .

11 faut remarquer toutefois que celle simplification ne se présenterait qu'autant qu'on aurait négligé d'avoir égard dès le principe au facteur m commun entre . b et e , comme nous l'avons expliqué ..au 11° l 'i o.

150. Le problème qu'on a en vue exige souvent, non- seulement que les valeurs de x et de y soient entières , mais encore qu'elles soient positives.

En reprenant les valeurs générales du n° i46, on devra avoir (£11) £4-aï>0 et n— ôï>0 .

On tire de la première inégalité (69), en y supposant a positif, ce qui est permis,

Si b est négatif dans l'équation proposée et qu'on ait b=— b! , la lettre 6' désignant un nombre entier positif , la seconde inégalité devient

*+b'ï>0 d'où i>— ^ .

Les deux limites obtenues pour t étant toutes deux des limites inférieures, il suffira de donner à ( des valeurs entières , algébriquement plus grandes que la plus grande de ces deux limites; par conséquent, le nombre des solutions entières et positives pour x et y sera illimité.

Si b est positif dans l'équation proposée, on tire de la seconde inégalité

=>&J d'où t<- b ■

On a ainsi pour ( une limite inférieure et une limite supérieure. S'il y a des nombres entiers compris entre ces deux limites , en les mettant à la place de t on aura autant de systèmes de valeurs entières et positives, pour x et y ; mais le nombre en sera nécessairement limité. S'il n'y a aucun nombre entier compris entre les deux limites, ou si elles sont contradictoires, c'est-à-dire si la limite supérieure est algébriquement moindre que la limite inférieure, il n'y aura aucun système de valeurs entières et positives.

Dans l'exemple numérique traité plus haut, on a trouvé

y — — 2 + 5i et a=l + 8( .

On en déduit pour / deux limites supérieures

Il suffira de donner à ( des valeurs entières supérieures à ■ | , c'est-à-dire, 1 , 2 , 3 etc. jusqu'à l'infinitif positif. Si une équation à deux indéterminées avait fourni les valeurs . y — — 2-|-5i et x = Si— fif ,

onentirerait i - > & et i< ^~s '

On ne pourrait donc donner à t que les valeurs 1 , 2 et 3 qui sont comprises entre ces limites.

Si une équation à Unix indéterminées avait fourni les valeurs y =— 2+,5( et x=\ — »! ,

onentirerait '^5 et l< ^s '

limites contradictoires; il n'y aurait donc aucun système de solutions entières et positives.

131. Remarque. Quand le nombre des systèmes de valeurs entières et positives est limité, on peut le déterminer à une unité près avant de résoudre l'équation proposée.

En effet, ce cas se présente lorsque a et b étant de même signe , on obtient pour ( deux limites , l'une inférieure et l'autre supérieure

'>-; el «5 •

Supposons, pourfixer les idées, que a et H soient positifs, auquel cas la première limite est négative et la seconde positive.

Soient p lenombreentierimmédiatementinférieurà ^ r et g le

nombre entier immédiatement inférieur à - • On ne pourra donner à t que les valeurs 0,1,2 jusqu'à -\-}> , et — 1 , — 2 , — 3 , etc., jusqu'à — q ; ce qui fait en tout p+q-\-l valeurs.

ANALYSE INDËTEHHIttËB. 129

Or on a , par hypothèse ,

P<1 et T <| d'où p+g<t + t ,

on enfin î '"'"'' < -n/i '

puisque j et s forment un système de valeurs de x et de y . On aurait de même

p+\>\ & 1+^>\ -d'où p+q +2>^ .

Il résulte de là que la quantité — est comprise entre p-\-q et

^ + 7+2 , c'est-à-dire entre lenombredes valeursde ( diminué d'une unité et ce même nombre augmenté d'une unité. On aura

donc ce nombre de valeurs en prenant le quotient ^ ou par, excès ou par défaut.

Soit, par exemple, l'équation

7x-pl2y = 200 .

Le quotient par défaut de 200 par 7 fois 12 ou 84 , est 2; le quotient par excès est .1 ; le nombre des valeurs entières et positives ne peut donc être que 2 ou 3 . On trouve en effet :

y= — 2 + 7t et a: = 32 — 12/ .

L'indéterminée t doit donc être comprise entre | et j|

ou | pour que j; et y soient positifs; on ne peut donc

donner à f que les valeurs 1 et 2 ; ce qui ne fournit que deux systèmes de valeurs,

y= 5 , w=20 , et y =12 , x= S .

li>2. Comme exemples de questions conduisant à une équation à deux indéterminées, nous traiterons les deux suivantes :

I. Problème. Trouver un nombre dont le triple divisé par 8 donne pour reste 5 .

Soient te cenombre,et y lequotientde 3# par 8';ort devra avoir l'égalité

En appliquant le mode de solution indiqué au n° 147, on trouve que y — — 1 donne la valeur entière x— — 1 ; on a donc y==— 1 + 3* et x=— l + 8(.

On peut donner à f toutes les valeurs entières et positives depuis 1 ; ce qui donne les systèmes

y = 5 , a> = 15 ; y = S , x. =23 ; etc. , etc.

II. Problème. Faire une somme de 26>. avec deux espèces de pièces ètranyè.res, dont kt unes valent 3',75 ellesautres l',10 .

Soient a: le nombre des pièces de première espèce, et y le nombre des pièces de la seconde espèce ; on dovra avoir ■3,75. 37+1,10. y — 26 ; . ou, en multipliant tous les termes par 100 , 375a;+li0y = 2600 .

'Les nombres 375, 110 et 2600 ayant le facteur commun 5, on peut d'abord le supprimer, ce qui donne . ■ 7Ôx + 22y = 520 .

Les nombres 75 et 520 ayant encore le l'acteur commun 5 , on peut poser (iâS) y = ôy' , et supprimer le facteur 5 , ce qui donne

. Les nombres 22 et 104 ayant le facteur commun 2 , on peut poser x = ïx' et supprimer le facteur 2 , cequidoune ■ enfin l'équation

15^'+Ily'=52 .

On en tire = i-x' + A& ~ X ' ] ^A-x'+At ,

en posant ~~n~~ = ' ' ^' 0 " ;c ' =2 ~ 11 ' ! par suite p'=2 + 15t .

.On voit que x' et y' ne peuvent être positifs en même temps que pour ( = 0 , ce qui donne a>'=2 et y'=2 ; parsuite x^=A et y=,\0 - : -

En effet : 4 pièces à 3',75 font 16fr., et lOpiecesà l',10 font 11 fr. ; lasomme 15 + 11. est bien égale à 26 .

Ce problème offre un exemple d'une question algébriquement indéterminée qui n'est cependant susceptible que d'une seule solution arithmétique.

Remarque. On aurait pu prévoir que le problème ne pouvait admettre au plus qu'un système de valeurs entières et positives; car leproduit des coefficients 15 et 11 estplusgrandquclcterme indépendant 52 ; d'où il suit que les quotients par défaut et par excès de 52 par 15 fois 11 , sont 0 et 1 . Le nombre des systèmes de valeurs entières et positives ne pouvait donc pas surpasser 1 .

Le lecteur pourra s'exercer sur les questions suivantes :

I. Une société n'est cotisée pour une /été, à ration de O/r. pour chaque dame et de 16 fr. pour v/tut/tte homme; la somme ainsi réunie a été de 330 fr. ; combien y avait-il d'hommes et de

dames ?

(Réponse: Nombre des hommes : 15 , 6 ;

Nombre des dames : 10. , 26.)

II. Trouver un nombre qui divisé par 7 donne pour reste 5 , H qui divisé par 18 donne pour reste 3 .

(Réponse : 75 , 201 , 327 , etc. , nombres en progression arithmétique. )

III. Faire une longueur d'un mètre en plaçant les unes à la suite des autres des pièces de 2 francs , dont te diamètre est de 27 millimètres, et des pièces de 1 franc , dont le diamètre est de 23 millimètres .

(Réponse : Nombre des pièces de 2 francs : 20 .;

Nombre ries pièees de 1 franc ; 20 .)

IV. Diviser 90 en deux parties dont l'une soit divisible par 5 tt l'autre' par 11 .

(Réponse : Première partie : 90 , 35 ;