Deuxième partie

V. Trouver une fraction telle qu'en l'ajoutant terme à terme avec la fraction | ; on obtienne pour résultat ^ .

{Réponse: ^, ~ , ~, etc., fractions dont les termes sont en progression arithmétique.)

VI. On a de l'argent au titre de 0,950 , et de l'argent au titre de 0,820 . 'Combien faut-il prendre, en nombres entiers, de déco-

grammes de chaque espèce d'argent , pour faire un alliage </ui contienne 1 kilogramme d'argent pur?

(Réponse : argent au titre de 0,950 : 88"< , G" 1 ;

argent au titre de 0,820 : 20" 1 , 115'".)

g IL. Késolulion bq nombres entiers des équations du premier clejjrc à jdut de deux iixdciemUniîes.

Iiî5. Consïitihoiis d'abord deux équations à trois indéterminées.

aw + by + ez = d [1], a-x+Vy+c-^à" [2], dans lesquelles on peut toujours supposer qu'on ait supprimé les facteurs communs à tous les termes.

Ces équations ne pourront admettre de solutions entières pour r , y et ; qu'autant que , dans chacune d'elles, i! n'y aura aucun facteur commun aux trois coefficients des indéterminées. Car si a, 6, c , par exemple , admettaient un facteur commun, ce Facteurdiviserait le premier membre, puisque w , y , s sont entière; i! devrait donc aussi diviser le second , ce qui est impossible, puisqu'il n'y a plus, par hypothèse, aucun facteur commun à tous les termes. Admettons donc que celle condition soit remplie.

Eliminons l'une des trois indéterminées, par exemple, entre les deux équations proposées ; nous obtiendrons l'équation

{ac'— ca')z + (ùc' — cb')t/ = dc'— cd' [3], qui devra également admettre des solutions entières. Il faudra pour cela, qu'après avoir supprimé les facteurs communs nuxdeux membres, s'il s'en trouve, les coefficients de ,e et y soient premiers entre eux (144). Supposons cette condition remplie. Nous pourrons tirer de l'équation ci-dessus des valeurs de x et de y de la forme

X = *+mi , y = $ + nt . [4].

Transportant ces valeurs dans l'une des équations proposées, on obtiendra une équation en s et t , qui devra,- à son tour, admettre des solutions entières. Si les conditions nécessaires sont remplies, on pourra obtenir pour = et ( des valeurs de la forme

' , ... * = t+pf , t = t+q< ,

mettant cette valeur de t dans les expressions de' . x et de y ,

celles-ci deviendront

Les trois indéterminées x , y , s se trouveront ainsi exprimées au moyen d'une seule indéterminée Y ; et il suffira de donner à H des valeurs entières positives ou négatives pour obtenir autant de systèmes de valeurs entières pour x , y et s . Soient, pour exemple, les équations

tx— e y -L.;.3s=— i .

En éliminant s , on obtient d'abord

92J- — 42y=124 ou 46a;— 21j<=62 , d'où l'on tire (i-itt)

a: = 5 + 21( et y = 8 + 4Gt .

Ces valeurs, mises dans la seconde équation proposée, donnent

,1s— 129/ = 12 , d'où l'on lire s = 4-(-129<'

et t=S.f .

Parsuite y = 8+138('

et *=5 + 63/' .

l'AA. II est bon de remarquer que, lorsque les coefficients ac' — ca' et bd — cb' de l'équation [3] sont premiers entre eux, on est dispensé de résoudre une seconde équation à deux indéterminées. En effet , on a alors, a et p désignant un système de valeurs do l'équation [3] ,

x — a-\- (bc' — cb')t et y=&— (ac'— ca!)t .

Ces valeurs, mises dans l'équation [1], donnent, après réductions,

es — c(ab'— ba')t = d— m — 6[î . Le premier membre étant divisible par c , le second doit l'être également; en désignant le quotient par y , on a

; — (aV — bet)t=y , d'où : . ; — -[ + (ab'— ba!)t .

Comme on a posé . . ffl = f ,

d'où o« -J- bp + cy = d ,

on voit que a , p , y forment un système de valeurs entières de x , y , -s ; et qu'on a

x = *-\-{bc'—vb')t , y = p + (ca'— uc')t , z==i + (ab' — ba')t .

valeurs qui ont une symétrie remarquable.

Soient, par exemple, les équations -

On obtient, en éliminant z , l'équation 67*-<-17y=299 , .d'où Ton tire x = & + ï7t et y = 8 + 87( .

Substituant ces valeurs dans la première équation , elle devient , après réductions ,

tu — 78» = 4-1 , d'où s'=i+7U .

Ifltî. Si la question exige que les solutions soient entières et positives, on aura à satisfaire à trois inégalités.

On vient de voir que les valeurs de x , y , s se présentent sous la forme

x = n-\-mt , i/ — $ + nt, c=-(~{-rt .

On posera donc

« + «*<><> , B-f nf>0 , y + rt>0 ,

ce qui donnera trois limites pour t , , ■ , ,

Si ces. limites sont toutes trois inférieures ou toutes trois supérieures, on pourra donner à t toutes les valeurs au-dessus de la plus grande de ces limites , si elles sont inférieures, ou toutes les valeurs au-dessous de la plus petite, si elles sont supérieures. Il y aura donc un nombre illimité de solutions.

Si ces limites ne sont pas toutes trois de même sens , t devra être pris entre ces limites ; et par conséquent il y aura un nombre limité de solutions. ■' ■•

Si ces limites étaient contradictoires, il n'y aurait aucune solution positive possible. . \

156. Comme exemple d'une question conduisant à deux équations du premier degré à trois indéterminées, nous traiterons la sui-

0» veut donner une ijri'lifienlinn aux uurrierr. d'une fabrique. Si l'on donne 5 francs à cltaque homme, A francs à chaque femme et Zfrancs à diuque enfuit, i/ftw 'Jeanne somme de. ÏSSfrancs . Si l'on donne 1 franc de moins à chacun , il ne faudra que 118 francs . On demande combien U y a d'hommes, de femmes et d'enfants.

Soient x le nombre des hommes, y celui des femmes, z celui

des enfants. On aura évidemment les deux équations ■ 5x + 4y + îz=lfà , 4x + 3>j+ 5 = 118 .

Éliminant s , on trouve

d'où l'on tire , se—ît et y=40— 3/. « ,.

Ces valeurs, mises dans la seconde équation du problème, donnent

d'où '■. c = (— 2 ,

Comme i , j cl ; doivent être positifs, on devra avoir

,' 40 t>0 ; *<j et (>2 .

On devra donc prendre pour f des valeurs entières et positives depuis 2 jusqu'à 13 inclusivement, ce qui donnera 12 solutions possibles:

187. Soit maintenant à résoudre en nombres entiers une équation unique , du premier degré à trois indéterminées

<tx -f- by -\- es = d , dans laquelle a , b , c sont des nombres entiers qui n'ont point de facteur commun.

Il y a deux, cas à distinguer : ou , parmi les trois coefficients a , b , c , on en pourra trouver au moins deux qui soient prerniers entre eux; ou bien ces coefficients , pris deux à deux comme on voudra, offriront toujours un facteur commun !ce qui ne veut pas dire qu'il y ait un facteur commun à la fois aux trois coefficients).

136 PBEM1ËHB PARTIE. — CHAPITRE V.

I. Examinons d'abord le premier cas; et, pour fixer les idées, supposons que a et b soient premiers entre eux.

Faisons passer le terme en s dans le second membre, et appliquons à l'équation

ax -{- by = d — ce ' la méthode du a° iAQ, en y considérant s comme connu; nous en tirerons, pour ce et y des valeurs de la forme x = <z — bt et y = p-f-n( ,

dans lesquelles a et p seront dos polynômes entiers et du premier degré par rapporta = ; On pourra dès lors prendre arbitrai* rement s et ( ; et, pourvu qu'on leUrattribue des valeurs entières , il en résultera des valeurs entières pour x et y .

Si ces valeurs doivent, en outre, être positives, on donnera à = une valeur arbitraire entière et positive; on posera alors

= — 600 et p + «i>0 .

Il en résultera pour t deux limites; et suivant que ces limites seront de même sens ou de sens contraire , compatibles ou incompatibles, il en résultera un nombre illimité de valeurs entières et positives pour x et y , ou un nombre limité de ces valeurs, ou bien il n'en existera aucune. On opérera de même pour chaque valeur entière et positive qu'on attribuera à s .

Soit, par exemple, l'équation unique

5 œ -f Sf — 12.5 = 41 .

Comme 5 et 8 sont premiers entre eux, on peut appliquer la méthode ; on écrira donc

ou z = 8H-2s — ï'J + t ,

enposanl i+H±î? = ( ou 2j-SI = -l-2= .

Puis ,-=l=|£±î!--H-«-Mî 1 — +«+•«- ,

enposanl — ou t=l.-\-if .

Cette valeur, mise dans celle de j , donne

v = — z + î-\-4l' + t' ou x=— *+t + 5*' ,

Et en substituant pour y et t leurs valeurs dans celle de x , on obtient ■ , '.

# = 8+2=4-23 — 4 — t0f-+l + 9fâ54- 4s— 8C - Si l'on ne veut que des valeurs positives , on tirera de ces valeurs les conditions

Pour 3=0 , on a f>— | et f<jj ; on ne pourra donc prendre que f=0 ; ce qui donnera y=2 et x = 5 .

Pour 3=1 , on a O — ~ et C<g ; on pourra donc admettre les valeurs ('=0 et ^=1 , qui donneront, savoir: C=0....y=l , .e=9 ; f'=I....y=6 , j:=1 .

Pour s=2 , on a ?>Q et *'<-g- ; on pourra'donc admettre les valeurs t'=0 (car la condition i'>0 n'exclut. pas l'égalité) et t' = l.

Pour ('=0 , on aura y=Q , x=13 . ■ ■

Pour t'=l , y=5 , x= 5 .

Pour s=3 , on a C>i et *'<y ; on pourra donc admettre les valeurs . t'=\ et l'=2 , qui donneront, savoir :

pour f=l y=A , z=9 ;

pour i'=2 y— 9 , #=1 .

En continuant ainsi, on obtiendrait autant de systèmes de valeurs entières et positives qu'on le voudrait.

13H. II. Supposons maintenant que, parmi les coefficients a , b , c , on ne puisse pas en trouver deux qui soient premiers entre eux. Désignons par ni le plus grand commun diviseur entre a et 6 , par exemple; soient «'et // les quotients respectifs de a et b par m . L'équation proposée deviendra mdx -f mi/y -J- es = d ,

d'où l'on tire a'x + = — .

Le premier membre étant supposé entier, il faut que le second le soit; en désignant ce nombre entier par ( , on aura donc

a?x + V>j=t [l], et . — J^~~ =i ou oz+mt—d [2].

Or, d et b' étant premiers entre eux , puisque ce sont les quotients de a et de 6 par leur plus grand commun diviseur, l'équation [1] admettra des solutions entières de la forme

x—a—b'f et y=p + a'f [3] ,

dans lesquelles a et p seront des polynômes entiers et du premier degré par rapport à ( ; cela résulte du mécanisme même de la méthode exposée au n° 148.

De même, c et «i étant premiers entre eux, puisque le facteur m , commun à a et à b , ne l'est pas à c , l'équation [2] admettra des solutions entières de la forme

3=y— m? et (=S+c(" [4] ;

mettant cette valeur de 1 dans les expressions de x et de y , ces indéterminées se trouveront exprimées par des polynômes entiers et du premier degré en t et /' ; tandis que s ne dépendra que de f .

Si la question exige que les valeurs de x , y et - soient en outre positives, on posera les conditions qui expriment que ces valeurs sont plus grandes que zéro. On cherchera ensuite en opérant sur ces inégalités des transformations permises [86} à isoler (' et I" , et à obtenir ainsi des limites pour ces indéterminées ; mais l'on ne peut se flatter apriori d'y réussir.

Soit, pour exemple, l'équation

Les deux premiers coefficients ayant le facteur commun 2 , nous pourrons la mettre sous la forme

et poser en conséquence

Sx— 5y=t et 3y ~~ 15jt =f ou 15r+2(=37 .

On tire de la première: y = t — 3f et x = it~-5f . De la seconde on tire de même : 3 = 1—3*" et /sell-flSf" . Mettant cette valeur de t dans les expressions de y et de x , elles deviennent

y=ll-f-15f— 3C et .r=22+30C— $f .

11 suffira de donner à t et à /" des valeurs entières quelconques pour obtenir autant de systèmes de valeurs entières pour x , y et 3 .

Si l'on veut en outre que ces valeurs soient positives, on posera les conditions

1— 2f>0 ; U-HtSt*— ït>0 et 224-3ur~-5f>0

La première donne ■ Les deux autres peuvent s'écrire

3C— l5f<ll et 6C— 30f"<22 ou , en multipliant les deux termes do la première des deux par 2 , [m] 6 (' — 30 ("< 22 et 5 t'— 30 (*< 22 [n] . ' Or.de 2C<1 on tire 30f"< 15 . Ajoutant cette inégalité membre à membre avec chacune des deux précédentes, on en tire

Gf<37 et 5C<37 conditions, dont (a première comprend la seconde.

On ne devra donc prendre pour t' que les valeurs +6 , -J- 5 , etc. jusqu'à l'infini négatif.

On tire des inégalités en f et t" ,

' > 30 et e> ^Ô^ ■ Pour les valeurs positives de , c'est la première do ces deux limites de t" qu'il suffira de considérer; pour les valeurs négatives de (' , ce sera la seconde ; et l'on ne devra prendre pour f" que les valeurs comprises entre 0 et cette limite. On trouve ainsi : Pour H=Q ; S ; 4 ; qu'il n'y a point de valeur correspondante de f .

Pour :

f= 3 ; on trouve f*=0 ; d'où x— 7 ; y = 2 ; 3 = 1 .

et ainsi de suite.

139. Comme exemple de question qui conduit à une seule équation entre trois indéterminées, nous traiterons la suivante :

Faire une lort'/wto' d'un mi-Ire en mettant à la suite l'une de l'autre Ses pièces de 5/r. dont le diamètre est de 37 millimètres ; des pièces de Ifr. dwl le diamètre est de 27 millimètre» , et despièces de Ifr. dont le diamètre est de 23 millimètrta .

Si x , y , 5 représentent respectivement le nombre des

pièces de 5fr. , de 2fr. et de I fr. , on devra avoir

On peut appliquer ici la méthode du n° 187, et écrire

d'où l'on tire (148)

y— $|8a; — 23; et s = 47— lla; + 27f .

Comme ces valeurs doivent être positives , on devra avoir

a?>0 , 8.F— 23ï — 3>0 ; 47 — IU + 27i>0 , on éliminera l par réduction enlre les deux dernières inégalités qui sont de même sens, et il viendra

condition qu'on aurait pu écrire sur-le-champ , puisqu'elle exprime que la somme des diamètres des pièces de 5 fr. ne doit pas surpasse!' 1000 millimètres on l mètre , c'est-ît-dire la longueur demandée.

L'indéterminée x aura donc pour limites 0 et 27 inclu sivement. Des deux inégalités en x et t , on tire ensuite 11»— 47

chacune des valeurs attribuées à x , de 0 à 27 , devra être mise dans ces inégalités ; il en résultera deux limites entre lesquelles les valeurs eorrespontantes de t devront être prises. Si ces limites ne comprenaient point de nombre entier, la valeur correspondante de x devrait être rejetée. On formera ainsi le tableau suivant :

En tout 23

sol

lions.

ANALYSE IN DÉTERMINÉE, , , iûl

160. Ce qui précède indique suffisamment la marche qu'il faudrait suivre si l'on avait plus de trois indéterminées.

I. Si l'on avait , par exemple , trois équations à quatre indéterminées x , y , s et m , on en tirerait par l'élimination de « , deux équations à trois indéterminée» # , y , - que l'on traiterait comme il a été dit plus haut ( t!>5 et suiv.) Ayant obtenu les valeurs de x-, y et s au moyen d'uno indéterminée t , on porterait ces valeurs dans l'une des trois équations proposées, qui ne contiendrait plus alors que deux indéterminées ; et « ; on traiterait cette équation à deux indéterminées, et l'on en tirerait les valeurs de / et de u au moyen d'une nouvelle indéterminée (' . Portant alors la valeur de f en dansies expressions de x , y , s , on aurait les quatre indéterminées x , y , 3 et u exprimées au moyen d'une seule indéterminée f .

II. Si l'on n'a que deux équations à quatre indéterminées x , y , = .et u , on en tirera par l'élimination de « uneéquation à trois indéterminées, que l'on traitera comme il a été dit aux n°* lo7 et suiv. II y aura alors, comme on l'a vu, deux cas à distinguer.

Si l'on obtient les valeurs de x , y au moyen d'uno seule indéterminée t , s restant arbitraire, on portera ces valeurs dans l'une des équations proposées qui ne contiendra plus que » , z et l . On la traitera comme la précédente, et l'on obtiendra soit w et s au moyen d'une seule indéterminée f , t restant arbitraire, auquel cas x , y , z r\ u pourront être exprimés au moyen de ( et de t ; soit u , z et ( au moyen de deux indéterminées t' et f , auquel cas x , y , a et u pourront être exprimés au moyen de ces deux mêmes indéterminées.

Si, en traitant l'équation primitive résultant de l'élimination de u , on obtient x , y et : au moyen de deux indéterminées t et i , en portant ces valeurs -dans l'une des équations proposées, on obtiendra une équation à trois indéterminées u , t et f . En la traitant à son tour, on obtiendra soit u et t au moyen d'unéseuleindéterminée , f restant arbitraire, auquel cas x , y , a et u pourront être exprimés au moyen de et de t" ; soit u , t et f au moyen de deux indéterminées f" et f , auquel cas x , y , z et u pourront être exprimés au moyen de ces deux mêmes indéterminées.

III. Enfin , si l'on n'a qu'une seule équation à quatre indéterminées x , y , z , m , il pourra se présenter deux cas, ou l'on pourra trouver deux coefficients premiers entre eux , ou on ne le pourra pas.

1Ù2 . PHEMIbRE PAltTIt. — CHAMTRE V.

Dans le premier cas, supposons que ce soient les coefltcients de x et de y qui soient premiers entre eux. On fera passer dans le second membre les termes en s et en m ; on traitera l'équation résultante comme une équation à doux indéterminées x et y , et l'on obtiendra les valeurs de x et dé y au moyen d'une indéterminée t , z et u restant arbitraires.

Dans le second cas, on isolera encore dans le premier membre les termes en x et en y ; on divisera les deux membres par le plus grand commun diviseur des coefficients de x et de y . Le second membre devant être entier, on le représentera par une nouvelle indéterminée ( . On obtiendra ainsi deux équations : l'une entre x, y et t , où l'on regardera ( comme connu; l'autre en a , u et f . La première donnera a; et y au moyen de i et d'une nouvelle indéterminée f . La seconde donnera z , v el t au moyen de deux nouvelles indéterminées ("'et t" . Portant la valeur de ■( dans celles de a;' et de y , on obtiendra ces dernières au moyen de trois indéterminées f , f et f ; tandis que z et u seront exprimés au moyen des deux indéterminées t" et t" seulement.

161. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes qui suivent.

I. Trouver un nombre qui, divisé par tes nombres 5, 8, 13 j donne respectivement, /mur restes 4 , 7 , 12 .

{Réponse: 610 , 1039 , 1559 , etc., nombres en progression arithmétique.)

II. Trouver un nombre «imposé de trois chiffres, dont la somme soit. 16 , et tel qu'en y ajoutan t 99 on obtienne le nombre retourné.

(Réponse: 394, 475 , 556, 637 et 718.)

III. On a trois espèces d'aryen t : ta première ait titre 0,96 ; ta seconde au titre 0,88 ; la troisième au titre 0,82 . Combien/au-

drait-il prendre, en m

mbres entiers

, de dècagrami

les de chaque es-

pèce d'argent, pour f ai

re 1 kilogramme d'alliage,

au litre 0,90 .

(Réponse : 1™ espé

ce d'argent;

2' espèce ; . 3

•* espèce.

ANALYSE INDÉTÉBM1NÉE.

IV. Un'propriétaire a fait travailler dans quatre fermes différentes, savoir ; 12 hommes dans la première, 9 dans la seconde, '8 dans la troisième et G dans la quatrième. La dépense totale a été de 1350 franes . On voudrait s<n:e,ir quelle a pu être la dépense par homme, dam ehueunr des quai ru fermes [en. nombres entiers de franrx). On rappel!'- seulement que la dépense dans la seconde et ta troisième ferme ratai £ autant que la dépense dans ta première; et que chaque homme employé dans celle-ci a gagné deux fois plus que chacun de ceux qui ont été employés dans la quatrième.

(Réponse: 1'

("ferme;

2' forme

; 3 L ferme ;

4' ferme.

25 rt

id.

id. .

id.

SECONDE PARTIE