FORMATION DES CAUSÉS

«lier terme, plus deux fois le produit du premier terme pur le second, plus le carré du second, plus deux fois le produit de chacun des deux premiers par le troisième , plus le carré du troisième.

184. Ou trouverait de même que, s'il y avait un quatrième terme, le carré contiendrait, outre les parties qu'on vient d'énumérer, deux/ois le produit de chacun des trois premiers termes par le quatrième, plus le carré du quatrième.

La loi de formation est Évidente, et il est facile d'en démontrer la généralité.

Eu effet , supposons-la démontrée pour un polynôme de a — 1 termes a -{- b 4- A , et faisons voir qu'elle subsistera pour un polynôme de n termes

Pour cela, représentons par x l'ensemble des n— 1 premiers termes; nous aurons à former le carré de x-\-l , ce qui donnera

x>-r-ïlx + P ou, en mettant pour x sa valeur,

(a+b + c.... + kr+2(a+,b+c...;-t-k)l + P ou (a+b+c....+ky+Zal-r-2bt+icl....+2kl + P ; c'est-à-dire qu'il faudra ajouter au carré du polynôme de n — t termes deux fois le produit de chacun de ces n — 1 premiers termesparle n 1 ™ , plus le carré du n 1 *" ; ce qui démontre que si la loi est vraie pour n — 1 termes, elle est encore vraie pour n termes.

Or, on l'a démontrée directement pour 3 termes; donc elle est vraie pour 4 ; étant vraie pour 4 termes, elle l'est pour 5 ; et ainsi de suite. Donc elle est générale.

D'après cette règle , on trouvera que le carré du polynôme 2 a z> + 4 oV — 4 o?x + 3 n'est A a*X* + 1 6 oV — 20 oW + 40 a!x* — 24 a'x + 9 a 8 .

l(Jii. Remaiioue I. Lorsqu'on ordonne le polynôme par rapport aux puissances d'une même lettre, il y a toujours à son carré quatre termes qui ne peuvent se réduire avec aucun autre. Ces termes sont les deux premiers et les deux derniers, si le carré est lui-même ordonné.

En effet, si, par exemple, a-\-b + c....-\-k-\-t représente un polynôme quelconque, dont les termes a , b , etc., sont des monômes quelconques ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une certaine lettre x , le terme a contenant

1Ù6 SECONDE PARTIE. -

la lettre ordonnatrice avec un plus baut exposant que tous les autres, sod carré a' , qui sera le premier terme du carré total, conlicndra aussi la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé qu'aucun des termes 2ab , 6' , 2ae , etc. qui suivent, et ne pourra cotisé quem ment se réduire avec aucun autre. C'est ce que nous avons déjà vu dans la théorie de la multiplication (58).

En second lieu, le terme 2ab se compose du produit des deux termes qui, dans le polynôme proposé, conlieimont la lettre ordonnatrice avec les exposants les plus élevés; il contiendra donc luimême cette lettre avec un exposant plus élevé que les ternies 4* , 2«c , 26c , elc. qui le suivent, et ne pourra eunséquomment se réduire avec aucun autre.

Ce que nous avons dit des deux premiers termes, a ! et 2aé , en considérant les plus hauts exposants de la lettre ordonnatrice , nous poumons le dire des deux derniers, l* et 2kl , en considérant les plus l'aihles exposants de cette lelu'e.

11 y aura donc liicn quatre tenues qui ne m: réduiront pas; et ces termes seront tes deux premiers et les deux derniers, si le polynôme est ordonné.

Il faut bien remarquer qu'on ne pourrait rien aflirmer de semblable pour les autres termes; car le terme b' , par exemple, pourrait fort bien se réduire, et se réduira ordinairement, en effet, avec le tenue 2 ne , dur,! les deu\ laeleurs contiennent lit lettre ordonnatrice , l'un avec un exposant plus élevé que dans b , et l'autre avec un exposant plus faible.

Remarque II. Ce que nous venons de dire des termes isolés , on pourrait le dire des f/nmpex de termes , s'il arrivait que le polynômeproposé contint plusieurs termes affectés de la même puissance de la lettre ordonnatrice (58).

IG6. Pour former le carré d'une fraction algébrique, il faut, d'après les règles de la multiplication des fractions (J>6), faire le carré de son numérateur et le carré de son dénominateur.

2« — M 4 a >—i2ab+9b' hub 26a'lf