RACINE CABRÉE DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 1Ù

§ [i. De l'extraction de la racine carrée (les i[uanlilcs algébriques.

167. La racine carrée d'une quantité algébrique est une seconde quantité qui, multipliée par elle-même, reproduit la première.

Maïs cette racine se distingue de la racine carrée oonsidérée en arithmétique par une diffère in'u e^cnliolle. La racine arithmétique d'une quantité numérique est essentiellement positive; la racine algébrique d'une quantité, soit numérique, soit algébrique, peut être prise indifféremment avec deux signes contraires. Kn effet, soit h extraire la racine carrée de 49 ; au point de vue arithmétique, la racine est +7 ; mais, au point de nie algébrique, cette racine est aussi bien — 7 que +7 ; car — 7 , multiplié par lui-même, donne, d'après les règles des signes (114), +49 , aussi bien que + 7 multiplié par lui-même. De même +«' étant aussi bien le carré de — a que le carré de + a , la racine de +a s est donc, à volonté, +o ou — a.

On indique celte double solution en afîeclant la racine du double signe ± , et l'on écrit

Nous pouvons toutefois, quant à présent, faire abstraction de ce double signe ; sauf à nous rappeler, lorsque nous aurons extrait la racine d'une quantité algébrique , que cette racine peut être prise indifféremment telle que nous l'aurons trouvée ou en signes contraires.

168. D'après la règle donnée (16Ï) pour former le carré d'un monôme, on peut voir que, pour qu'un monôme soit un carré parfait , il faut : 1° que son coefficient soit un carré parfait ; 2° que les exposants de toutes les lettres qui y entrent soient pairs.

Si ces deux conditions sont remplies , on obtiendra la racine carrée du monôme proposé en extrayant la racine de son coefficient, et en divisant par 2 les exposants de toutes les lettres. Ainsi la racine de ÎSd'b'x' 1 est 7a , 6 3 z , abstraction faite du double signe ± .

Si ces conditions ne sont pas remplies, on se contente d'indiquer la racine. Soit, par exemple, le monôme liâ'V-x ; sa racine sera indiquée par sfïï iï&x , Nous verrons plus loin comment on peut simplifier les expressions de ce genre.

169. Soit maintenant à extraire la racine carrée d'un polynôme. Remarquons d'abord qu'un binôme ne saurait être un carré parlait, car le carré d'un monôme est un binôme (163) et le carré d'un

SKCOSDE PAHTIE. — CHAPITRE VI.

binôme est un trinorae (56). Il faut donc que le polynôme proposé ait au moins trois termes.

Cela posé , désignons le polynôme proposé par .

A+.B4- C+D+K+elo....

les lettrés A , B , G , etc., représentant, pour abréger, des monômes quelconques, que nous supposerons ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre, x par exemple.

Supposons que le polynôme proposé soit un carré parfait, et représentons sa racine par

a + ô-f c+d+ete

polynôme que nous supposerons également ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x .

D'après les remarques faites au n" I6iî , le carré du terme o n'a pu se réduire avec aucun autre terme du carré , et se trouve être le premier terme À du polynôme proposé. En extrayant donc la racine de ce premier terme , on aura le premier terme a de la racine demandée.

Ayant trouvé ce premier terme de la racine , on en fera le carre que l'on retranchera du polynôme proposé, et il restera

B + C+D-f E-|-etc. [l].

Or, d'après les mêmes remarques , le premier terme B de ce reste doit élre exactement le produit du double du premier ternie de la racine par le second, produit qui n'a pu se réduire avec aucun autre. En divisant donc ce premier terme B par le double 2 a du premier terme de la racine, on obtiendra pour quotient le second terme b .

Ayant trouvé ce second terme de la racine, on sait que le polynôme proposé doit contenir le carré do la somme des deux premiers termes, o-f- 6 , de la racine (164), c'est-à-dire les trois termes a* -J- 2 ab -\- ê* I on pourrait former ces trois termes et les retrancher du polynôme proposé; mais comme on en a déjà retranché a 1 , il suffit de former les deux suivants et de les retrancher du reste [1]. Pour cela , on écrira à la suite du double' du premier terme de la racine le second terme de cette même racine, ce qui donnera 2.0+6 , et l'on multipliera la somme par b , ce qui donnera %ab + b 1 ; on retranchera ce produit du reste [1] , et on obtiendra un second reste - ., ',

C'-f-D'+E'-r-F'-l-etc. [2].

D'après la loi de formation du carré d'un polynôme (164), ce reste doit contenir encore les doubles produits de chacun des deux

L'i 1 1 z:'i b, Ci

BACHE CABBÊB DES POLYNOMES. 140

premiers termes de la racine par le troisième , plus le carré du troisième, etc.; c'est-à-dire les termes

2Ge-f2iic-|-e , + etc.

Or, parmi ces termes, le premier 2ae est celui qui contient la lettre ordonnatrice x avec le plus haut exposant, car a est plus élevé en x que b ; ce terme n'a donc pu se réduire avec aucun de ceux qui le suivent, et doit, par conséquent se trouver le premier dans le reste [2]. En divisant donc le premier terme C de ce second reste parle double 2a du premier terme de la racine, on obtiendra pour quotient le troisième terme c .

Ayant trouvé ce troisième terme, on sait que le polynôme proposé doit contenir le carré de la somme des trois premiers termes de sa racine, lequel carré revient à (a-\- &)* + 2oc + %bc -j- c* . On pourrait former ce carré et le retrancher du polynôme proposé; mais comme on en a déjà retranché [a -j- b) 1 , il suffit de former les termes suivants et de les retrancher du reste [2] . Pour cela , on doublera les deux premiers termes de la racine , et l'on écrira à la suite le troisième, ce qui donnera 2a + 20 +c ; on multipliera par c , ce qui donnera 2ac- r -2fe-f-e* ; on retranchera ce produit du reste [2], et l'on obtiendra un troisième reste

W+W+W+etc' [3].

D'après la loi de formation du carré d'un polynôme, ce reste doit contenir encore les doubles produits de chacun des trois premiers termes de la racine par le quatrième, plus le carré du quatrième, etc., c'est-à-dire

2 ad + 2 bd + 2cd + d 1 + etc.

Or, parmi ces termes, le premier 2ad est celui qui contient la lettre ordonnatrice x avec le plus haut exposant ; ce terme n'a donc pu se réduire avec aucun de ceux qui suivent , et doit par conséquent se trouver le premier dans lè reste [3]. En divisant donc le premier terme D" de ce troisième reste par le double 2a du premier terme de la racine, on obtiendra le quatrième terme â

Ayant trouvé ce quatrième terme , on sait que le polynôme proposé doit contenir le carré delà somme des quatre premiers termes de sa racine, lequel carré revient à

(< l J r b + c?+ ïad + nd + 2c<t +rl> .

On pourrait former ce carré et le retrancher du polynôme proposé; mais comme on en a déjà retranché (a-j-ô+c) 1 , il suffit de former les termes suivants et de les retrancher du reste [3]. Pour cela, on doublera les trois premiers termes de la racine, et l'on écrira à la suite le quatrième, ce qui donnera 2a -f 2ft -\-ic-\-d ;

on multipliera par d , ce qui donnera 2u(? + 2M + 2efZ-f tP ; on retranchera ce produit du reste [3] , et l'on obtiendra un quatrième reste sur lequel on opérera comme sur le précédent.

En continuant ainsi, ou obtiendra successivement tous les termes de la racine; et l'on reconnaîtra que l'opération est terminée lorsqu'on parviendra à un reste nul.

i70, Dans la pratique, on dispose l'opération comme ci -dessous :

[1] +I6a'tf ! — 20aV-\-A0a , x^ lAtfx+Çé + Aax*-\~ 4a*.r> i— 16a?a:'--1.6oV + ■ [2] — 16aV~20aV+«flV— Îia'x+W +'6« 3j3 +'6 fl ' jt

+16a^E'+32a ! ;z , — lôrfa-' + -Sra? -f- 8aV— 4a»ie

[31 +1 2^+2^'— ■Mwx+Qa* - „ \^ — ~,f tt ; r .

-f Aux» + 8^*— S^x+an 1 +3a'

et l'on déduit de ce qui précède la règle suivante , dont on peut vérifier l'application sur l'exemple qu'on vient do traiter.

Pour extraire la racine carrée d'un polynôme, on l'ordonne par rapport aux puissances d'une certaine lettre; on tire à sa droite un trait vertical pour le séparer de ta racine à obtenir, et Von tire un trait horizontal au-dessous de l'espace réservé à cette racine. On extrait la racine du premier terme du polynôme, et on l'écrit comme premier terme à la racine. On f ail le. carré de m premier terme, on le retranche du polynôme proposé, et l'on obtient un premier reste [1]. On écrit au^tessous de la racine le double de son premier terme; on divise le premier terme du reste [l]par ce doubla du premier ternir de la racine; le quotient est le second terme de la racine. On écrit le double du premier terme de la racine; à sa droite on écrit le second terme, et l'on multiplie la somme parce second terme; on retranche le produit du reste [1] , et l'on obtient un second reste [2]. On divise le premier terme de ce second reste [2] par le double du premier terme de la racine; le quotient est le troisième terme de la racine. On écrit le double des deux premiers termes de la racine; à la droite de ce double, on écrit le troisième terme de la racine; onmultiplie la somme par ce troisième terme; on retranche le produit dit reste [2] , et l'on obtient un troisième reste [3]. On divise te premier