L'opération serait impossible

1° Si le plus haut ou le plus faible exposant d'une lettre quelconque dans le polynôme proposé Était impair. Car, eu ordonnant par rapport à celte lettre, il faut que !e premier et le dernier termes soient des carrés parfaits , ce qui exige que les exposants de ces termes soient pairs ;

2° Si, après avoir ordonné par rapport aux puissances d'une lettre quelconque, le premier et le dernier termes n'étaient pas des carrés parfaits ;

3° Si le second terme n'était pas exactement divisible par le double de la racine carrée du premier, ou si l 'avant-dernier terme n'était pas exactement divisible par le double de la racine carrée du dernier ;

4° Si, dans le cours de l'opération, on parvenait à un reste dont le premier terme ne fût pas exactement divisible par le double du premier terme de la racine obtenue.

172. Lorsqu'un polynôme n'est pas un carré parfait, on peut encore appliquer arbitrairement la règle du n° 170jusqu'à ce qu'on parvienne à un cas d'impossibilité, au quatrième par exemple. Il résulte alors des calculs effectués que le polynôme proposé est identiquement égal au carré de l'p.nsembln îles ternies trouvés à la racine, plus le reste auquel on est parvenu. L'opération n'a d'autre résultat, dans ce cas, que de décomposer le polynôme proposé en deux parties dont l'une soit un carré parfait. Tel est, en effet, le seul but qu'on puisse alors se proposer.

Si, par exemple, on applique la règle du n° 170 au polynôme 9«V — 24(1^-1- 46 a'.T' — 20rr\r-|- 13n fl qui n'est point un carré parfait , puisque son dernier terme 13<a a n'est pas un carré, après avoir obtenu a la racine ces trois termes

3aa*— '4a*x+5a? , on trouve pour reste if)a?x—\1o' 1 .

Il en résulte que le polynôme proposé peut se mettre sous la forme »

^au?— 4t?.v + S ll y±20a\r — 12a c .

C'est le seul résultat qu'on puisse tirer des calculs effectués ; mais ce résultat peut avoir son utilité dans certaines circonstances.