Soit maintenant l'équation
Ux—x*=Vs [i], ou a?— \Ax=— 40 [2],
qui renferme un terme en a? , un terme en x et un terme indépendant de i. Si l'on pouvait convertir le premier membre en un carré parfait, en extrayant ensuite la racine carrée des deux membres l'équation se trouverait ramenée au premier degré; car la racine d'un polynôme du second degré en x doit être du premier degré par rapport à cette lettre.
Or, on remarque que x* — 14a; peut être considéré comme formant les deux premiers termes du carré d'un binôme, savoir : s? , le carré du premier terme de ce binôme inconnu, et — \Ax le double produit du premier terme de ce binôme par le second. On aura le premier terme de ce binôme inconnu en extrayant la racine de x' , qui est j- ; et pour avoir le second, il fiiurtiM diviser le <l»ii!i]i' pnuliiit — l i .J' iliis deux Larmes du binôme inconnu par le double 2x du premier, ce qui donne — 7 . Le binôme cherché est donc 4 x — 7 , et l'on complétera son carréen ajoutant à x' — 14a: le carré du second terme — 7, c'est-à-dire 49 . Mais, pour ne pas troubler l'égalité, il faudra ajouter aussi 49 au second membre de l'équation [2], ce qui donnera
x}— 14^ + 49=— 40 + 49 ou (,r-7)'=0 ,
Extrayant alors la racine de chaque membre, en remarquant que, d'après ce qui a été dit au n° précédent , il suffit de mettre le double signe ± devant la rai:ine du second membre, on obtient
■ x— 7 = ±3 ; ou, en faisant passer le terme —7 dans le second membre,
lîn adoptant le signe supérieur, on trouw # = 7 + 3 = 10 ; et en adoptant le signe inférieur, on trouve «=7—3=4 .
L'équation peut donc être satisfaite de deux manières, soit en remplaçant x par 10., soit en remplaçant x par . 4 . C'csl ce qu'il est facile de vérifier, car on a dans le premier cas
14X10— 100=140 — 100 = 40 t, et dans le second,
177. Généralement, après avoir fait disparaître les dénominateurs, une équation du second degré ne pourra contenir que trois flspfiiîcs ii>; tomes, savoir : ik's tenues en x 1 , des termes en x , et des termes indépendants de -x . Si l'on fait passer tous les termes dans un même membre, qu'on mette x 1 en facteur parmi ceux qui le contiennent, et qu'on en fasse autant pour x , l'équation aura la forme générale
Telle est l'équation qu'il s'agit de résoudre.
Faisons passer le terme q dans le second membre , et écrivons
!.e premier membre peut être considéré comme renfermant les deux premiers termes du carré d'un binôme , savoir : x' carré du premier terme de ce binôme inconnu , et px double produit du premier terme de ce binôme par le second. On aura le premier terme do ce binôme inconnu en extrayant la racine de x" , qui est x ; et pour avoir le second, il faudra diviser le double produit px des deux termes du binôme inconnu , par le double 2x
du premier, ce qui donne -| . Le binôme cherché est donc ^-f-^ ' et l'on complétera son carré en ajoutant à x'-\-px le carré de ? ou ^ . Mais, pour ne pas troubler l'égalité, il faudra aussi ajouter y an second membre de l'équation [1] , ce qui donnera
ax % + bx-\-c=fi ,
dans laquelle a , b , c peuvent être des quantités quelconques numériques ou algébriques, monômes ou polynômes. Divisant tous les termes par a , il vient
x*-\-px= — g
ou
Extrayant la racine des deux membres en mettant le double signe ± devant ia racine du second , on obtient
Cette expression de x est une formule générale qui peut servir à trouver immédiatement l'inconnue dans une équation du second degré quelconque, sans répéter les raisonnements ci-dessus, et que l'on peut énoncer de la manière suivante :
Dans toute équation du second degré ramenée à la forme w , -\-px-\-q=d , l'inconnue est égale à la moitié du coefficient de la première puissance de x , plus ou moins la racine carrée du carré de cette moitié, suivi du terme indépendant de x , pris avec le signe qu'il a dans le second membre.
