I. Si on applique cette règle à l'équation 5.r

on trouvera immédiatement ce qui donne les deux valeurs

en sorte que l'équation est satisfaite par les deux valeurs 3 et 2 . II. Soit encore l'équation algébrique

a?— (2a + 36)»+6B6=0 , on trouvent , en appliquant la règle ,

oubien I = ^±^ÏŒL^.

-6ob

Réduisant tout au dénominateur 4 sous le radical, et réduisant, il vient

Or la racine peut s'extraire exactement, ce qui donne

x - 2 - 2 ' De là deux valeurs -

T 3»+3i+i«-36 . lt

179. II est bon de savoir résoudre l'équation a-c»+ fer -fe posais être obligé de diviser par a .

Or, si , dans les valeurs obtenues plus haut ,

oq remplace p et g par leurs valeurs, il vient Réduisant au même dénominateur sous le radical, on trouve

ou, en extrayant la racine du dénominateur Art , et mettant 2œ en dénominateur commun ,

On peut arriver à cette expression d'une manière plus simple. Multiplions par 4a les deux membres de l'équation proposée , après avoir fait passer le terme e dans le second membre , elle devient

4dx t -\-4ubx = — 4ac .

Ajoutons b* à chaque membre, nous aurons 4a*&+ 4abx + 6» = F~4ac

ou , en remarquant que le premier membre est un carré partait ,

Çlax + b?=P— iac .

Extrayant la racine , on obtient

1ax + b = ±jb*—\ae , d'où %ax = — b ±\fb' — 4ac

et x — ~ b± ^ b ' — 4ae

On peut énoncer cette expression en disant que : dans toute rqutition du second degré de la forme ax'-j-bx-|-c = 0 , l'inconnue est égale an coefficient de la première puissance de x pria en signe contraire , plus ou miiin:- la rueine ranre du carré de ce coefficient, diminué de quatre fois le produit du coefficient de x* par le terme indépendant de x ; le tout divisé par le double du coefficient de x' .

Soit pour exemple l'équation

3;r"— ôz— 2 = 0 ,

ce qui donne les deux valeurs

USO. Enfin , lorsque ie coeflicieQtdeIa premif.ru puissance de x est divisible par 2 , il se présente une petite simplification qu'il convient de ne pas négliger.

Soit b — ^ , l'équation g-'iiéraio ri-dessus pourra s'écrire ax*+2$x + e = 0 .

Faisant passer le terme c dans le second membre et multipliant par a , il vient

oV+2apj; = — ae ou, en ajoutent p* à chaque membre,

a'x' + 2 a$x + = p 1 — ac ou (ax + p)'=p l — ac ,

d'où , en extrayant la racine ,

ax-\-$ = ±ifp'— ac , — ?d=<ff^ac

c'est-à-dire que : dans toute équation du second degré forme ax ! -j-2px -|- c=0 , l'inconnue esl égale à la moitié du coefficient de la première p'Ufiiincc du t'iricimnurj , prise en signe contraire, plus ou moins la racine carrée du carré de cette moitié, diminué du produit du coefficient de x 1 par le terme indépendant de X ; le tout t/i >:*'*<• pur h: lO'ff- iuil. d<: \ Exemples. I. Soit l'équation numérique 6s? — 6ar + l=0 ; un hum , d'après cette règle ,

d'où . x = l et x;=sl .

II. Soit, eu second lieu, l'équation algébrique {a*—b*yx?—1ébx+à?t?=<S .

a t b±Ja i b , -~{cC : —b : )d?b 1

a ! b ± yW — -f q'6 1 a*b ±ab !

(u+bXa-b) ■

De là deux valeurs

a b(a + b) ab *-{a + t,){a-b)-a-b

afe(a— b) ab

x -( a + b)[a-b)~u + b ■ III. le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants : *>(4a — 2è)jt + 3o'— Sab — 3b'=0 ,

SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Vil.

" ' 101. Quant ii la mise en équation des problèmes, nous n'avons rien à ajouter à ce qui a été dit d'une manière générale au n° 70, Nous nous bornerons donc à traiter quelques questions choisies.

Problème I. Un banquier a escompté en dedans un bille! de 2080 fr. payable dans 8 mois , et un billet de 3150 fr. payable dans 10 mois ; l'escompte total a été de 230 fr. ; on demande quel était le taux de l'escompte.

Soit x le toux de l'escompte. Puisque 100 fr. , au bout d'un an , rapportent x , au bout de 8 mois ils rapporteraient

ou ~ ; par conséquent, si un billet payable dans 8 mois énonçait la somme 100* -j-^ , l'escompte en dedans de ce billet serait .Dans les mêmes conditions, l'escompte de 2080 fr. sera donc donné par le quatrième terme de la proportion 1 ■

1 00 + 1 x : ^x : : 2080' : ce quatrième terme, dont la valeur est conséquemment

ou, en multipliant haut et bas par 3 ,

En second lieu, 100 fr. au bout d'un an rapportant x , auboutde lOmois ils rapporteront ou — ; par consé-

quent, si un billet payable dans 10 mois énonçait la somme 100' H — g- , l'escompte en dedans de ce billet serait . Dans les

mêmes conditions, l'escompte de 3150 fr. sera donc donné par le quatrième terme de In proportion

Equations et problèmes du second degré.

dont la valeur est conséquemment

ou, en multipliant haut et bas par 6 ,

600+ôtf L J "

Mais, d'après l'énoncé, la somme do ces deux escomptes doit faire 230 fr. ; on doit donc avoir l'équation

300 + 23; ^ 600 + 5a; Faisant disparaître les dénominateurs , transposant et réduisant , il vient

500003?+ 6600000a; sa 4M0OOOO ou a?+132a: = 828 -[4],

d'où l'on tire. x = d et x = — 138 .

Le taux de l'escompte étant essentiellement positif, la seconde valeur doit être rejetéo; le taux cherché est donc 6pourl00 . On trouvera ensuite pour l'escompte des deux billets SO fr. et 150 fr. , en mettant pour x la valeur 6 dans les expressions [l]et[2j. ■ • V.'".

Remarque. En changeant x en — x dans l'équation [â] , il ■ serait facile do trouver un cumin: auquel convint la solution — 138 prise positivement; mais, outre que cet énoncé serait incompatible avec la notion d'escompte , la valeur positive +6 se trouverait alors convertie en une valeur négative — 6. - / ,

On pourra être surpris, au premier abord, de voir l'Algèbre donner ainsi une solution étrangère à la question , quel que soit le signe que l'on donne à x dans l'équation du problème. Mais il faut bien remarquer que l'Algèbre doit donner la réponse à toutes les questions qui pourraient conduire à la même équation [4] , et dont le nombre est illimité. Telles seraient, par exemple, les suivantes, bien différentes de celle que nous venons de résoudre.

Trouver un rectangle dont la surface soit de sas 1 "" 1 et dont la base et la hauteur différent de 132"' ; question qui conduit précisément à l'équation x(x+ 132) =828 ; en appelant x le plus petit coté du rectangle.

Trouver un rectangle, dont la surface soit de 828°'-i et dont la base et la hauteur fassent mmotnme 132"" ,* question qui conduit à

-l'équation #(132— x)= 828 , laquelle ne diffère de l'équation [4] qu'en ce que x est changé en —x .

Enfin cette question générale qui comprend les précédentes : Trouver deux quantités dont le produit soit 828 et dont la somme algébrique soit 132 ; laquelle, en désignant par x l'une des deux quantités demandées, conduit encore à l'équaiion [4], et admet les solutions négatives aussi bien que les positives.

L'équation [4] est donc beaucoup plus générale que le problème qui y a conduit; et il n'est point surprenant qu'elle admette une solution étrangère à ce problème particulier. Nous aurons souvent l'occasion de faire des remarques analogues.

182. Problème II. Partager 17 en deux parties telles que le varré de la première surpasse de 2 unîtes le double du carré de la seconde.

Si l'on appelle x la première partie , [a seconde sera (17— x) ; et en traduisant algébriquement l'énoncé, on aura

x = S» et x=10 .

La seconde valeur satisfait a la question , et donne pour les deux parties 10 et 7 .

Quant à la première valeur, elle est, quoique positive, étrangère à la question proposée, puisqu'une des parties de 17 ne saurait surpasser 17 .

Remarqué, L'explication de cette circonstance, en apparence singulière, est facile à trouver. Le problème que nous venons de résoudre avec une seule inconnue, en comporte réellement deux, qui sont les deux parties de 17 . '

Eu appelant m et y ces deux parties, les équations du problème seraient ....

x + y = \7 , ,' V ' À ' ~ty + 2 = x' .

Or, il ne suffit pas que x soit positif pour que la solution réponde à l'énoncé, il faut encore que y te soit, ce qui ne peut avoir lieu si x surpasse 17 . ■ ">.-■

Si l'on change y en —y , la première équation devient x — y = 17'

et la seconde ne change point. Ces équations répondraient à ce problème : Trouver deux nombres qui diffèrent de 17 , et tel que te

ou, en réduisant, d'où l'on tire c'est-à-dire

ËyUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. . 163

carré âaptus grand surpasse de limités le double du carré du plus petit. Dans ce cas, les valeurs de x restant les mêmes , on trouve que la valeur x = 5% satisfait et donne pour y une valeur positive y = 4l ;tandisque x=10 donne y = —- 7\'

Mais les valeurs, tant négatives que positives de ij .deviendraient admissibles si l'on prenait pour énoncé : Trouver deux quantités dont la somme algébrique soit 17 , et telles que le carré de la première surpasse de 2 unités te double du carré de la seconde.

On voit ici, comme dans le problème précédent, que l'équation à laquelle on est parvenu est plus générale que le problème qui y a conduit, et que c'est à cette plus grande généralité qu'il faut attribuer les valeurs étrangères au problème particulier que l'on a en vue fournies par les procédés de l'Algèbre.

185. ProblÉmeIII. Unchampa 480 m -< de superficie; un champ voisin, qui a 6- de plus en longueur, mais 4™ de moins en largeur, a la même superficie. On demande l™ dimensions des deux champs (dont la forme est supposée être celle d'un rectangle).

La superficie d'un rectangle ayant pour expression le produit de sa longueur par sa largeur, si x désigne la longueur du premier champ, — sera sa largeur. La longueur du second sera x -f- 6 ; sa largeur sera ; et sa superficie sera le pro-

duit de ces deux expressions. On devra donc avoir

ou, en effectuant et réduisant, ' ' '■ '-■ -''

Faisant disparaître le dénominateur x , transposant et divisant par 4 ,il vient

a?-f.6ir — 720=0 , d'où l'on tire . x=.— 3±t/729=— 3=fc27 , ' c'est-à-dire «.= 24 et . x = — 30 . ' ■

Prenons d'abord la solution positive. La longueur du premier champ étant do 24"° ,jsa largeur est ou ' ' a ' on "

gueur du second est 24 ul -f-6'" ou 30 m " , et sa largeur est 20°'— 4 m ou 16'" , sa superficie à donc pour valeur 30X16 ou 480 m "i ; elle équivaut donc bienà la première.

Passons à ia solution négative. Pour l'interpréter, changeons x en —a: dans l'équation tlu problème; nous aurons

ou, en changeant à la fois le signe de chaque facteur, ce qui n'altérera pas le produit,

équation qui répond au cas où le second champ aurait 6 m de moirtsen longueur et 4'" de plus m largeur.

On trouverait en effet pour solutions #=30 et x=i — 24 . La première de ces valeurs donne pour la largeur du premier champ

ou 16"' ; la longueur du second est 30 — 6 ou 24 m et

sa largeur est 16 + 4 ou 20™ . d'esl-à-dire que c'est le second champ du cas précédent qui est devenu le premier. Quant à la valeur négative — 24 , son interprétation nous ramènerait au premier cas. '

On voit qu'on passe d'un eus à l'autre en changeant le signe de x ; et c'est pour cela que l'Algèbre les réunit en présentant la solution de l'un avec le . signe + et celle de l'autre avec le signe — .

184. Problème IV. Une personne qui a 120000 fr. décapitai en a fait deux parts qu'elle a placées à deux taux différents; la première lui rapporte annuellement 2800 fr. ; la seconde, qui est placée à un taux plus élevé de lfr. ,luirapporle 2500/r, On demande quelles sont les ihvxparls, et à quels taux elles ont été placées.

Désignons par x le taux auquel la première part est placée. Si la première part était connue, on obtiendrait son intérêt annuel en la multipliant par le taux x , et en divisant par 100 .; ce qui devrait donner 2800 fr. On aura donc l'expression de la première part en faisant tes opérations inverses , c'èst-à-dire en .multipliant 2800 fr. par 100 , et en divisant lè produit par x ; ce qui donne - ;

En raisonnant de la même manière,- on trouvera pour l'expression de la seconde part .,' ' / 250000

Et puisque la somme des deux parts doit faire le capital entier, on devra avoir

ou encore 12;c*— 41;e— 28=0 ,

d'où l'on tire x = A et x =— ~ .

La valeur positive +4 , qui est seule admissible, donne 4 + 1 ou 5 pour le taux auquel a été placée la seconde part. Là première est hIots

ou 70000* ,

et la seconde est oit 50000'.

La somme de ces deux parts forme bien le capital 120000 fr.

Iei, comme dans le problème I, la valeur négative — — ne

pourrait être interprétée qu'en partant d'un énoncé incompatible, avec la notion d'intérêt. Rappelons que si l'Algèbre fournit ainsi une solution étrangère, cela tient à ce que l'équation à laquelle on est parvenu a plus de généralité que !e problème particulier qui y a conduit, et que l'Algèbre doit répondre à toutes les questions qui conduiraient à cette même équation, et dont quelques-unes pour-

raient admettre la solution négative -— ^ .

1B3. Problème V. Diviser 11 en deux parties telles que la somme de leurs cubes soil égale à 407 .

Soit x l'une des parties, l'autre sera 11 — x .Le cube de la première s'écrira x* . Pour former le cube de la seconde, formons d'abord son carré qui est 11 1 — 2XH .x-\-x? , et multiplions ce carrépar 11 — x , ce qui donnera . -

SXïft.af+axil. x*^a? .

lès deux cubes, lés termes er )ir l'équation

11'— 3X U*. a- + 3XH,« , =4i

En faisant la somme des deux cubes, lés termes en x* disparaissent; on doit donc avoir l'équation

ou , en remarquant que tous les termes sont divisibles par 1 1 ',

11»— 3X11 .#+3^=37 , ou 3iH— 33a: + 84 = 0 ,

ouencore x*— lla: + 28=0 ,

d'où l'on tire et x = i .

Sil'onprend 7 pourlapremièrepartie,lasecondesera 11 — 7 ou 4 .Sil'onprend 4 pour la première, la seconde sera 11—4 ou 7 . En sorte que, bien que nous trouvions deux valeurs positives distinctes et toutes deux admissibles , le problème n'admet néanmoins qu'une solution. Cela tient a ce que ,. a- ne désignant pas plutôt une des parties que l'autre , l'Algèbre doit les donner toutes les deux ; et c'est ce qui arrive en effet.

18C. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples qui suivent :

I. Une personne a acheté du drap pour 300 fr. .Si elle avait payé lemèlre 5 fr. de. moins clic aurait eu, pour la même somme, 2 m de drap de plus. On demande combien elle a acheté de mètres de drap.

(Réponse : 10" . Solution négative — 12™ , qu'on interprétera comme au n° 185.)

II. Un amateur de tableaux achète pour original une copie qu'il est obligé de revendre ensuite 24 fr. ; à ce marché il perd autant pour 100 que le tableau lui avait coûté. On demande quel a été le prix d'achat. •

(Réponses: 60 fr. et 40 fr.)

III. Partager 12 en deux parties telles que le carré de /a première soit inférieur d'une unité au double du carré de la seconde.

(Réponse: la première partie est 7 ; par suite la seconde est 5 . De plus une solution inadmissible , 41 pour la première partie, ce qui donnerait pour la seconde — 30. ^Voy. le n" 182.)

IV. On a payé 96 fr. à 14 ouvriers , hommes et femmes; chaque homme a reçu autant de francs qu'il y avait de femmes, et chaque femme autant de francs qu'il y avait d'hommes. Combien y avait-il d'hommes et combien y avait-il de femmes?

(Réponse: 8 hommes et 6 femmes , ou bien 6 hommes et 8 femmes ). - ■ .

V. Trouver les quatre termes d'une proportion par quotient, sachant que la raison est 3 , que la somme des antécédents est 5 , et que ta somme des carrés des quatre termes est 130 .

(Réponse: î:6::3:9 ou 3:9::2:6).

ÉQUATIONS BICABHËES. 167

VI. Deux ouvriers ont un ouvrage à faire. Si chacun d'eux en faisait la moitié, il leur fautlrait en lavt 25 heures de travail, pour le terminer; mais s'ils y travaillent ensemble . l'ouvrage sera fait en 12 heu/ es . Combien d'heures chacun d'eur emploierait-il il faire l'ouvrage entier s'il travaillait sent ?

(Réponse : L'un des ouvriers emploierait 30 heures , et l'autre 20 heures .)

S 111. Ce la rMoliitlon Je l'équatloo annniuiK, et îles probtïmea qui conduisent h une équalion de celte ps[ieee.

187. On nomme équation bicarrée une équation du quatrième degré (66) qui ne contient que les puissances paires de l'inconnue. Lorsqu'on a fait disparaître les dénominateurs, passé tous les termes dan3 un seul membre , réuni en un seul tous ceux qui contiennent l'inconnue à la quatrième puissance, en un autre tous ceux qui la contiennent à la deuxième puissance, enfin en un troisième tous ceux qui sont indépendants de l'inconnue , l'équation bicarrée se présente sous la forme

ax l -\-br>+c = 0 .

Pour résoudre une pareille équation, qui ne diffère d'une équation du second degré qu'en ce que x y est remplacé par a? et a* par , on pourra prendre comme inconnue a? . On posera donc

x*=y d'où x*=y*

en élevant les deux membres aucarré. Substituant ces valeurs dans l'équation proposée , elle deviendra

a'j'+by + c = 0 ,

d'où l'on tirera (179)

de x*=y , ondéduit x=±\'y ; mettant donc pour y la valeur qu'on vient de trouver, on aura finalement

ce qui fournit pour x quatre valeurs, en combinant les signes

de toutes les manières possibles, savoir :

l—k—JW^

b—</b'—im

Ces valeurs sont deux a deux égales el de signe contraire , et c'est ce qu'où pouvait prévoir. Car, si une valeur quelconque a , mise pour x , satisfait à l'équation proposée , la valeur égale et de signe contraire — a y satisfera également, puisque le carré de — * est le même que celui de +<t , et que par. conséquent il en est de même de leurs quatrièmes puissances.

188. I. Soit, pour exemple numérique, l'équation x>— 169^+3600= 0 .

En posant x , = y , d'où x i =y i , on obtient

f-— 16i)J + 3600=0 , équation qui donne pour y deux valeurs

y= 144 et y = 25 , mettant ces valeurs dans o?=y , il vient

x' = Ui et a? = 25; d'où x —±12 et * =±5 .