II. Soit, pour exemple algébrique, l'équation

En opérant comme ci-dessus, on aura successivement

y>-2((? + b>)y +(tf-fi')'=0 , d'où i/ = a 1 +b*±2ab ,

"c'est-à-dire y = [a-\^bf et y = (a—~ b? , donc a 3 = (a + b? et ic ! = (a— b? ,

d'où x = ±(a-\-b) et x =±(«— 6) ,

c'est-à-dire

ÉQUATIONS BICARRÉES. 169

Il est facile de vérifier que chacune de ces quatre valeurs satisfait effectivement à l'équation proposée.

180. Nous allons donner quelques exemples de questions qui donnent lieu à la résolution d'une équation bicarrée.

PboblèîiIE I. Décomposer 120 en deux facteurs tels que la somme rie leurs carrés soit égale à 289 .

Soit x l'un des facteurs, l'autre sera — - ; on devra donc

avoir a* + = 289 ou ^—289^+14400^0 , d'oùl'ontire a:=±15 et #=±8 .

Si l'on ne veut que des facteurs numériques, les valeurs positives 15 et 8 peuvent seules convenir à la question ; mais si l'on admet les facteurs algébriques , on aura encore une solution en prenant — 15 et — 8 . . . <■■

Problème II. Trouver la base et la hauteur d'un rectangle sachant que sa surface est de I2 m " ! et que sa diagonale a 5"' . (On suppose connus la mesure du rectangle et le théorème de Pythagore. )

Soit x la base , la hauteur sera — ; or, d'après le théorème

de Pythagore, la somme des carrés de ces deux dimensions doit égaler le carré de la diagonale ; on doit donc avoir

>-|ïi*=25 ou 25^+144=0 , .

d'oùl'ontire #=±4 et #=±3 .

Ici les valeurs +4 et +3 sont les seules qui soient admissibles.

Pboblkme III. Partager 60 en deux facteurs tels que le carré du triple du premier, plus le carré du double du second fassent une somme égale à 801 .

Soit x le premier (acteur, le second sera ^ et l'on devra avoir (3^)'+(^y = 801 ou 9^+^— =801 , ou enfin 9a;'— 801^+14400 =0 . :

d'oùl'ontire x=±B et *=±5'.

Les seconds facteurs correspondants seront ±~ et ±~ , c'est-à-dire ±~ et ±12 .

Les deux facteurs devront être pris avec le même signe, attendu que le produit 00 est positif.

9 IV. Résolution, dans quelques eu simples, d'un système de plusieurs équations .(dont une au moins du second degré) renfermant le même nombre d'in-

190. Une équation à deux inconnues est dite du second degré lorequ'après y avoir fait disparaître les dénominateurs et effectué les calculs, elle contient soit le carré de l'une des inconnues, soit le produit de ces doux inconnues.

En général, une équation ii deux inconnues est du degré n , lorsque , après avoir fait disparaître les dénominateurs et effectué les calculs, la somme des exposants des deux Inconnues est « dans le terme où celte somme est la plus grande.

Nous nous occuperons, dans ce paragraphe, de la résolution, dans quelques cas simples, d'un système de deux équations à deux inconnues, lorsque l'une au moins de ces équations est du second degré. - -,

Soit d'abord le système des deux équations x+y=a . , xy=b ,

Si l'on tire de la première la valeur de y en x , savoir y=a — x , et qu'on la mette a la place de y dans la seconde, on obtient

x{a — x)=b ou ax — x*—b , ou encore x 1 — ax-\- 6=0 .

Si, au lieu d'éliminer y , on eût éliminé x. , on serait parvenu à l'équation

y'— fly-r-6=0-, qui ne diffère de la précédente que par le caractère qui représente l'inconnue; d'où il suit que la même équation donne à la fois x et y ; c'est-à-dire : non pas que x et y sont égaux , mais que si l'on prend pour x l'une des valeurs, fourni es par l'équation du second degré à laquelle on est parvenu , il faudra prendre pour y l'autre valeur fournie par la même équation.

On aurait pu prévoir ce résultat; car les équations proposées sont symétriques en . x et y ; c'est-à-dire que si l'on y changeait x en y et y en' x , elles ne changeraient pas; il en résulté que le calcul qui donne x est le même que celui qui donne y , et que par conséquent il doit donner à la fois l'un et l'autre.

ÉQEATIONS DO SECOND DEGRÉ A DEUX fflCOUHUES. 471

On tire de ce qui précède ce théorème de calcul : Longue l'on a la somme et le produit de deux quantités, elles sont données tnw. et l'autre par une même équation du. second degré , dans laquelle If. terme affecté de la seconde puissance de l'inconnue a pour coefficient l'vnité ; le terme affecté de ta première puissance apour coefficient la somme des deux quantités prises m signe contraire, et le terme indépendant de l'inconnue est le produit de ces mêmes quantités.

191. Soit, par exemple, à résoudre ce problème: Trouver la base et la hauteur d'un reclanale, sachant que sa surface est de •fS"" 1 et que son périmètre est de 28 m .

En désignant par .x la base et par y la hauteur, on aura xy pour l'expression de la surface et 2.r-)-2y pour celle du périmètre. On devra donc avoir

xy—AK et 2a; + 2f/=28 ou x-\-y=li .

En vertu du théorème précédent, l'équation qui donnera à la fois la base et la hauteur sera

14«+48=0 , d'où s=8 et s=G ,

c'est-à-dire que si la hase a S™ , la hauteur aura 6 m ; ou que si la hauteur a 8 m , la base aura 6™ . Car s désigne indifférent ment la base ou la hauteur du rectangle. . r , , (

192. Soit proposé un système quelconque de deux équations à deux inconnues, l'une de ces équations étant du premier degré, et l'autre du second.

On pourra tirer de la première la valeur de y en' » , et, en la substituant dans la seconde, on aura il résoudre une équation du second degré en x . Ayant déterminé x , on remettra sa valeur dans la première équation, et l'on en tirera la valeur correspondante de y . Il y aura, en général, deux systèmes de valeurs, mais il pourra arriver qu'un seul des deux systèmes puisse convenir à la question particulière qui aura fourni les deux équations proposées. .

Soit proposé, par exemple , ce problème : Un capitaliste veut placer, à des taux différents, une somme de -iOOOO fr. et -une somme de 25000 fr. S'il lesplace à intérêts simples, il en retirera 6000 fr. au bout de deux ans ; mais s'il les place à intérêts composés, il en retirera 140 fr. de plus. On demande à quels taux les deux sommes doivent être placées.

Soient x et y ces deux taux. Pour obtenir l'intérêt de 40000fr. autaux x , au bout de' 2 ans , àintérétssimples.on

17! SBCONDK PARTIE, — CHAPITÛB VU.

sait qu'il faut multiplier 40000 fr. par œ et pur 2 , et diviser le résultat par 100 . On obtient ainsi 800;c .

On obtient de la même manière, pour l'intérêt de 25000 fr. , au bout de 2 ans , et au taux y

Onaura donc, pour première équation

800w+50fly = 6000 , ou 8« + Sy = 60 ■. - [I].

En second lieu , pour savoir ce que devient un capital 40000 fr. au bout de 2 ans , au taux x et à intérêts composés, on sait qu'il faut multiplier le capital par ^1 -j- , ce qui donne

De même, un capital de 25000 fr. , placé pendant 2 ans au taux y et à intérêts composés, devient

a5000 ( , +ife)' •

Or, la somme de ces deux capitaux définitifs doit faire la somme des capitaux primitifs augmentée de ce qu'ils rapportent, c'est-àdire augmentés de 6000 fr. plus 140 fr. , ce qui fait en tout 71 1 40 fr. On a donc pour seconde équation

40(100 ( 1 +îœ)'+ 250ilo ( 1 +î5ô)'= 71140 • ou, en effectuant, chassant les dénominateurs et réduisant,

8a: 1 - l -16O0a;-f-5y , -f-1000y=12280 f2], On tire de l'équation [1]

Mettant pour y cette valeur dans l'équation [2], faisant disparaître les dénominateurs , et réduisant , ûn obtient 13#' — 120a7-|-275 = O , ....

d'où a; = 5 et x=4& .

Ces valeurs, mises pour x dans l'équation [3] donnent , 9 = 4 et y=5À ■

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