DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 1S

ou, en faisant passer le dénominateur 2 sous le radical (204),

Sous cette forme , on voit que la transformation qu'on sa propose serait effectuée si a 1 — b était un carré parfait ; car en désignant par c la racine de ce carré, on aurait :

Quant aux signes qu'il conviendrait de prendre, on remarquera que si l'on élève cette valeur au carré, on obtient

et qu'il faut mettre le signe -j- ou le signe — devant le radical suivant que les deux radicaux séparés qui entrent dans la valeur de x sont pris avec le même signe ou en signe contraire. Or, ou doit avoir aussi

,x ! = a + \fb <

Les deux radicaux de la valeur trouvée pour x devront donc être pris avec le même signé, et ce signe devra être + si l'expression proposée \a-\-<jb est elle-même précédée du signe -f- '. Cé ■ signe devrait au contraire être — , si l'expression proposée était précédée du signe — . En sorte qu'on a

S'il s'agissait au contraire de l'expression va — \jb qui conduit à la même équation bicarrée , nés deux radicaux séparés dans la valeur de x devraient être pris en signe contraire, afin que leur produit fût affecté du signe — , comme le terme — \fb ; etl'ouaurait " - -

Soit, pour exemple, l'expression

On a, dans 1 ce cas, tf— 6 = 64 — 60 = 4 ; d'où c = 2 et par suite

La transformation se trouve ainsi effectuée.

£ II. Des quantités imaRiuaires du second degré.

810. Nous avons fait remarquer, au commencement du paragraphe précédent, que la racine carrée d'une quantité, positive, qu'elle soit commensurable nu non, a toujours une existence réelle, puisqu'on peut toujours assigner deux limites numériques, aussi rapprochées qu'on le voudra , entre lesquelles elle soit comprise. Il n'en serait plus de même si 1& quantité dont on .veut extraire la racine était une quantité négative. Non-seulement la racine carrée d'une quantité négative ne saurait être assignée en nombres, mais elle n'a même aucune existence réelle; car il résulte de la règle des signes (114) qu'aucune quantité réelle, soit positive, soit négative, ne peut, lorsqu'on la multiplie par elle-même, donner im produit négatif.

Ainsi -j- 2 , multiplié par lui-même , donne -f- 4 ; et — 2 , multiplié par lui-même , donne également . -)- 4 . Mais il n'existe aucune quantité réelle qui, multipliée par elle-même, puisse donner pour produit — 4 . La racine carrée de — 4 , n'a donc pas d'existence réelle ; et l'expression y'— 4 n 'est que le symbole d'une opération impossible. ;

Les expressions de cette espèce sont ce que l'on appelle des quantités imaginaires.

Toute racine de degré pair d'une quantité négative est encore une quantité imaginaire; car, d'après la règle des signes, toute puissance paire d'une quantité réelle, soit positive, soit négative, est nécessairement positive. Mais nous nous occuperons spécialement dans ce qui va suivre des imaginaires du second degré.

On donne ordinairement à ces quantités une forme plus commode. Reprenons comme exemple l'expression y' — 4. . On regarde la quantité — 4 , placée sous le radical, comme le produit de +4 par —1 ; et pour extraire la racine carrée du produit on convient d'appliquer encore la règle du n" 201, c'est-à-diro qu'on extrait , ou que du moins on indique la racine carrée de chaque facteur. On obtient ainsi 2 . y/— ï • De même l'expression </— aponrrait s'écrire hY-— T ; l'expression y— 3 s'écrirait </s V—f -