DES IMAGINAIRES DU SECOND DE6RE

Eu un mot, la racine d'une quantité négative s'écrit en multipliant par <i£~ï la racine de la même quantité prise positivement.

211. Pour auditionner ou pour soustraire deux quantités de ta forme ov^— 1 , on opère l'addition ou la soustraction des quantités réelles que <f— ï multiplie, et l'on met en facteur commun, Ainsi

ai/^î+b\PÂ=(,a+b)i/^ï ; 5^=1— 3v ,= ï=2, v /= î Pour multiplier l'une par l'autre deux quantités de la forme a\f— ï , on fait le produit des quantités réelles, et l'on multiplie l'un par l'autre les deux facteurs y'— ï • r *

Soit, parcxemple, àmultiplier « v — I par 6v—ï ; on multiplie d'abord ' a par b , ce qui donne ab ; puis on multiplie V 7 — -ï par y'— 1 ■ Ce dernier produit, qui n'est autre que le carré de \/—ï , donne —1 par la définition même de la racine carrée; le résultat total est donc — ab , c'est-à-dire le produit des quantités réelles pris en signe contraire.

Ainsi (+3v^^x(+6'v C: ï)=.^15 .

Pour diviser l'une par l'autre deux quantités de la foriuo a\J— ï , on fait le quotient des quantités réelles, et le facteur v / — ï

Tinsi £p=£ ; -?p=-i ■

Remabquk I. On pourrait faire le produit de <J — 1 par <J-—i en appliquant la règle du n° 308, c'est-à-dire eu effectuant la multiplication souS'le radical. On trouverait ainsi \/( — 1) X( — 1) ou V^fT , c'est-à-dire ±t ; taudis qu'en regardant le produit comme le carré de l'un des facteurs , nous n'avons trouvé que — 1 .

On pourrait expliquer cette contradiction apparente en remarquant que y / — 1 devant implicitement être pris avec un double signe , le produit v— I x v^î peut lui-même être affecté d'un double signe; en sorte que si le produit absolu est — 1 , le produit, eu égard aux signes , est =p 1 .

Mais il est préférable d'effectuer le produit comme nous l'avons fait en premier lieu; cette méthode étant conforme à.la définition mémo de if^i , et indépendante de toute convention étrangère.

Remarque II. On voit que les règles qu'on vient de donner pour

190 SKCONDK PARTIE. — UIAl'ITHK V1H.

le calcul de3 quantités de la forme à^/—i ne sont que l'extension des règles établies pour te calcul des quantités réelles. Cette extension, dont l'utilité sera mieux sentie par la suite, est justifiée par la tendance de l'Algèbre à généraliser ses procédés.

91S. Toute expression algébrique dans laquelle il entre des quantités de la forme a y^ï est une expression imaginaire. Celles qui sont les plus importantes à considérer, et auxquelles on peut, comme on le verra plus tard, ramener toutes les autres, sont les expressions de la forme orf b \/ — 1 , qui se composent d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Nous allons reprendre en détail l'examen des opérations qu'on peut avoir à effectuer sur des quantités de cette forme.

I. Addition. Soient à additionner les deux quantités a-\-b\f^\ et c-^-d^—ï ; on pourra d'abord écrire le résultat de cette manière : a + iy' - 1 +c+d\/— 1 . Mais on peut aussi, en intervertissant l'ordre des termes, écrire a~\-c -^~b\f^-î- l r d< l /^ï , ou (211) {a+c)+{b+d)i/=ï .

Et l'on voit que la somme de deux quantités de la forme n+ b <J— 1 est encore une quantité de même forme.

II. SousTBÀCTioH. On verrait de la même manière que la différence des deux quantités n+ôy/^ï et e-fdv'— î es*

c'est-à-dire une quantité de même forme.

215. III. Multiplication. Soit à multiplier a+b'/^ï par tf-L-tfv'— ï - En multipliant chaque terme' du multiplicande par chaque' terme du multiplicateur, et en ayant égard à ce qui a été dit au n" 211, on obtiendra .

ac+bc\tt+àd\/=ï— bd ou {ac— bd)-\-(bc-\-ad)j^î. Ainsi le produit est encore une quantité de même forme. . Rehàrque I. On peut observer que si l'on avait c=a et d=~b , le résultat se réduirait à tc'+b' . Ainsi on a ce théorème :

( a |i v CZÏ)( û ôv /=ï) =(l » +ô! t .

qui n'est que l'extension du théorème analogue démontré pour les quantités réelles au n° 36.

RlMiBén» 11= Le produit ne péut être nul qu'autant que la partie réelle et la partie imaginaire s'annulent séparément , puisque l'une