DES IMAGINAIRES DU SECOND DEUKË

d'elles ne saurait se réduire avec l'autre. Pour que le produit fut nul , il faudrait donc que l'on eût à la fois . . ,

' ce — bd=0 et be + ad = 0 .

Faisant la somme des carrés, on obtient

ou ' (à , -i-i i )(c , +(p)=o . ;.' •'•

Or, un produit de quantités réelles ne peut être nul qu'autant que l'un des facteurs est nul. On doit donc avoir ou bien o'-J-6'=0 , ,cequi exige o = 0 et ô = 0 , ou bien c'.+ (P=0 , eo qui exige e = 0 et d=Q ..

Dans le premier cas, le facteur a-\- 6^— ï s'annule; dans le second , c'est le facteur c -f- d ^ — 1 -,

Ainsi, un produit de deux quantités imaginaires du second degré ne peut être nul qu'autant que l'un tics deux facteurs est nul.

IV. Division- Soit'à diviser a-\-b\/—l par c-\-di/—L 'On peut d'abord écrire le' quotient sous la forme fractionnaire

Multiplions les deux termes de cette expression fractionnaire par c — difi—i ; il viendra

(ac bd) + (be— ad) y/^T .

~ " e*4-(P' ' ce qu'on peut écrire

ae+'bd, bc — ad ,—— c'+d 1 T e'+d> V Ainsi le quotient se composé encore d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, c'est-à-dire qu'il est de la même forme que le dividende et que le diviseur.

On trouverait ainsi que le quotient de tO + 15 y'— -ï par l+2\f^ï est 8 — v^-ï • ■ ' • , '

«M. V. Soit à former le carré de la quantité a + b'^î . D'après les règles de la multiplication , on trouvera

quantité de la même forme que a + à ^4 .

Ainsi le carré de 3 + 2 y— 1 est 5 + 12^—1. ■ .

192 SECONDE l'AHTlE. —

' VI. Soit enfin à extraire la racine de a-\-b\f^î - Nous allons faire voir qu'elle est encore de même forme. Pour le démontrer, posons

Il s'agto de démontrer qu'on peut trouver pour x et y dos valeurs réelles propres à satisfaire à cette égalité. Si l'on élève les doux membres au carré, on obtient

Or, comme on suppose x et y réels, et ijue les quantités réelles ne peuvent si! réduire avci; les imaginaires, cette équation ne pourra subsister qu'autant qu'il y aura égalité entre les quantités réelles, d'une part, et les quantités imaginaires de l'autre. On devra donc avoir a la fois

x> — f = a [3] et ' *xy = l> [fl.

On pourrait obtenir les valeurs de x et de y au moyen d'une équation bicarrée, mais ks résultats te présenteront sous une forme plus simple en opérant comme il suit.

Multiplions l'équation [3] par b , l'équation [4] par « , et retranchons ensuite membre à membre pour faire disparaître les termes indépendants de x et de y ; nous trouverons

bx' — 2oa:y — fty 1 — 0 , ' ou , en divisant par tf ,

Résolvonscette équation en y regardant - connue l'inconnue; il viendra

Multipliaut membre à membre avec l'équation [4], on obtient

■ ■ ' ix' = a± v '^f¥ , ■

d'où , « 1 = ^ i Ty [Ç3,

en ne prenant que le signe + , attendu que doit être .positif. . __

De là x = ± y / « + v / « , + y £?]i

quantité réelle.