DES IMAGINAIRES DU SECOND DEGRÉ

Pour obtenir y , il suffit de mettre pour sa valeur [6] dans l'équation [3], qui donne

d'où

quantité réelle , puisque y/a' + b* est plus grand que 0 ou que a .

En ayant égard à l'équation [4], on voit que x et y doivent être pris avec le même signe si 6 est positif, et avec des signes contraires si b est négatif. On aura donc

v ^n =± ( v /^+i +v ^HE:»^i) " vsr^ =± ( v /^pi v /^^? lC5f ),

quantités qui sont bien de la forme « -+- b .

Soit, par exemple, à extraire la racine de 5 + 12 v'^ï ; on aura a— 5 , 6 = J2 , par suite

218. Le lecteur a pu se demander plusieurs fois dans quel but , si les quantités de la forme b\l — 1 ou a-\-b\l — l n'ont aucune réalité , on étend à ces expressions les règles établies pour le calcul des quantités réelles , rt quelle est l'utilité qu'on peut retirer du calcul des quantités imaginaires. À cela, nous pourrions répondre que ces quantités jouant un rôle dans la discussion des problèmes du second degré, il importe de les étudier d'abord en elles-mêmes. Mais on peut ajouter aussi que ces sortes de quantités, bien que n'ayant aucune réalité , peuvent servir à des transformations auxquelles il serait souvent très-difficile de parvenir sans leur secours. Elles forment, comme on l'a dit quelquefois,

19fl SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VIII.

une sorte de pont que l'on jette d'une expression réelle à uni; autre, et que l'on brise après l'avoir passé.

Pour donner un exemple élémentaire de cette propriété, qui justifierait à elle seule l'extension des règles du calcul des quantités réelles aux quantités imaginaires , proposons-nous de démontrer ce théorème d'arithmétique :

Si un nombre est la somme de deux carrés, son carré est encore la somme de deux carrés.

l'ourle faire voir, désignons par n un nombre qui soit la somme de deux carrés à 1 et 6* , en sorte qu'on ait n = a*+b' .

En vertu de la propriété démontrée au n° 213, on peut écrire cette égalité de la manière suivante :

Élevons les deux membres au carré, il viendra n'=(a+fi /=!)*(*- Av^l)" , ou , en développant chaque carré ,

«»=(a*-^.'+2Qi>^/^î)(a , -ô , — Sa&^=ï) , ou, en vertu de la propriété déjà citée,

Pf+ia'b' .

Or, le second membre est bien la somme de deux carrés ; savoir : du carré de a* — h- et du carré de 2aô.

En sorte que non-seulement ou a démontré la proposition, mais encore on a des formules pour la décomposition de n s en deux

Soit, par exemple, n = ô . Ce nombre est la somme do deux carrés 4 et 1 . Si l'on pose a ! = 4 et 6'=1 , ou o = 2 et b=l , on aura, d'après ce qui précède,

ainsi m" ou 25 est ln somme du carré de 3 et du carré de i .

Posons maintenant N=-4'-j-3' , en faisant a=4 et 6=3 . Les mêmes formules donneront

ainsi N* , on le carré de 25 , c'est- a- dire 625 , est la somme du carré de 7 et du carré de 24 ; ce qui est en effet. Et ainsi de suite.

Sans doute on aurait pu démontrer ce théorème- sans le secours

DISCUSSION DtS PROBLÈMES OU SECOND DKGRÊ. 195

des quantités imaginaires, mais la démonstration qui précède est très-propre à faire voir, sur un exemple élémentaire et simple , comment, d'une relation entre quantités réelles, on peut déduire, par le secours des imaginaires, une autre relation entre quantités réelles. .

S III. Discussion des problèmes du secoud degré.

210. Nous avons vu (177, 179) qu'une équation du second degré peut toujours être ramenée il la l'orme x l -\~px-\-q — 0 , ou il la forme plus générale ax , -\-bx-\-e=0 . Pour cela nous avons dit qu'il fallait faire disparaîtra les dénominateurs et effectuer les calculs. Nous pouvons ajouter à présent que, si l'équation contenait un ou deux radicaux du second degré, sous lesquels l'inconnue fût engagée, il faudrait les faire disparaître.

A cet effet, s'il n'y a qu'un seul radical, on l'isole dans un membre; et, en élevant les deux membres aU carré, on le fait disparaître. Soit, par exemple > l'équation ;

on en tirera successivement

3^^5=24—2^ d'où •dix — 5) = (24 — 'lef , où il n'y aura plus qu'à effectuer les calculs et transposer.

S'il y a deux radicaux , on les isole dans un membre ; on élève au carré; le membre qui contenait les radicaux ne contient plus alors que leur double produit. On isole le douhle produit dans un seul membre; et, en élevant une seconde fois au carré, on obtient une équation débarrassée de radicaux. Soit, par exemple, l'équation :

v'œ+V'13— £=0 , " on en tirera successivement

x |-13 a:-f 2^(13— a;) = 25 , ou ^(13— x)=G ; puis «(13— i) = 3ô ,

où il n'y aura plus que les calculs à effectuer.

Cela posé , reprenons l'équation du second degré sous la forme :

x*+px+q=0 [1].

Nous avons vu (177) qu'en la résolvant on obtient les deux valeurs :

19fi SECONDE PARTIE, — CHAPITRE Vljl

Ces valeurs, que nous désignons par x' et x" , sont ce .que l'on a l'habitude d'appeler les racine* de l'équation dti second degré. Il est important de ne pas les confondre avec le radical qu'elles renferment.

Si on les ajoute on obtient

et si on les multiplie, on trouve pour produit

Ainsi : 1" la sm/rtitn îles riieiii'-s d'uni: cquttlum du second degré, de lu forme x'-j-px-|-q=0 , est égale au coefficient de la première puissance de x , pris en signe contraire ■; et, 2° le produit de ces mêmes racines e.U égal au laine nul è peu liant de x .

Réciproquement : si deux quantités a et b remplissent ces conditions, en sorte qu'on ait à la fois

a-\-b= — p et ab = q ;

ces quantités sont racines de l'équation [1], c'est-à-dire que, mises à la place de x , elles satisfont à l'équation. Car, on tire delà première relation

et, en mettant pour b cette valeur dans lu seconde, il vient ' — pa — a* = q ou a' -\-pa + q — 0 .

Un démontrerait, en éliminant a au contraire, qu'on a aussi

b' + pb + q = 0 .

217. Remplaçons, dans l'équation [1], p et q parleurs valeurs — 'x'-\~x") et x'x" ; il viendra

x'- — (x' + x")x-\-x'x" = 0 ou x' — s/x — afx-\-x'x"=0 ,

ou encore x{x~ m')— x"(x— x') = 0 ,

OU enfin (x — x')(x — x") = 0 [2].

Ainsi, k premier membre de l'équation x*-j- px-j-q — 0 se décompose en deux facteurs du premier degré, formés de l'inconnue x diminuée alternativement îles deux racines. Si, par exemple, on a l'équation

DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SECOND DEf.RÊ. 197

qui a pour racines 2 et 3 ; son premier membre pourra se mettre sous la forme (x — 1}(x — 3) , ce qu'il est facile de vérifier. Pareillement , le premier membre de l'équation

^ + # — 6=0 , qui a pour racines +2 et — 3 , pourra se mettre sous la forme

(r—2)(x+3) , attendu que la différence entre x et —3 est x-\-Z . ,

Remarque I. Le théorème que nous venons de démontrer fait comprendre pourquoi une équation du second degré peut être satisfaite de deux manières ; c'est que , son premier membre pouvant se décomposer en deux facteurs du premier degré , on peut anmileV ce premier membre on égalant à zéro l'un ou l'autre des doux facteurs.

Si, parexemple, on a l'équation x t -^hx-\-6 = Q , et qu'on la mette sous la forme

(s-2)(tf-3)=G , on voit qu'elle peut être satisfaite, soit en posant x — 2=0 , d'où x = 1 ; soit en posant x — 3=0 , d'où x = Z .

Remarque II. Le même théorème démontre aussi qu'une équation du second degré n'a que ileu.r racinex , e'est-à 7 dire ne peut être satisfaite que de deux manières. Et, en effet, en mettant l'équation [1] sous la forme [2] , on voit bien qu'on ne peut satisfaire à l'équation, c'est-à-dire annuler son premier membre, qu'en annulant l'un des deux facteurs (213, rem. II), ce qui donne ou x — x'=0 d'où x=a/ ,ou x — x"=0 d'où x=x" .

Remarque III. Il résulte encore du même théorème que si a est une des racines de l'équation x*-f-px-|-q = 0 , sonpremier membre e.it divisible par x — a ; car, si l'on appelle ù la seconde racine, le premier membre pourra se mettre sous la forme

— a){x — b) ; donc il est divisible par x—a .

218. Discutons maintenant les valeurs tirées de l'équation x , -\-px-\-q = Q , savoir

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