I. Soit j>-Û . Si l'on a ~ — s>0 , les deux racines Bont

réelles. De plus, elles sont de même signe puisque leur produit q est positif. Elles sont positives si leur somme — p est positive, c'est-à-dire si p est négatif; elles sont négatives si leur somme — p est négative, c'est-à-dire si p est positif. On ne peut, dans ce cas , supposer p = 0 .

SH'ona ^~ 9 = 0 , les deux racines sont égales; -chacune

vaut la moitié de leur somme , c'est-à-dire — ^ ; elles sont positives, nulles ou négatives , selon que p est négatif , nul ou positif. Si l'on a ~ — ?<0 , les deux racines sont imaginaires. Elles

sont égales et de signe contraire si leur somme — p est nulle, c'est-à-dire si p=0 .

II. Soit g = 0 .Le produit des deux racines étant nul, il faut que l'une d'elles le soit. L'autre est alors égale à leur somme — p , et est positive, mille ou négative, suivant que p est négatif, nu! ou positif.

III. Soit ?<0 . Les deux racines sont réelles. Elles sont de signe contraire puisque leur produit q est négatif. La plus grande en valeur absolue est de même signe que leur somme — p , c'està-dire positive si p est négatif, et négative si p est posilif. Si p était nul, les deux ratines étant de si-ne contraire devraient filre égales en valeur absolue.

220. On peut , à l'aide de ces remarques , reconnaître la nature des racines d'une équation du second degré avant de l'avoir résolue. Soit, par exemple, l'équation

Ici — g est égal à — 12 ou à , quantité po-

sitive.

Les deux racines sont donc réelles. Elles sont de même signe, puisque leur produit est -|- 12 ; elles sont positives, puisque leur somme est -j-7 .

Soit l'équation x'+7a;-f-12 = 0 .

Les deux racines sont encore réelles ot de même signe; mais elles sont négatives, puisque leur somme est — - 7 .

Soit l'équation 3^4-7^— 12 = 0 .

Les deux racines sont réelles; elles sont de signe contraire, puisque leur produit est — 12 .La plus grande est négative, puisque leur somme est —7 .

221. Remarque I. Lorsque les racines sont égales, le premier membre est un carré parfait. Cela résulte du théorème du n° 217, puisque ce premier membre revient alors à (x— x'j{x — x 1 ) ou à {x—x 1 )' , Mais il est bon de le voir directement. On a alors

^ — q=0 oo j=Y • S!, dans l'équation proposée, on remplace g par cette valeur, on obtient

*.+ P *+f = 0 ou (.+!)■=..

Remarque H. Lorsque les racines sont imaginaires , le premier membre est la somme de deux quantités positives, et ne saurait par conséquent devenir nul pour aucune valeur réelle de x , ce qui

rend l'impossibilité manifeste. On a, en effet, dans ce cas, ^ — y<0 ou î>^- . On peut donc poser ç=|4-a , , en désignant par

a* une quantité essentiellement positive. Mettant pour q cetle valeur dans l'équation , elle devient

a?+ px +ë+ a *=o ou (x+^+J=0.

Sous cette forme , on voit bien qu'aucune valeur réelle mise à la place de x ne saurait satisfaire à l'équation; car, que sOit positif ou négatif, son carré est toujours positif.

Remarque III. Lorsque les coefficients de l'équation , savoir p et q , sont réels, les deux racines sont toujours réelles ensemble ou imaginaires ensemble. Car, si l'une des racines était une quantité réelle « , et que l'autre fût une quantité imaginaire b-\-cij — 1 , on aurait , en vertu des théorèmes du n" 216,

-p = a + b + c</=ï et 9 = 0(04-^=1) ou p= — (a-\-b) — c\j — 1 et q = ab-\-ac\j — 1 , c'est-à-dire que les coefficients y et g seraient tous deux imaginaires.

Remarque IV. Si l'équation est numérique et que les coefficients p et q soient commensurables, les racines sont toujours com-

mensurables ensemble ou incommensurables ensemble. Car, si l'une des racines était une quantité commensurabie a , et l'autre une quantité incommensurable , pouvant avoir une partie commensurabie, telle que 6 + , on aurait, en vertu des théorèmes déjà cités ,

-p = a +b + /c et q = a (t> + fà ou p = — (a+i) — ]/e et q = ab -J- y'tfc ,

' c'est-à-dire que les coefficients p et q seraient tous deux incommensurables.

222. Nous avons supposé jusqu'ici que l'on pouvait mettre l'équation sous la forme as'-f- px-\-q = 0 ; c'est-à-dire que dans l'équation plus générale aa^-J- bx -\- c = 0 , a n'était pas nul, et qu'alors on pouvait diviser par a . Il s'agit de voir maintenant ce qui arriverait si des hypothèses particulières faites sur les données du problème venaient à annuler a .

Pour cela, changeons d'abord x en - ; aux plus grandes

ou, en chassant les dénominateurs,

a + by + cy*=0 . Faisons maintenant l'hypothèse a — 0 ; l'équation se réduit à by + cif—O ou y{b + cy) = 0 .

On satisfait à cette équation, soit en posant y = 0 , soit en posant

b-\*cy — 0 , d'où y — — - ; mats puisque x=- , on déduit de ces valeurs de y

La première de ces valeurs est une valeur infinis (1 22), que l'on n'aurait pas soupçonnée si l'on se fût contenté de faire a= 0 dans l'équation proposée, puisqu'elle se réduit alors à

bx + c = 0 , .' ^

et ne donne pour t. que In seconde valeur — j .

•Si l'on fait en même temps a=0 el 4 = 0 , l'équation en y ci-dessus se réduit à

et donne pour y deux valeurs nulles. Il en résulte pour x doux valeurs infinies , et c'est ce qu'on pouvait prévoir puisque la

seconde valeur — g se réduit alors à — - ou à l'infini.

1135. On aurait pu faire les mêmes hypothèses dans les valeurs générales tirées de .l 'équation ax t -\-bx-\-c = Û . Ces valeurs sont (170)

r __ fl -f^y— 4ae „ — & v '6'— 4ac x = — , m - ^ .

Si l'on suppose «=0 , on trouve

x=— et -=lH>Rnï.

On trouve bien une valeur infinie , mais l'autre se présente sous la forme indéterminée jj . Pour faire voir que cette indétermination n'est qu'apparente, on multiplie les deux termes de x 1 par — b—<J¥^ïâo ,

ce qui donne

x , (— bf— (6*— 4cc) = Aac ~—ï a {b + \/b*~4ac)~ 2a(f--f- ¥ / 6'— W) Sous cette forme, on voit que, si l'on fait a=0 , la valeur de x' se réduit à - ; mais que si , avant de faire cette hypothèse , on

supprime le facteur 2n commun aux deux termes (125), on obtient

qui est bien la valeur finie et déterminée qu'on devait obtenir.

Si l'on fait à la fois a ^0 et 6= 0 , les deux valeurs de x se présentent sous la forme g . Quant à la première, on vient de voir que l'indétermination n'est qu'apparente et que la véritable valeur est — j f , qui, pour 6 — 0 , se réduit à — ^ ou a l'infini.

Pour la secoiide, multiplions ses Jeux termes par — b-\-\ f b*— 'iac , ce. qui donne

^ <— flp— ÇP— 4ac) iac

2a(—b + i/P—4ac) 2a(— b+y/tf— iac) ' ou, en supprimant le facteur commun 2« , *

Si maintenant on fait a=0 et 6=0 , cette valeur se réduit à — ^ , c'est-à-dire a 'l'infini.

Ainsi, pour a = 0 et 6 = 0 , les deux racines sont infinies, comme cela devait être, d'après ce qui a été dit au numéro précédent.

Enfin, si l'on faisait à la fois o = 0 , 6 = 0 et c = 0 , les deux valeurs de a; se présenteraient encore toutes les deux sous

la forme jj ; mais dans ce cas l'indétermination serait réelle. Car il est évident que, dans, ce cas, l'équation pourrait être satisfaite par une valeur quelconque de x .

244. Nous allons appliquer cette discussion à quelques exemples particuliers.

Problème I. Trouver le dénominateur d'une fraction dont le numérateur est a , sachant que, si l'on ajoute b à chacun des deux termes, tajrm-titm uvijmente.de m ..

Soit x le dénominateur demandé. On devra avoir

— ri — m .

ou mz*—(l — m)bx-i-ab = 0 ,

d'où

= (1 — m) b ± V { t — mfP—Amab

1° Ces deux valeurs seront réelles et positives si l'on a : (1 — «i)'S*>4»hi6 et 1 — m>0 .

Soient, parexcmple, a = 3 , 6 = 2 , m = ~ .ontrouvera

JSE =11± ,,

l'où «' = 18 el zT = i .

Si l'on adopte la première valeur, la fraction demandée est ~ , et se change en — quand on ajoute 2 à chacun de ses termes.

0r ' |-ïs ou Ï~B ,aul eIecli ™»' à •

Si l'on adopte In seconde valeur, la fraction demandée est | ,

et se change en g quand on ajoute 2 à ctiacun de ses termes.

Or 5? = J ' 6 A 12 ■

2° Les deux valeurs deviendraient égales si l'on avait (1 —m)<p = 4mat> .

Soient, par exemple, , A = 8 , m = ~ ; on trouvera

pour ces deux valeurs x = A . La fraction demandée est alors ~, et se change en ^ ou ? quand on ajoute S à chacun de

ses termes. Or, | — ^ = ^ -

3° Les deux valeurs seraient imaginaires si l'on avait : (1— mf&<Amab .

C'est ce qui arriverait si l'on avait , par exemple , a = I , -=!,»=!.

Dans ce cas le problème serait impossible.

A° On trouverait une racine positive et une négative, si l'on supposait b négatif; c'est-à-dire si l'on supposait qu'au lieu d'ajouter un même nombre aux deux termes de la fraction on en retranchai un même nombre.

Soient, par exemple, a— 11 , b— — 2, ; on trouvera

d'où ai' = 6 et x"z= — 8| .

La seconde solution est purement algébrique ; la première donne

pour la fraction demandée ■ ~ . Cette fraction, quand on retranche 2 à chacun de ses termes, devient | . Or, ^ — y égale en

5" On trouverait une solution infinie si l'on faisait m = 0 , c'està-dire si l'on demandait que la seconde fraction fut équivalente à la première.

Les deux valeurs de x sont alors

La seconde solution est évidente : car si le dénominateur est égal au numérateur, auquel cas la fraction équivaut à l'unité, en ajoutant un même nombre aux deux termes on ne change pas sa valeur.

La première solution s'explique avec la même facilité; car si le dénominateur x est infini, il en est de- même du dénominateur x -j- b ; les deux fractions et | sont donc nulles

toutes les deux, et, par conséquent, leur différence est également nulle.

22ti. PhoblÉmb H. Trouver tes rayons, extérieur et intérieur, d'une sphère creuse de matière quelconque , connaissant l'épaisseur de la matière et Ir volume qu'elle occupe.-

Soit x le rayon intérieur, le rayon extérieur sera ^-j-e en désignant par e l'épaisseur de la matière. Le volume que cette matière occupe est la différence entre les deux sphères dont les rayons sont x-\-e et x ; on doit donc avoir, en appelant V ce volume,

ou, en divisant par

Si l'on fait le carré de x + e , on trouve x' -}- 2 ex -\- e' ; et on multipliant ce carré par x -+- e , on obtient pour le cube de ce binôme

a ? + $cat+3e*x + c* .

• Le volume d'une salière a |iour expression les -i du rapport r. île la circonférence au diamètre, muliipliés par le culic Uu rayon;

2116 • SECONDE"PARTIE. — CHANT Ht ¥111.

Mettant colla valeur dans l'équation ci-dessus, et supprimant les termes en a? qui se détruisent, il vient

On tire de cette équation

Pour que le problème soit possible , il faut que ces valeurs soient réelles; mais comme alors la seconde est nécessairement négative, il faut, de plus, que la première soit positive. Les deux racines devant tHi'c du ^-i^tie contraire, il faut que le dernier terme de l'équation [1] soit négatif (216), et cette condition suffit en même temps pour la réalité des racines {218).

l'osons donc ^— , 4^ < ~- lt > d'où ^-- > 3' ,te, ■

Cette condition exprime que le volume donné doit être plus grand que celui de la sphère qui aurait pour rayon l'épaisseur donnée ; et , en effet , le plus petit volume qu'on puisse obtenir en conservant une épaisseur donnée , correspond évidemment au cas où le rayon intérieur serait nul; la matière occuperait alors une sphère pleine ayant l'épaisseur donnée pour çayon.

Si l'on avait V = |^e ï ' , on devrait trouver zéro pour la valeur

positive de ce ; et c'est ce qui arrive en effet, car on a alors'

b, /fÊ? g a , /g g

Quant à la valeur négative, elle est purement algébrique, et ne peut convenir au problème.

226. Problème III. Trouver sur lu droite XY , qui joint deux points lumineux A et B,fc point qui reçoit de chacun d'eux lu même ijuanlili de lumière.

(On suppose connu ce principe de physique : que la quantité de lumière reçue est en raison inverse du carré de la distance au point lumineux.)

DISuÙaSKW DES PROBLÈMES DU SECOND „J)EOÏlÈ. 21)7

Prenons pour inconnue la .distance AC du point cherché, à l'un des deux points lumineux, cl désignous-h par & ;.soit d la distance AB des deux lumières. Représentons par a' la quantité de lumière que recevrait un point situé a 1 mètre du point A , et par p* celle qu'il recevrait à 1 mètre du point B. •

Si l désigne pour un moment la quantité de lumière que le point cherché C reçoit du point A , on devra avoir^ d'après le principe cité :

l:<£ :; l-:x d'où .

En raisonnant de même, on trouvera que la quantité de lumière que le point cherché C reçoit du point B est

td-xf •

Ces deux quantités de lumière reçue par le point cherché C devant être égales d'après l'énoncé, on doit avoir l'équation :

On pourrait la traiter comme à l'ordinaire, et nous conseillons cet exercice aux élèves ; mois il est plus simple de remarquer que les deux membres étant des carrés parfaits, on peut en extraire la racine, ce qui donne les deux équations du premier degré

r'ih ■

Si l'on prend le signe + devant le second membre, on trouve, en faisant disparaître les dénominateurs,

«d — ax=\ix , d'où x'=d.~^ .

Si l'on prend le signe — devant le second membre , on trouve , de la même manière ,

ad— ox=— §x , d'où x"=d.-?— B , «— P

valeurs réelles qu'il s'agit de discuter.

1° Supposons d'abord la première lumière plus intense que la seconde, ou a>p . Dans ce cas les deux valeurs a.- 7 et et" sont toutes deux positives.

Considérons d'abord la valeur a/ . Comme n-j-Ji est plus grand que « , l'expression — ^ est moindre que 1 ; la valeur af est donc moindre que il , et répond à un point compris entre les points" lumineux A et B . De plus, comme a + fl est

moindre que 'a-|-a ou 2a , l'expression est plus grande

que ^ ou que ^ ; ainsi x' est plus grand que la moitié

de d : Le point correspondant C est donc plus près du point B que du point A .

Considérons, en second lieu , la valeur x" .Comme a' — p est

moindre que a , l'expression est plus grande que 1 ;

ainsi x" est plus grand que d , et répond à un point C , situé au delà du point lumineux B qui a la moindre intensité. On conçoit, en effet, qu'on puisse trouver de ce côté un point pour lequel la différence d'intensité des deux lumières soit compensée par. la différence des distances au point éclairé.

2" Supposons que l'intensité de la seconde lumière aille en augmentant et que par conséquent p augmente en se rapprochant ainsi de a , la valeur x' ira en diminuant et la valeur x" ira en augmentant. Ainsi le point C se rapprochera du milieu de AB , et le point C s'éloignera de plus en plus de la lumière B .

Si l'on suppose maintenant a:=p , ou lesdeux lumières d'égale intensité, on aura x '—\ et x " = ~§ > c'est-à-dire que le point C se trouvera alors au milieu de AB , et que le point C se sera éloigné à une distance infinie à droite du point B . On conçoit, en effet, que pour compenser la différence d'intensité des deux lumières, i! faut éloigner le point C d'autant plus que cette différence est moindre ; et que si enfin elle devient nulle, ce n'est qu'à une distance infinie que !a différence due aux distances devient insensible.

3° Supposons que p , continuant à croître, devienne plus grand que a , ou que la lumière B soit plus intense que la lumière A .

La valeur x' reste positive et moindre que d , c'est-à-dire qu'elle répond toujours à un point compris entre A et B . Mais, comme p est plus grand que a , il s'ensuit que a -j- p est plus grand que 2 a , et que, par conséquent, est moindre

que ~ ou que ^ ; ainsi x' est moindre que - , c'est-à-dire que le point C est alors plus près de la lumière A que de la lumière It .

Quant à la valeur x" , elle devient négative ; et, puisqu'on a regardé commé positives les distances comptées à droite du point A ,