DISCUSSION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 3U

on devra, pour la généralité des formulés (HO), regarder comme négatives celles qui Sont comptées à gauche de ce point. La valeur négative trouvée pour x" correspondra donc à un point C" , situé à gauche du point lumineux A qui a la moindre intensité, et a une distance de ce point d'autant plus grande que la différence absolue a — a est plus petite.

4° Si l'on faisait maintenant décroître l'intensité de la lumière B jusqu'à ce qu'on en fût revenu à l'hypothèse fi — a , od trouverait pour x" des valeurs négatives de plus en plus grandes, et enfla une valeur infinie qu'on devrait regarder comme négative, puisqu'elle serait la limife vers laquelle tend une quantité négative de plus eu plus grande en valeur absolue, \insi , pour a = p la solution infinie répond a un point que l'on peut supposer place indifféremment à droite ou à gauche des deux lumières, ce qui doit être.

Il ne faudrait pas en conclure que l'équation du second degré a, dans ce cas, trois racines, elle n'en a que deux; mais la valeur infinie peut être affectée, du signe ou du signe — , suivant qu'on la considère comme limite de quantités croissantes positives, ou de quantités croissantes en valeur absolue, mais négatives.

5° Si l'on fait en même temps les deux hypothèses a = p et d — 0 , c'est-à-dire si l'on suppose que les deux lumières soient de même intensité, et placées en outre au même point A , on trouve

^=0 et .

La première valeur donne le point A ; cela devait être, puisque le point C , qui est au milieu de AB pour a = jî , se confond alors avec A et B .

La seconde est indéterminée ; et , en effet , en quelque point de la droite XT qu'on place alors le point éclairé , il recevra des deux points lumineux la même quantité de lumière.

Si , sans faire aucune hypothèse sur d , on fait les deux suppositions a = 0 et p = 0" , on trouvé pour x' et x" deux valeurs indéterminées. Et, en effet, si les deux lumières sont éteintes, . un point quelconque situé soit entre A et B , soit en deçà ou au delà, reçoit de chacun de ces points une quantité de lumière nulle et par conséquent une quantité égale.

227, Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples qui suivent :

I. Partager le nombre a en deux parties telles que la somme de leurs racines carrées soit égale à un nombre b .

IL Un voyageur a n kilomètres à fuir/:, et marche d'une manière régulière. S'il jaisait civique jour a kilomètres de plus, il

emploierait à son voyage b fours de moins. Quelle serait alors la duré* de son voyage?

ni. Trouver le côté de l'une des bases d'un tronc de pyramide à bases carrées, connaissant le côté de l'autre base, la hauteur du tronc et sonvolume.

IV. Partager a en deux parties telles que la somme de leurs cubes soit égale à b .

g IV. Discussion de l'équation bicarrée.

328. L'équation bicarrée peut se présenter sous l'une des deux formes

x i +px*+q = 0 ou ax i +bx t +c = 0 .* Enposant x*=y .onentire

'/+py + 1 = 0 ou af+by + c^ .

Soient y" et y" les deux racines de l' équation en y , on aura x' = ±fâ et x»=±i/tf . - P Si y' et y" sont réels et positifs, on aura pour x quatre valeurs réelles , dont deux positives et deux négatives , égales deux à deux en valeur absolue. Ce cas se présentera quand on aura en même temps

q>0 , p<0 et ^ — ?>0 , ou c>0 , 0<0 et è 1 — 4ac>0 ,

attendu que a peut toujours être supposé positif.

2° Si ij est positif et . y" ■ négatif, on aura pour a? deux valeurs réelles, égales et de signe contraire^ et .pour x" deux valeurs imaginaires. -Ce cas aura heu pour

?<0 °u <*<Û - 3° Si y" et y* sonttousdeux réelsetnégatifs, onaurapour x quatre valeurs imaginaires. Cela aura lieu pour

?>0\ p>0 et ^—g>0 , ou c>0 , ô>0 et P—4ae>Q.

4' Si y' et y" sont imaginaires, il en sera de même des quatre valeurs de x , puisque la racine carrée d'une quantité imaginaire

DISCUSSION r>E L'ÉQUATION BICARRÉE. 211

du second degré est elle-même imaginaire (214). Ce cas se présentera pour

5>0 et ?<0 ,

ou c>0 et è 1 — 4oo<0 .

5° Si y' et y" sont égaux, les valeurs positives de x seront égales entre elles, et les valeurs négatives égales entre elles. Cela aura lieu pour

^ — q=0 ou b* — 4ac=0 .

Elles seront d'ailleurs réelles, nulles ou imaginaires , suivant que ■y" et y" seront positifs, nuls ou négatifs, c'est-à-dire suivant qu'on aura ' '

p<0 , p=zO , p>0 ou 6<0 , 6 = 0 , é>0 .

6° Si l'équation en y a des racines infinies, il en sera de même de l'équation en x . Mais celles-ci pourront être réelles ou imaginaires, suivant que les racines de l'équation en y seront égales à l'infini positif ou à l'infini négatif.

220. Comme exemple de cette discussion nous traiterons la question suivante :

Problème. Un capitaliste place deux sommes a et 1) à des 1 taux différents et à intérêts composés pendant deux ans, et obtient au bout de ce temps un capital définitif total c . S'il eut placé les mêmes sommes une année au premier taux, et l'année suivante au fécond taux, le capital défini/if total eût été d . On demande quels sont ces deux taux.

Désignons par ( et (' les deux taux demandés. La somme a au taux ( , et à intérêts composés , devient au bout de deux ans

g ( I "'~Ïuâ) *' ' a som ^ Q6 6 au taux t , à intérêts composés et

au bout du même temps, devient fr^i-J-^— ^ . On a donc pour

première équation

»('+î5ô)'+ 6 ( 1 +iro)'= c -

La somme a autaux l , au bout d'un an, devient o + ï^ô) ' cette dernière somme au taux t' , au bout d'une autre année, devient à son tour «f'+ïoô) f'+ïuô) ■ lasomme b .placée

de la infime manière, deviendrai 6 ^1+ ^jj) ^ 1 H ■ ^ n a donc pour seconde équation

<°+ s >('+râ)('+îBH-

Pour simplifier le calcul, prenons pour inconnues les 'quantités 1 ÏSÔ 6t 1 Î5Ô ' P osons en consét f uence

Les deux Équations du problè me deviendront

ux 1 -\-by t =c et {a-\-b)xy = d .

Si l'on prend dans la seconde la valeur de y en a; pour la substituer dans la première, on trouve, après avoir fait disparaître les dénominateurs

tta+Wat— (a-fêJVa? -f-feP= 0 [1];

d'où x=\J Ca+h)c± £ a { X% C, ~ Aab(P M,

en ne mettant point de double signe devant le radical total , attendu que x doit être essentiellement positif.

En éliminant au contraire x entre les deux équations proposées, on arrive à l'équation

6(a + i»)Y — (a + Vcy'-f ad*=0 [3] ;

On doit mettre =f au lieu de ± devant le radical intérieur, afin qu'en prenant les signes supérieurs ensemble ou les signes inférieurs ensemble , on obtienne un système de valeurs qui satisfasse aux équations proposées.

1° Le second terme des équations [t] et [2] étant essentiellement négatif, et le troisième étant essentiellement positif, il s'ensuit que, pour que les valeurs obtenues soient réelles , il suffit que le radical intérieur le soit, c'est-à-dire qu'on ait

1fl+bf*>iàbtP [S].

Le problème est alors susceptible de deux solutions distinctes. Ayant obtenu x et y , on en déduira facilement ( = 1003; — l et g = lWy— 1 . "