DISCUSSION RE L'ÉQUATION BICÀIIHÊE

Comme cas particulier, supposons que les deux modes de placement donnent le même capital définitif, ou qu'on ait c = d ; les valeurs de x et de y deviendront

ce qui donné les deux systèmes

Le premier système donne x'=y , solution évidente a priori dans ce cas.

2" Si l'on a . ' <.a + 6)'e , =4abd> [6], les deux systèmes se réduisent à un seul :

Danscecas, on ne peut supposer e=d sans supposer en même temps a = 6 ; car si l'on fait e=d dans la relation [6], elle se réduit, en divisant par c* , à

(a-}- b'f = 4ab , d'où a* — $ab*^-b'=Q , ou (a — bf=0 , ou enfin a = 6 ,

. 3' Si l'on a, (a -j- o)*e , <4o6a? . • 1 .

Ces deux systèmes sont imaginaires.

4° Si l'on suppose a — 0 , l'équation [1] donne pour X* une

valeur infinie , et une valeur finie. x = ^= .

L'équation [3] donne y' = 0 , et y = y/?- pour les valeurs correspondantes.

On'peut s'assurer que le second système satisfait alors aux deux équations proposées. Quant au premier, il s'explique en remarquant que si la somme a était très-petite, l'un des systèmes représentés par les équations [2] et [4] donnerait pour x une valeur trèsgrande et pour ■ y une valeur très-petite; en sorte que si a devient nul, x devient infini et y nul.

Si l'on suppose à la fois a = 0 et 6 = 0, toutes les valeurs se présentent sous la forme ^ ; mais si l'on commence par faire

b — a dans les équations [1] et [3], et si l'on supprime le facteur a alors commun à tous les termes, puis qu'on fasse ensuite a~ 0 , ces équations se réduisent toutes deux à d*= 0 , ce qui indique que les valeurs de x et de y sont infinies (232). Il est évident, en effet, qu'il faudra un taux d'autant plus élevé pour obtenir un même capital définitif, que le capital primitif sera plus petit; et que par conséquent si le capital primitif devient nul, il faudra un taux infiniment grand.