Dans un monôme, il y a quatre éléments à distinguer

1° Le signe dont il est précédé, et qui peut être -f- ou — .Tout monôme qui n'a pas de signe est censé précédé du signe -f- . Les monômes précédés (ou supposés précédés; du signe -j- sont des

NOTIONS PRÊUHHUIRE8. 9

monômes additifs ou positifs. Les monômes précédés du signe — S0Dt des monômes stiustraclifs ou négatifs.

2° Le facteur numérique , s'il y en a un. Ce facteur qu'on écrit le premier, porte , ainsi que nous l'avons vu , le nom de coefficient.

3° Les lettres qui forment les autres facteurs.

4° Les exposants de ces lettres, ou les nombres écrits à droite et un peu au-dessus , qui indiquent combien de fois chaque lettre entre comme facteur dans le produit total.

Ainsi dans — ia*x' ,1e signe est — , le coefficient est 4 , les lettres sont a et x , les exposants sont 2 et 3 .

20. Remarque. Si dans un monôme on imagine que chaque lettre ■ prenne une valeur numérique déterminée , le produit indiqué par ce monôme prendra lui-môme une certaine valeur numérique, laquelle devra être prise positivement ou négativement, c'est-à-dire additivement ou soustractivement, suivant que le monôme est affecté du signe + ou du signe — . Si, par exemple, dans le monôme 4aV on imagine que a ait la valeur 3 et a; lavaleur 5 , le monôme reviendra à —4.3.3.5.5.5 ou à —4500 .

On pourrait attribuer aux lettres des valeurs numériques fractionnaires, sans que pour cela le monôme cessât d'être entier, algébriquement parlant. Si par exemple on attribue à a lavaleur | età x lavaleur ^ ,lemonome — 4a , 3r 1 reviendrai — ^ .

C'est toujours sous celte forme numérique, qu'il faut se représenter un monôme; c'est-à-dire qu'on doit se le représenter comme composé d'une valeur absolue, entière ou fractionnaire, et d'un signe qui est -\~ ou — .

21. On nomme degré (l'un monôme la somme des exposants des lettres qui y entrent. Les lettres qui n'ont point d'exposant n'entrant qu'une fois comme facteur, sont supposées avoir pour exposant 1. Ainsi le degré du monôme Sa'Px est 3-|-2-f-I ou 6 .

2Ï. On nomme termes semblables dans un polynôme ceux qui ne diffèrent que par le coefficient et par le signe. Ils contiennent par conséquent les mêmes lettres affectées des mêmes exposants. Ainsi dans le polynôme

ISa'ite — Ga , b*x' + &a 3 b'x + 7ab>x'~-9a > b>x— •lû'Jfcc , , il y a quatre termes semblables :

Wa'b'x, + Stc'b , x, —QaWx et — iaïPx .

On peut toujours réduire les termes semblables en un seul. 11 est clair en eftét , dans l'exemple précédent, que quelle que soit la va-

leur numérique de «"irtc il faut prendre 15 foîa cette valeur, «jouter encore 8 fois la même valeur, puis en retrancher d'abord 9 fois cette même valeur, et encore 4 fois cette valeur. Le résultat sera donc le même que si de 15 + 8 ou 23 fois la valeur, numérique dont il s'agit, on retranchait 9 + A on 13 fois cette même valeur, ce qui donnerait 23 — 13 ou 10 fois cette valeur. L'ensemble des quatre termes considérés revient donc à lOaWc.

Si l'ensemble dos termes négatifs l'emportait sur celui des termes positifs, le résultat serait lui-même négatif. On tire de là cette règle : Pour effectuer ta réduction des termes semblables, on fait la somme de tous les coefficients gui ont le signe + et la somme de lotis les coefficients gui ont le signe ; on retranche la plus petite somme de la plus grande, on donne, au reste le signe de la plus grande , et on écrit à la suite la partie littérale commune.

33. Un polynôme est dit homogène quand tous ses termes sont du même dogré (Bi). Tel est le polynôme

; fia&V— 6aW~r-8«'fi.r , .' dont tous les termes Bont du 6" degré.

24. Ordonner Un polynôme, c'est écrire ses différents termes dans un ordre tel que les exposants d'une même lettre aillent toujours en augmentant on toujours en diminuant d'un tenue & l'autre. La Jettre que l'on choisit pour guide prend le nom de lettre ordonnatrice ; si l'on écrit les tenues de manière que les exposants de la lettre ordonnatrice aillent en augmentant, on dit que le polynôme est ordonné par ropi>ort aux puissances croissantes de cette lettre ; si les exposants de la lettre ordonnatrice vont en diminuant, on dit que le polynôme est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de cette lettre. ' *

Ainsi le polynôme, déjà considéré ci-dessus, * ■ v .

ôfflfiW—eaW-f sefb'x

est ordonné par rapport aux puissances croissantes de a , ou par ; rapport aux puissances décroissantes de x .

Dans la plupart des calculs algébriques on a soin d'ordonner ainsi les polynômes; cette opération facilite les calculs, en leur donnant plus de symétrie. Il est clair d'ailleurs que , quel que soit l'ordre dans lequel on écrit les termes , soit additifs , soit soustractifs, d'un polynôme , sa valeur demeure la même. Cette valeur se compose évidemment de la somme des valeurs numériques des termes additifs ou positifs , diminuée de la somme des valeurs numériques des tenues soustractifs ou négatifs.

Il peut arriver que plusieurs termes d'un polynôme contiennent

lu même puissance de la lettre ordonnatrice; on les ordonne alors entre eux par rapport aux puissances d'une seconde lettre. Par exemple, le polynôme

3 (fa* — 2 abx' + 6ab t x—ia'P ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x , contient deux termes affectés de ; ces deux termes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une seconde lettre, a .

L'ensemble des termes qui contiennent -la lettre ordonnatrice principale avec son plus haut exposant forme ce qu'on appelle le groupe le plus élevé du polynôme. S'il y avait plusieurs termes contenant la lettre ordonnatrice avec son moindre exposant, leur ensemble formerait le groupe le moins élevé.